Aurélie 03/02
bobine inductive

concours d'entrée : technicien supérieur météo 00

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On considère une bobine d'inductance L= 5 mH et de résistance négligeable. Les variations de l'intensité en fonction du temps sont données ci-dessous :

  1. Calculer les fonctions i(t) entre 0 et 2ms, entre 2 et 4 ms.
    - Décrire le phénomène aux bornes de la bobine quand elle est soumise à i(t)
  2. Exprimer la tension uAB(t) aux bornes de la bobine pour les différents intervalles de temps et tracer ces variations en fonction du temps.
  3. La bobine précédente est placée dans un circuit en série avec un conducteur ohmique de résistance R= 100 W. L'ensemble est branché à l'instant t=0 aux bornes d'un générateur de tension continue de force électromotrice E= 6 V et de résistance interne r = 10 W.

    - Exprimer la tension UPN en fonction de E, ret i l'intensité du courant.
    - Donner l'équation différentielle à laquelle obéit l'intensité.
    - Exprimer la solution de cette équation différentielle i(t).
    - Donner l'expression de la tension uAB(t).
    - Tracer l'allure de i(t) et uAB(t).
    - Calculer la durée à partir de laquelle on considère que le régime permanent est établi. Quelles sont alors l'intensité du courant dans le circuit et la tension uAB(t) aux bornes de la bobine. Quelle est l'énergie emmagasinée ?

  4. Dans le circuit précédent la bobine est remplacée par un condensateur de capacité C= 50 mF. Le circuit comprend donc en série le générateur, le conducteur ohmique et le condensateur. Le circuit est fermé à l'instant t=0.

    - Donner l'équation différentielle à laquelle obéit la tension uAB.
    - Exprimer la solution de cette équation différentielle uAB(t).
    - Exprimer l'intensité du courant dans le circuit i(t).
    - Tracer l'allure des courbes uAB(t) et i(t).
    - Le régime permanent étant établi, quelle est l'intensité dans le circuit ? Quelle sont les charges qA et qB des armatures ? Quelle est l'énergie emmagasinée ?

  5. Un oscillateur harmonique est constitué à partir du circuit RLC série formé à partir des éléments précédents, associé à un amplificateur opérationnel en fonctionnement linéaire. Les propriétés d'un amplificateur opérationnel idéal sont : Les courants d'entrées sont nuls, et en fonctionnement linéaire la tension différentielle d'entrée e = uAB =0.

    - Exprimer la tension uAD en fonction de U0 et i' d'une part et en fonction de R0, R1, i et i' d'autre part.
    - Quelle relation peut-on établir entre i et i' ?
    - Etablir l'équation différentielle de la charge q en fonction du temps.
    - Quelle doit être la valeur de la résistance variable R0 pour observer le régime harmonique ?
    - Quelle est alors la période des oscillations ?
    - Donner l'allure de la courbe q(t).

 

corrigé

sur [0 ; 2 ms] l'intensité est une fonction affine décroissante ;

le coefficient directeur de la droite est : - 2010-3 / 2 10-3 = -10A/s. L'ordonnée à l'origine vaut : 0,01A

i(t) = -10 t + 0,01 en ampère sur [0 ; 2 ms].

sur [2 ; 4 ms] l'intensité est une fonction affine croissante ;

le coefficient directeur de la droite est : 2010-3 / 2 10-3 = 10A/s.

La droite passe par le point ( 2 10-3 s ; -0,01A) d'où : -0,01 = 10*2 10-3 +b soit b = -0,03A

i(t) = 10 t - 0,03 en ampère sur [2 ; 4 ms].

La bobine est traversée par un courant variable : il apparaît dans la bobine le phénomène d'auto-induction électromagnétique.

Une tension apparaît aux bornes de la bobine : UBA = Ldi/dt = 0,005 di/dt

UBA = 0,005*(-10) = -0,05 V sur [0 ; 2 ms] soit UAB = 0,05 V.

UBA = 0,005*(10) = 0,05 V sur [2 ; 4 ms] soit UAB = -0,05 V.

UPN=UAN=E-ri ; UBN=Ri ; UAB = Ldi/dt

UAN=UAB +UBN d'où E-ri = Ri + Ldi/dt

Li' + (R+r)i = E soit i' + (R+r) / L i = E/L on pose t = L/ (R+r)

solution générale de l'équation différentielle sans second membre : i(t) = A exp ( -t/ t )

solution particulière de l'éq différentielle : quand le régime permanent est atteint i'=0 et i = E/ (R+r)

solution générale de cette éq différentielle : i(t) = A exp ( -t/ t ) + E/ (R+r)

A est déterminée par les conditions initiales ( t=0 et i=0) :

0 = A + E/ (R+r) donne A = - E/ (R+r)

i(t) = E/ (R+r) [1-exp ( -t/ t )].

uAB(t) = L i' = L E/ ((R+r) t ) exp ( -t/ t ) = E exp ( -t/ t ).

au bout d'un temps supérieur à 5 t= 5*0,005 / 110 = 2,3 10-4 s , le régime permanent est atteint.

en régime permanent : i = e/ (R+r) = 6 / 110 = 54,5 mA et uAB=0.

énergie maximale stockée dans la bobine : ½Li² = ½ 5 10-3 *0,0545² = 7,42 10-6 J.

UPN=UAN=E-ri ; UBN=Ri ; UAB = qA/C = q/C

i = q' = C u'AB.

UAN=UAB +UBN d'où E-ri = Ri + UAB

UAB + (R+r)C u'AB= E soit u'AB + (1/ (R+r)C) UAB = E / t on pose t = C(R+r)

solution générale de l'équation différentielle sans second membre : UAB (t) = A exp ( -t/ t )

solution particulière de l'éq différentielle : charge terminée UAB = E

solution générale de cette éq différentielle : UAB (t) = A exp ( -t/ t ) + E.

A est déterminée par les conditions initiales ( t=0 et UAB =0) :

0 = A + E donne A = - E

UAB (t) = E [1-exp ( -t/ t )]. soit q = CUAB (t) et i = C U'AB.

i(t) = C E/ t exp ( -t/ t ) = E / (R+r)exp ( -t/ t ).

Quand la charge est terminée, l'intensitée est nulle , qA(max) = CE = 5010-6*6 = 3 10-4 C ; qA = -qB ;

énergie emmagasinée par le condensateur en fin de charge : ½CE² = 0,5*5010-6*6² = 9 10-4 J.

USA = R1 i ; USB = USA + UAB = USA +0= -R1i' d'où i = - i'.

UAD = UAB + UBD = 0+ (-R0i') = R0 i.

de plus UAD = Li' + q / C + Ri avec i= q' soit i' = q"

Lq" + q/C+Rq' = R0 q' ou bien q" + q/(LC) + (R-R0)q'=0

si R= R0 alors l'équation différentielle s'écrit : q" + q/(LC)=0

la période des oscillations est T = 2p racine carrée (LC) = 6,28 (5 10-3 *5010-6)½ = 3,14 10-3 s.

la courbe q(t) est une sinusoïde.

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