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fiche de révisions (quiz)

nombres complexes et électricité (sup)

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rappels

en régime sinusoïdal

grandeur physique
nombre complexe associé
quelques règles
intensité

Imcos(wt)

Im
Aux impédances complexes les lois du courant continu s'appliquent.
tension

Umcos(wt+j)

Umejj
impédance (inductance)
jLw
en série elles s'ajoutent

en dérivation les admittances (inverse d'une impédance) s'ajoutent

impédance (capacité)
-j / (Cw)
impédance (résistance)
R
loi d'ohm
u = Z i

toute lettre soulignée est un nombre complexe

impédance réelle = module de l'impédance complexe.

arg u = arg Z +arg i

dériver c'est multiplier par jw
intégrer c'est diviser par jw



cours

circuit RLC série en régime forcé

impédance complexe R+j(Lw-1/ (Cw)
représentation vectorielle
impédance réelle

Lw-1/Cw :réactance

la phase de i est l'origine des phases

résonance d'intensité : l'intensité passe par une valeur maximale si l'impédance Z est minimale ègale à R

LCwo²=1

facteur de qualité ou de surtension

Q=Lwo / R

bande passante

Dw =wo / Q







exercice 1

circuits équivalents à un condensateur réel

UAB efficace =200 V ; C=20nF; le courant est en avance sur la tension de j=85 ° . (w=500 rad s-1)
  1. Le condensateur présente une résistance de fuite R que l'on demande de calculer.
  2. Expliciter l'intensité i du courant dans le circuit.
  3. On veut remplacer le groupement précédent par un condensateur C' en série avec R'. Calculer C' et R'

..

corrigé



impédance complexe z équivalente : 1/z = 1/R+ jCw ; z=R/(1+(RCw)²)(1-jRCw)

impédance réelle Z=R/rac carrée(1+R²C²w²)

phase j : tanj= -RCw en prenant la phase de i comme origine : tension en retard sur i


applications numériques : R= tan(85) / (2 10-8*500)= 1,14 MW

Z=105 W ; Ieff= Ueff / Z = 200/105= 2 mA

i=2,8 sin(500 t +1,42) ; 85°=1,42 rad


méthode : égaler les impédances complexes.

égaler parties réelles et parties imaginaires

C'=(1+R²C²w²)/ (R²C²w²) * C = 20,1 nF

R'=R/ (1+R²C²w²)= 8,7 kW


exercice 2

condensateur et bobine en dérivation

On maintient une tension alternative Ueff=1 V , de pulsation w=15000 rads-1 aux bornes d'une self pure de valeur L=1 mH.

  1. Quelle capacité C0faut-il monter en dérivation aux bornes de la self pour que l'intensité soit nulle dans le circuit principal ?

.

corrigé



impédance complexe z équivalente : 1/z = 1/(jLw)+ jCw ; z=jLw/(1-LCw²)

impédance réelle Z=Lw/(1-LCw²)

phase j : j= p/2 car z complexe pur

L'intensité est nulle lorsque Z tend vers l'infini soit LCw²=1

application numérique :C0=4,44 mF


exercice 3

self pure et résistance en dérivation

On maintient une tension alternative Ueff=200 V , de pulsation w=500 rads-1 aux bornes d'une self pure de valeur L=1 mH shuntée par une résistance R. La réactance de ce circuit est alors la moitié de ce qu'elle serait si la self était seule.

  1. Calculer R et l'intensité du courant principal.

..



corrigé



impédance complexe z équivalente : 1/z = 1/(jLw)+ 1/R ;

z=RLw/(R²+L²w²)*(Lw+jR)

réactance du circuit R²Lw/(R²+L²w²) partie imaginaire

réactance d'une self pure Lw

0,5 Lw = R²Lw/(R²+L²w²) d'où R= Lw= 500W.


intensité principale (remplacer R par Lw)

l'impédance complexe z devient :0,5Lw(1+j)

impédance réelle Z=353,5W

phase j : j= p/4 en prenant la phase de i comme origine : tension en avance sur i

Ieff=Ueff/Z =200/353,5= 0,56 A


exercice 4

condition d'équilibre d'un pont de Wheatstone

On considère le pont en alternatif; entre B et D se trouve un détecteur de zéro(oscilloscope).Etablir la condition d'équilibre du pont. 

.

corrigé



UAB = Z1 i1 ; UAD = Z2 i2 ; UBC = Z3 i3 ; UDC = Z4 i4 grandeurs complexes

Lorsque le pont est équilibré UBD=0

donc UAB = UAD et UBC = UDC

i1 = i3 et i2 = i4

la condition d'équilibre s'écrit : Z1 Z4 =Z2 Z3

elle correspond à deux conditions entre nombres réels


exercice 5

circuits couplés


M est l'inductance mutuelle.

le générateur délivre une tension e1=E1cos(wt).

Montrer que l'on peut remplacer ces circuit par le circuit unique dont on déterminera l'inductance L et la résistance R .

corrigé



i1 et i2 intensités instantanée dans les circuits

e1= L1 i'1+ Mi'2+ R1i1 et 0= L2 i'2+ Mi'1+ R2i2

en notation complexe

e1= L1 jwi1 + Mjwi2 + R1i1

0= L2 jwi2 + Mjwi1+ R2i2

éliminer i2

regrouper partie réelle et partie imaginaire

R= R1+M²w²R2/(R2²+(L2w2)

L= L1+M²w²L2/(R2²+(L2w2)


exercice 6

puissance active

  1. Aux bornes d'un générateur sinusoidal délivrant la tension e=Emcos(wt) d'impédance interne z=r+jx , on branche une impédance Z=R+jX. Déterminer Z pour que la puissance dissipée dans Z soit maximale .

..

corrigé



loi d'Ohm entre grandeurs complexes i = e / (z + Z)

puissance active dissipée dans Z : P=RI²eff

eff=E² / ((R+r)²+(X+x)²)

La puissance est maximale lorsque les dérivées partielles de P par rapport à R et X sont nulles.

on en déduit : X=-x et R=r ou Z = z*

Pmax= E²/(4r)



exercice 7

mesure de puissance , méthode des 3 ampèremètres

r est une résistance morte. Les résistances des ampèremètres sont négligeables. Exprimer la puissance dissipée dans Z en fonction de r et des intensités efficaces I1,I2,I3 mesurées.

.

corrigé



U tension efficace aux bornes de Z

cos j facteur de puissance de Z

P=UI2cosj.

or U=rI3 et u et i3 sont en phase donc P=rI3I2cosj.


I1²=I2²+I3²-2I2I3cos(p-j)

cos(j)=(I1²-I2²-I3²) / (2I2I3)

P = 0,5 r(I1²-I2²-I3²)

..


exercice 8

association mixte bobine condensateur résistor

  1. C=125 mF; R1 variable; w=400rads-1.

  1. Exprimer l'impédance complexe du circuit.
  2. Exprimer l'intensité complexe i1.
  3. Quelles conditions doivent satisfaire les données pour que i1 soit indépendant de R1.

..

corrigé



impédance complexe

bobine : jLw + R

C et R1 en dérivation : R/ (1+jCRw)

circuit : jLw + R + R1/ (1+jCR1w)


intensité i1 complexe

intensité principale : i = u / [ jLw + R + R1/ (1+jCR1w) ]

i1 R1 = i2/(jCw) et i = i1 + i2

i1 = i / [(1+jCR1w)] = u /[(jLw + R)(1+jCR1w)+R1]

l'intensité dans R1 est indépendante de R1 si le coefficient de R1 est nul soit:

1-LCw²+jRCw=0

le terme réel doit être nul :LCw² =1

le terme imaginaire doit être nul :RCw=0 ou R=0 pratiquement R=0,1W.

Puissance moyenne consommée par un dipôle

Soit u= U 2½ cos (wt) la tension instantanée à la date t aux bornes d'un dipôle électrique ; U est la tension efficace, w est la pulsation de la tension. L'intensité du courant qui le traverse est i= I 2½ cos(wt+j) ; I est l'intensité efficace, j le déphasage.

  1. Exprimer la puissance instantanée p consommée par le dipôle.
  2. Exprimer la puissance moyenne P en fonction des paramètres U, I et j.
  3. Application au relèvement d’un facteur de puissance : Dans cette partie les grandeurs complexes sont soulignées et on utilise le nombre complexe j telle que j2=-1.

    Un moteur de puissance totale P=10 kW est alimenté sous une tension sinusoïdale de valeur efficace U=220 V et de fréquence 50 Hz. Le facteur de puissance est : cos j = 0,7.
    - Calculer l’intensité efficace I d’alimentation du moteur.
    - L’admittance complexe Y du moteur s’écrit : Y =| Y | e-j
    j. Exprimer simplement l’admittance réelle | Y | en fonction de I et de U.
    - On place un condensateur de capacité C, telle que l’association {condensateur+moteur} soit purement résistive. Comment faut-il le placer pour que le moteur continue à fonctionner normalement ?
    - Exprimer l’admittance complexe Yt de l’association en fonction de C,
    w et Y . En déduire la valeur de C.
    - Quelle est la propriété de la puissance moyenne consommée par le condensateur ? En déduire simplement la valeur de l’intensité efficace It d’alimentation de l’association.


corrigé
puissance instantanée p consommée par le dipôle : p= u i = 2UI cos (
wt)cos(wt+j)

p = UI (cos ( 2wt+j) + cos j)

puissance moyenne P :

P= UI cos j soit I= P/(U cosj)= 104 / (220*0,7) =64,9 A.

admittance = inverse d'une impédance ; | Y | = I/U = 64,9 / 220 = 0,295 S.

condensateur et moteur sont montés en dérivation : les admittances du moteur et du condensateur ( jCw) s'ajoutent.

Yt=Y + jCw= | Y | e-j j + jCw.

l’association {condensateur+moteur} étant purement résistive, Yt= est un nombre réel ; sa partie imaginaire est donc nulle.

Yt = | Y | cosj -j | Y |sinj +jCw ; -j ; -j|Y |sinj +jCw=0 ; C= |Y |sinj/ w.

avec w = 2 pf = 2*3,14*50 = 314 rad/s ; sinj= 0,714 ; |Y | =0,295 S

C= 0,295*0,714 / 314 = 6,7 10-4 F.

la puissance moyenne consommée par le condensateur est nulle.

P active totale = P active moteur = 10 kW

Q réactive totale = Q réactive condensateur = -CwU² = -6,7 10-4*314*220²= -10,2 var

S²= P²+Q² = 10²+10,2²= 204,1 ; S= 14,3 VA

Or S=UI soit I= 14,3 103/ 220 = 65 A.


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