Aurélie 02 /02
changement de référentiels

le mouvement d'entraînement est une translation

le mouvement d'entraînement est une rotation

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Un disque de rayon r tourne uniformément autour de son axe, à vitesse angulaire w, dans le sens indiqué sur la figure. Son centre C se déplace sur la droite horizontale z = r du plan vertical Ozx du référentiel R=Oxyz. On appelle R' le référentiel Cxyz, en translation par rapport à R, d'origine C, et on note q l'angle que fait un rayon CA du disque avec Cz. A étant un point de la péripherie.

  1. Exprimer, dans la base de R, la vitesse et l'accélération de A par rapport à R'.
  2. Quelle vitesse, par rapport à R, doit on donner à C pour que la vitesse VB/R(vitesse de B dans R) du point le plus bas B du disque soit nulle ?
  3. Trouver les équations x =x(q) et z=z(q) du point A, sachant que pour q =0, x=0 et z =2r.

 

corrigé
on étudie le point A :

les vecteurs sont écrits en bleu et en gras.

relation entre les vecteurs vitesses :

OA = OC + CA

dOA /dt = dOC /dt + dCA /dt

vecteur vitesse de A dans R = vecteur vitesse de C dans R + vecteur vitesse de A dans R'

VA/R = VC/R + VA/R'

dans le référentiel R' le disque roule sans glisser : q = w t avec w = q ' = cte.

on note X l'abscisse et Z l'ordonnée de A

X = r sin(w t) et Z= r cos (w t) ( à t= 0 X= 0 et Z= r)

vitesse de A dans R' : dériver X et Z par rapport au temps

X' = r w cos (w t) n et Z' = -r w sin (w t) t.

dans le référentiel R on note x l'abscisse et z l'ordonnée de A

translation suivant z C= r ; on suppose la vitesse de translation constante notée v suivant l'horizontale xC = v t

vitesse de C dans R : dériver xC et z C par rapport au temps

x'C = v i et z'C = 0 j.

d'où la vitesse de A dans R :

x'A = (r w cos (w t) + v)i ; z'A = - r w sin q j.

accélération dans R : dériver à nouveau par rapport au temps

x" = - r w ² sin (w t) i et z" = -r w ² cos (w t) j .

le vecteur accélération est centripète, dirigé vers C

au point le plus bas : q = p

x'( wt = p ) = -r w + v et z ' (wt = p) = 0

la vitesse en B est nulle si v = r w.

 

Dans un plan Oxy un cercle de diamètre OA tourne à la vitesse angulaire constante w autour du point O. On associe au centre du disque deux axes rectangulaires CX et CY. A t= 0 le point A est sur Ox et un point M initialement en A parcourt la circonférence dans le sens contraire au sens trigonométrique avec la vitesse angulaire w.

  1. Exprimer les composantes des vecteurs vitesse et accélération de M dans le repère Oxy.
  2. Exprimer les composantes des vecteurs vitesse et accélération de M dans le repère CXY.
  3. Déterminer les expressions de la vitesse d'entraînement et l'accélération complémentaire.

 

corrigé
dans le repère Oxy :

q = w t ; l'abscise de M est notée x, l'ordonnée est noté y.

OM = OC + CM.

repère Oxy : OC [xC = R cos (w t) ; yC =R sin (w t) ] et CM ( R ; 0 )

OM [ x =R(1+cos (w t) ; y =R sin (w t) ]

vitesse de M : dériver x et y par rapport au temps.

VM/ Oxy [-Rw sin (w t) ; Rw cos (w t) ]

accélération de M : dériver le vecteur vitesse par rapport au temps.

gM/ Oxy [-Rw² cos (w t) ; -Rw² sin (w t) ]

dans le repère C XY :

q = -w t ; l'abscise de M est notée X, l'ordonnée est noté Y.

CM [ X = Rcos (w t) ; Y= -R sin (w t) ]

vitesse de M : dériver X et Y par rapport au temps.

VM/ C XY [-Rw sin (w t) ; -Rw cos (w t) ]

accélération de M : dériver le vecteur vitesse par rapport au temps.

gM/ C XY [-Rw² cos (w t) ; Rw² sin (w t) ]

vitesse d'entraînement
vitesse absolue par rapport à O xy ( R)
vitesse relative par rapport à C XY ( référentiel R')
vitesse d'entrainement Ve
V M / R
= V M / R'
w R'/R^ OM
calcul de : w R'/R^ OM

accélération d'entraînement :

la rotation étant uniforme dw /dt =0

l'accélération d'entraînement est : ge = -w ² OM.

ge [ w ²R(1 +cos(w t) ; -w ²R sin(wt) ; 0]

accélération complémentaire : gc = 2 w ^ VM/ R' =2 w ^ (VM/ R - Ve )

 

 

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