courant alternatif sinusoidal ( terminale et sup)

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cours 1

notations usuelles

U volt
valeur efficace
w rads-1
pulsation w=2pf
f hertz
fréquence, inverse de la période
T s
période
Yrad
phase

On représente une grandeur sinusoïdale par

  • un vecteur de norme U formant l'angle Y avec l'axe horizontal .
  • un nombre complexe de module U, d'argument Y. (j²=-1)
fonction sinusoidale
dérivée


primitive
fonction sinusoidale de même pulsation
en avance de p/2 ,

de valeur efficace Uw


en retard de p/2 ,

de valeur efficace U /w

jwU
notation complexe
U /jw
p U
notation de Laplace
U / p


cours 2

impédances Z ohm ; admitance Y=1/Z


vecteur

notation

complexe
notation de
Laplace
résistance


R


R
condensateur


1/(jCw)


1/ (pC)
bobine inductive


r+jLw


r+pL
On applique aux grandeurs complexes les lois du courant continu.

Danger !!!!! ces mêmes lois ne s'appliquent pas ni aux grandeurs efficaces , ni aux grandeurs instantanées





exercice 1

exemple de calcul d'une impédance complexe

Dans le cas ou LCw²=1, calculer :
  • l'impédance complexe
  • l'impédance réelle
  • la phase de U par rapport à celle de I prise comme origine

..

corrigé



remplacer jw par p

contrôler constamment l'homogénéité des calculs ,

en se souvenant que LCp² est sans dimension ,

et que L/C est le carré d'une impédance.



impédance

complexe

branche R, C


Z1=R+1/(pC)

branche R, L


Z2= R+pL

association
en dérivation

Z1Z2 / (Z1+Z2)


(R+1/(pC))(R+pL)/(2R+pL+1/(pC))

(R²+L/C+R(Lp+1/(pC)) / (2R+pL+1/(pC))

or(Lp+1/(pC) =0 dans cet exercice

Z= (R²+L/C)/ (2R) grandeur réelle ,

donc tension aux bornes du dipole et intensité principale en phase


exercice 2

exercice précédent : calculs des intensités

R=50 W; L=0,1 H; C=10mF. UAB=10V
  1. calculer la pulsation dans le cas où LCw²=1
  2. déterminer les intensités dans chaque branche, l'intensité principale.

.

corrigé



calcul de la pulsation w²=1/(10-5*0,1)=106 ; w=1000rads-1.
Lw=100 W
1/(Cw)=100W
Z1²=R²+(Lw)²=12500

Z1=111,8 W

Z2²=R²+(1/(Cw))²=12500

Z2=111,8 W

I1=U/Z1=10/111,8=0,089 A

tan(j1)=Lw/R=100/50=2

j1= 63,4°

I2=0,089 A

j2= -63,4°

intensité I:

2*I1cos(j1) ou UAB/Z

2*0,089*cos63,4= 0,079A


cos(j)=(0,5Z)/Z1

=62,5/111,8=0,559

j= 56°


cours 3

puissance active watt, réactive var, apparente VA

Considérons un récepteur d'impédance Z alimenté par une tension alternative de valeur efficace U et traversé par un courant d'intensité efficace I. Les, grandeurs physiques, tension et intensité ne sont pas en général en phase. Soit j la phase de l'intensité par rapport à celle de la tension.
P puissance active watt
UIcos(j)
cos(j) facteur de puissance
Q puissance réactive var
UIsin(j)
S²=P²+Q²
S puissance apparente VA
UI
Q est positif si inductance, négatif si capacité.
  • Q et S intermédiaires commodes de calcul, mais pas de sens physique


P
Q
résistance
RI²
0
inductance
0
LwI² =U²/(Lw)
capacité
0
-I²/(Cw)= -Cw

cours 4

conservation des puissances à la traversée d'un dipôle

Un dipôle d'impédance complexe Z=R+jX, peut être considéré comme la mise en série d'un dipôle de résistance R et d'un dipôle de réactance X (impédance jX). Le schéma ci dessous représente le bilan de puissance active et réactive à la traversée du dipôle.


exercice 3

schéma parallèle équivalent à une bobine

 Une bobine d'inductance L=15 mH et de résistance R=125 W est utilisée à 80kHz. Calculer les éléments R' et L' du schéma parallèle équivalent à cette bobine.

.

corrigé



série
parallèle
Z=R+pL avec p=jw

1/Z=1/(R+pL)

1/Z=(R-pL) /(R²-p²L²)

1/Z=1/R'+1/pL'
R'=(R²+L²w²)/R

L'=(R²+L²w²)/(L²w²)

application numérique:

w=2pf=6,28*8 104=5,024 105 rads-1.

Lw= 7536 ; (Lw)²=5,68 107.

R'=450kW ; L'=15,3 mH


cours 5

relevement du facteur de puissance

triangle des puissances

j déphasage courant tension

Il est parfois nécessaire d'augmenter le facteur de puissance cosj (donc diminuer j). Pour cela on branche en dérivation un condensateur aux bornes du dipôle. La puissance active n'est pas modifiée par le branchement , en revanche la puissance réactive diminue de la quantité U²Cw.


exercice 4

relevement du facteur de puissance

Une tension sinusoidale de valeur efficace U=20 V et de fréquence f=100 Hz alimente un circuit RLC série (R=200W; L=0,2 H ; C=4 mF). Calculer :
  1. l'impédance, le facteur de puissance.
  2. les puissances active, réactive et apparente.
  3. On désire que la puissance réactive consommée par le circuit soit nulle. On utilise un condensateur supplémentaire C' . Comment brancher C' et C? Calculer la capacité C'.

.

corrigé



Z²=R²+(Lw-1/Cw

w=2pf=6,28*100= 628 rads-1.

Lw = 0,2*628= 125,6 W; 1/Cw=1/(4 10-6*628)=398 W.

(Lw-1/Cw)²=7,4 104 ; R²=4 104; Z= 337 W .


cos(j)=R/Z= 200/337= 0,593

Danger!!!! .... deux solutions pour j +53,6 ou -53,6

1/Cw est supérieur à Lw donc j =-53,6


intensité efficace =U/Z=20/337= 0,0593 A

P=UIcos(j)= 20*0,0593*0,593= 0,703 watt

P=UIsin(j)=20*0,0593*(-0,805)= -0,984 vars

S=UI = 20*0,0593 = 1,186 VA


La puissance réactive est nulle si la réactance du dipole est nulle. Soit C1 la capacité équivalente aux condensateurs.

Lw-1/C1w=0 ou C1=1/(Lw²)= 1,267 10-5 F

A partir de 4 mF il faut associer 8,67 mF en dérivation pour obtenir 12,6 mF


exercice 5

études graphiques -facteur de puissance.

  1. déduire des courbes les puissances actives, réactives et apparente.
  2. Quel est la nature du dipôle; calculer ces éléments.
  3. Calculer la capacité du condensateur, monté en dérivation, nécessaire pour relever le facteur de puissance à 0,9.

..

corrigé



tension efficace =20/1,414= 14,14 V

intensité efficace = 1,5/1.414 = 1,06 A

fréquence =1/0,003= 333,3 Hz

w=2pf=6,28*333,3= 2093 rad s-1.

tension en avance sur intensité (donc bobine inductive ) de 1/6 période ou p/3 rad

cos(j)= 0,5


puissance active UIcos(j)= 14,14*1,06*0,5= 7,5 W

puissance réactive UIsin(j)= 14,14*1,06*0,866= 13 vars

puissance apparente UI= 14,14*1,06= 15 VA


résistance de la bobine :P=rI²=7,5

r=7,5/1,06²= 6,7 W.

inductance de la bobine :Q=LwI²=13

L=13/(1,06²*2093)= 5,5 mH


le facteur de puissance doit être égal à cosj = 0,9

sinj = 0,436 et Q=14,14*1,06*0,436 = 6,54 vars

Q=(Lw-1/Cw)I² d'où C = 83mF


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