Aurélie sept 2001
les courants sources de champs magnétiques

Capes interne 94 exercice suivant (tore)

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bobine longue ou solénoïde

 

On considère une bobine longue sans noyau de fer , dont les caractéristiques sont les suivantes: N=200 spires; longueur ;l = 40 cm; rayon moyen des spires : R= 2,5 cm.

  1. En assimilant la bobine à un solénoïde trés allongé et en utilisant les symétries, que peut-on dire du champ magnétique crée à l'intérieur de la bobine lorsqu'elle est parcourue par un courant continu d'intensité I ?
    - Pour quelles raisons peut-on admettre que le champ magnétique est nul à l'extérieur ?
    - Par application du théorème d'Ampère montrer que le champ magnétique est uniforme à l'intérieur du solénoïde et calculer sa valeur B0 en fonction de l'intensité I du courant et du nombre de spires par mètre noté n.
    - A.N : I=7A ; Calculer le champ magnétique B0 à l'intérieur de la bobine . Le comparer à la valeur de la composante horizontale du champ magnétique terrestre BT=2 10-5 T.
  2. Etablir avec la même approximation, l'expression de l'inductance L de la bobine.
    - A.N: calculer L pour la bobine citée.
  3. Pour mesurer expérimentalement la valeur de l'inductance de cette bobine on utilise un montage appelé pont de Maxwell :

    P et Q sonr des résistances pures; Re est une résistance pure réglable; Ce est une capacité pure, réglable. Ce pont est alimenté par une source de courant sinusoïdale de fréquence f=400 Hz. D est un détecteur de filtre passe bande alimentant un volmètre électronique couplé à un ascilloscope. La bobine est modélisée par l'association en série d'une inductance pure L et d'une résistance R.
    - Quel est le rôle du filtre passe bande F ? Quelle doit être la fréquence centrale de sa bande passante ? Préciser la façon dont on opère pour équilibrer le pont.
    - On note R0 et C0 les valeurs de Re et Ce lorsque le pont est équilibré. Donner les expressions de L et R en fonction de R0, C0, P et Q.
    - A.N : P=100W ; Q= 100W ; R0 =8kW ; C0 = 24,1 nF. Calculer L et R. Comparer à la valeur théorique obtenue précédemment. Conclure.

  4. On considère maintenant cette bobine longue comme une distribution de spires circulaires de rayon R et de même axe Oz. En admettant que sur une longueur dz de solénoïde il y a ndz spires, en déduire par intégration l'expression du champ magnétique sur l'axe de la bobine en fonction de l'intensité I, du nombre de spire par mètre n, et des angles a et b . Dans quel cas retrouve t-on l'expression du solénoïde infiniment long?

    - Exprimer le rapport de la valeur du champ B0 au centre du solénoïde à celle Boo btenue en supposant le solénoïde infini.

    - à partir de quelle valeur du rapport l / R peut-on assimiler avec une incertitude relative inférieure à 2% le champ au centre de la bobine à celui donné en utilisant l'approximation du solénoïde infiniment long.

    - A.N : tracer la courbe donnant la variation du champ magnétique sur l'axe à l'intérieur du solénoïde pour la bobine citée.

corrigé
 

Champ du solénoïde :

Tout plan perpendiculaire à l'axe de la bobine est un plan de symétrie pour le courant : en conséquence, le champ magnétique est perpendiculaire à ce plan.

La distibution de courant étant invariante par rotation autour de l'axe de la bobine, et par translation sur cet axe, le champ est porté par l'axe de la bobine et ne dépend que de la distance à l'axe.

Le champ est nul à l'extérieur de la bobine, car les lignes de champ ne sortent pas du solénoïde.

Appliquons le théorème d'Ampère au contour ABCD

le champ étant perpendiculaire à AB et à CD, la circulation est nulle le long de AB et CD

le champ est nul à l'extérieur, la circulation du champ est nulle le long de AD

la circulation du champ est m0N I le long de BC

m0N I = B l

B= m0n I avec n= N/ l , nombre de spire par mètre.

le champ est uniforme et colinéaire à l'axe à l'intérieur du solénoïde.

A.N : B= 4p 10-7 * 200 / 0,4 * 7 = 4,39 mT.

cette valeur est 220 fois plus grande que la valeur de la composante horizontale du champ magnétique terrestre.

le flux F du vecteur champ magnétique à travers une spire est :

B S = LI soit m0N I / l pR² =L I

à travers N spires : m0N² I / l pR² =L I

L= m0N² / l pR²

L=4p 10-7 * 200² / 0,4 *p *0,025² = 0,247 mH.

mesure de L:

Le filtre réglé sur la fréquence d'étude 400 Hz élimine les parasites

L'équilibre du pont est réalisé la tension aux bornes du détecteur est nulle.

On règle Re et Ce afin que cette tension soit nulle.

(toutes les grandeurs écrites en rouge ci dessous sont des nombres complexes)

uAB= uAM+ uMB= 0 à l'équilibre du pont soit uAM= - uMB

impédance complexe de la bobine ZB= R+jLw.

impédance complexe Ze du condensateur et de Re en dérivation :

1 / Ze = 1/ Re + jCew.

uAM = Q / (Q+Ze ) e et uBM= ZB / (P+ZB) e .

e est l'amplitude complexe de la source de tension

Q / (Q+Ze ) = ZB / (P+ZB)

PQ + QZB= QZB + ZBZe

PQ =ZBZe

exprimons L et R :

ZB = PQ(1/ R0 + jC0w)= PQ / R0 +jPQC0w = R+jLw.

R= PQ / R0 et L= PQC0

A.N : R=1,25 ohm et L= 0,241 mH.

l'écart avec l'inductance, calcul théorique, n'excède pas 3%; cette méthode de mesure est correcte.

champ crée en M par les ndz spires

On pose MH= z; z = R cotanq et dz = -Rdq / sin²q et dB= - ½m0 I n sinq dq

intégrer entre les valeurs b et a.

B= ½m0 I n (cos a- cosb)

pour un solide infiniment long a tend vers 0 et b tend vers p: on retrouve Boo=m0 I n

au centre du solénoïde : p = a+b.

Bo = m0 I n cos a.

avec cos a : ½ l / (R²+l²/4)½.

Boo = m0 I n

si la longueur est supérieure à 10 fois le rayon le solénoïde peut être considéré comme infini.

 

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