Aurelie juin 2001

le ressort oscille: kiné Rennes 2001
exercices suivants : La lune de Jules Vernes
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énergies

études de courbes

Un pendule élastique est constitué de deux ressorts de raideur k et d'un palet de masse m= 0,61 kg. Il peut osciller longitudinalement sur une table à coussin d'air horizontale. Grâce à des capteurs appropriés de position et de vitesse, reliés à une centrale informatisée, on enregistre l'évolution temporelle de l'élongation x du centre d'inertie du palet. Puis on trace les courbes qui donnent l'énergie cinétique Ec du palet et l'énergie potentielle élastique Epe du système palet et ressorts en fonction du temps t.

L'enregistrement a été réalisé durant 5s. L'origine de l'énergie potentielle élastique est prise à la position d'équilibre du palet (x=0). On admet que les deux ressorts sont équivalents à un ressort unique de raideur 2k.

 

  1. Parmi les 3 courbes proposées identifier celle relative à l'élongation x, à l'énergie cinétique, à l énergie potentielle élastique du système. Justifier vos choix.
  2. Quelle est :
    - La période des oscillations du palet ?
    - La période de l'énergie cinétique ?
    - La période de l'énergie potentielle élastique ?
  3. En déduire la valeur de la raideur 2k de l'ensemble des deux ressorts, puis la raideur k d'un ressort.
  4. Relever graphiquement la valeur de l'amplitude xm du mouvement oscillatoire du palet, puis évaluer l'énergie potentielle élastique du système ressorts palet pour x= + xm.( axe des ordonnées: 6 div = 4 cm)
  5. Quelle est la vitesse de passage à la position d'équilibre

 

corrigé

Les sinusoïdes correspondant à l'énergie ont une période égale à la moitié de la période de la sinusoïde correspondant à l'élongation.

Cela est du au fait que dans le terme énergie potentielle élastique, l'élongation intervient au carré ( ½ kx²) et que dans le terme énergie cinétique, la vitesse intervient au carré ( ½ mv²)

graphe 2 : élongation x(t) en fonction du temps.

A l'instant t=0, 'élongation est maximale, en conséquence l'énergie potentielle élastique est maximale et l'énergie cinétique est nulle .

graphe 1 : énergie potentielle élastique

graphe 3 : énergie cinétique.

période de x(t) : 2 s (lecture graphe 2)

période des énergies : 1 s.

raideur 2k=K :

période = 6,28 racine carrée (masse / raideur)

élever au carré : 4 = 6,28 ² m / K d'où K= 6,28² m / 4 = 6,28²*0,61/4 = 6 Nm-1.

k=3 N / m.

élongation maxi : 4 cm = 2 xm d'où xm = 0,02 m.

énergie potentielle élastique maximale : ½ k xm² = 0,5*6* 0,02² = 1,2 10-3 J = 1,2 mJ.

l'énergie mécanique se conserve .

Au passage à la position d'équilibre l'énergie est entièrement sous forme cinétique

1,2 10-3 = ½ m v ²

v² = 2,4 10-3 /0,61 = 3,93 10-3 et vitesse = 6,27 10-2 m/s.

 

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