On considère un système de fentes d'Young constituées de deux fentes fines parallèles F₁ et F₂. Ce système est éclairé par une étoile E considérée comme ponctuelle. L'axe de symétrie du système passe par E. La lumière provenant de l'étoile étant complexe, un dispositif non représenté, permet de n'utiliser qu'une longueur d'onde l. On observe ce qui se passe sur un écran situé à une distance d= 12,5 m ( cette valeur est valable pour tout l'exercice) du centre des fentes. On appelle D la distance entre l'étoile et le plan des fentes. OM = x, l'abscisse d'un point M sur l'écran et a, la distance entre les fentes. D et d sont très grands devant a. On admet que si e est très inférieur à 1 alors (1+e)^½ voisin de 1 +½e.

1. On observe sur l'écran un phénomène d'interférences dû à la superposition d'ondes lumineuses provenant de plusieurs sources. Que peut-on répondre à l'objection suivante " les faisceaux lumineux provenant de E et passant respectivement par F₁ et F₂ ne peuvent s'interpénétrer, la lumière se propageant en ligne droite, on ne devrait pas observer d'interférences ".
2. On appelle d la différence de marche telle que d = EF₂ + F₂M -( EF₁ + F₁M). Exprimer d en fonction de a, x et d.
3. A quelle condition aura t-on des interférences constructives au point M ?
4. Calculer la distance entre deux franges brillantes consécutives si l = 0,612 m m et a = 1,25 m.
5. Une deuxième étoile E' de même intensité lumineuse que E se trouve sur un axe parallèle à Ox. On pose EE' = Y. On considère aussi que l'étoile est ponctuelle et qu'on ne laisse passer que la longueur d'onde l. On suppose que Y est très petit devant D.
   - Exprimer la différence de marche d '= E'F₂ + F₂M -( E'F₁ + F₁M) en fonction de Y, D, x, d et a.
6. L'étoile E' va créer sur l'écran un système de franges d'interférences. On admet que le phénomène d'interférences disparaît si les franges brillantes dues à l'étoile E' s'intercalent au milieu des franges brillantes dues à l'étoile E. On suppose que la distance a est réglable.
   - Quelle est la valeur minimale de a notée a _min qui permet d'observer la disparition des franges en fonction de l, Y et D ?
   - Si l = 0,612 m m et a _min = 1,52 m, calculer la distance angulaire entre les deux étoiles notée a = Y / D.

corrigé

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A partir d'une source ponctuelle et monochromatique, il suffit de diviser l'onde en deux sources secondaires. Ces 2 sources secondaires issues d'une même source sont cohérentes.

A partir des deux fentes fines F₁ et F₂, on observe un phénomène de diffraction :

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différence de marche d = n (S₁M-S₂M) .

Tout le système est plongé dans le même milieu d'indice n. On supposera d >> a soit S₁M + S₂M voisin 2 d.

S₁M²=d²+(x-0,5 a)²

S₂M²=d²+(x+0,5 a)²

S₂M² -S₁M² = (x+0,5 a)²-(x-0,5 a)²

(S₂M-S₁M)(S₁M+S₂M) = 2 a x

S₂M-S₁M voisin a x /d

d = n a x /d = a x /d dans l'air.

Si l'ordre d'interférence (p=d/l) est un entier ( la différence de marche est un multiple de la longueur d'onde), les interférences sont constructives ( franges brillantes : éclairement maximal).

Si l'ordre d'interférence est égal à 2n+1 ( n entier) ( la différence de marche est un multiple impair de la demi longueur d'onde), les interférences sont destructives ( franges noires).

La distance séparant deux franges brillantes consécutives est égale à l'interfrange :

i = ld/a = 0,612 10^-6 *12,5 / 1,25 = 6,12 10^-6 m.

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La différence de marche en M est :

d' = (E'S₂+S₂M-E'S₁-S₁M)= (E'S₂-E'S₁) + (S₂M-S₁M)

d' = (E'S₂-E'S₁) + a x /d

un calcul comparable à celui ci dessus conduit à E'S₂-E'S₁ = a Y / D.

d'où : d' = a (Y / D+ x /d ). 

Les nouvelles franges brillantes pour l'étoile E' sont telles que :

a (Y/ D+ x /d ) = p l.

Y/ D+ x /d = p l /a ou x = p l d/a - dY/D

de même pour les franges noires :

x = (2p+1) l d/(2a) - dY/D

L'interfrange reste inchangé. La nouvelle frange centrale a une abscisse X₀= - dY/D

du coté opposé à l'étoile E'.

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Le phénomène d'interférence disparaît si la frange centrale du système d'interférence donné par E' coincide avec la première frage noire du système d'interférence donné par E.

Or la distance entre la frange centrale et la première frange noire est ½ i = ½ld/a

par suite ½ld/a_min = dY/D

a_min = lD/ (2Y).

la distance angulaire est Y/D soit l/(2a_min )= 0,612 10^-6 / (2*1,52) = 2 10^-7 rad. 

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