Aurélie sept 2001
Oscillateur mécanique horizontal

d'après concours GEIPI 2000 exercice suivant

 

 Une bille de mase m=100g peut glisser sans frottement le long d'un axe horizontal Ox. Elle est accrochée à un ressort à spires non jointives de constante de raideur k=105 N/m, de masse négligeable et de longueur à vide L0=20 cm. L'origine de l'axe O est confondu avec la position d'équilibre du centre d'inertie G de la bille. On comprime le ressort jusqu'à ce que sa longueur soit Lm=6cm. A l'instant t=0, on libère le système masse ressort ainsi comprimé, sans vitesse initiale.

  1. A t=0 calculer l'énergie cinétique Ec0 de la bille et l'énergie potentielle élastique du ressort Ep0.
  2. Evaluer :
    - la vitesse de la bille lorsqu'elle passe au point d'abscisse x=0.
    - la force F exercée par le rssort sur la bille lorsque le ressort a une longueur L=12 cm.
  3. Le système étant un oscillateur mécanique harmonique:
    - calculer la période propre T0 de l'oscillateur
    - Donner l'équation horaire x(t) du point G.
  4. On modifie le montage : à présent la bille n'est plus accrochée au ressort ( c'est le cas d'une bille de flipper). On recommence la même expérience avec une compression du ressort identique, et on libère le système. Calculer :
    - l'abscisse x du centre de la bille lorsque la bille quitte le contact du ressort.
    - la vitesse de la bille à cet instant.
    - l'instant t0 de la séparation.
corrigé
A l'instant t= 0, la vitesse de la bille est nulle ainsi que son énergie cinétique : Ec0=0.

A t=0, toute l'énergie du système bille ressort est sous forme potentielle élastique :

½k (L0-Lm)² = 0,5 *105*(0,2-0,06)² = 1,029 J.

au passage à la position d'équilibre (x=0) toute l'énergie du système bille ressort est sous forme cinétique:

1,029 = ½ mv²

v² = 2*1,029 / 0,1 = 20,58 d'où v= 4,536 m/s.

La tension du ressort est proportionnelle à la raideur et à la déformation:

F= k(L0-L) = 105* (0,2-0,12) = 8,4 N.

période : T = 2 p racine carré (m / k) = 2*3,14 (0,1/105) ½ = 0,194 s.

pulsation w = 2p / T = 6,28 / 0,194 = 32,4 rad/s.

équation horaire : x(t) = xmax cos (wt+j)

il est également possible de prendre x(t) = xmax sin (wt+j1) .

x max, grandeur positive est l'amplitude soit 0,2-0,06 = 0,14 m

j est déterminer par les conditions initiales:

à t=0, le ressort est comprimé: x(t=0) = -0,14 m

-0,14 = 0,14 cos (j) soit cosj=-1 d'où j=+p ou -p..

x(t) = 0,14 cos (32,4 t+p).

la bille se sépare du ressort au passage à la position d'équilibre x=0.

la bille emporte avec elle l'énergie potentielle élastique initiale.

sa vitesse vaut : 4,53 m/s.

date de la séparation :

0 = 0,14 cos(32,4 t0 +p)

0= cos(32,4 t0 +p)

d'où 32,4 t0 +p = (2k+1)p / 2.

la valeur k=1 conduit à : 32,4 t0 =p / 2.

t0= 3,14 /64,8 = 0,0484 s soit un quart de période.

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