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champ et potentiel électrique physique sup

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révisions lycée


cours 1
flux de vecteur - th. de Gauss
le vecteur surface S est perpendiculaire à la surface.

le flux F s'exprime en Vm

E en Vm-1 et S en


th. de Gauss

Le flux du champ électrique à travers une surface fermée est égal à :

e0 permittivité du vide =8,85 10-12 Fm-1.

qi charges intérieures à S

qs charges superficielles portées par S

charges (coulomb)


potentiel électrique

potentiel V en volt

gradient d'un scalaire V: c'est un vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles de V par rapport à x,y,z.





application 1
Champ et potentiel électrique d'une sphère chargée en volume
La sphère S de rayon R porte la charge volumique uniforme r.

par raison de symétrie le champ est radial


champ électrique :
(point extérieur)

flux envoyé à travers la sphère S de rayon r.

définition du flux : F= 4pr2E

th. de gauss : charge intérieure à S= charge de S =4/3 pR3r.

F= 4/(3e0) pR3r

E = R3r/(3e0r2)


potentiel électrique :

Q=charge de S ; la constante est nulle (potentiel nul si r tend vers l'infini)

tout ce passe comme si la charge était concentrée au centre de la sphère


point intérieur : même calcul

E = rr/(3e0) ; potentiel : r/(2e0)(-r²/3+ R²)



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application 2
champ et potentiel crée par un cylindre infini
 

Calculer le champ et le potentiel crées par un cylindre infini, de rayon R, portant une densité volumique de charge r constante.


corrigé


flux de E à travers S.

En tout point de la surface latérale S, par raison de symètrie, le champ est radial et a même module. Le flux de ce vecteur à travers la surface latérale de longueur h est E 2pxh.

En tout point de S1 ou S2 le vecteur E est normale au vecteur surface : le flux de E est nul à travers les 2 bases.


charge

intérieure au cylindre S de rayon x :

x < r : Q=px²hr.

x >= r : Q=pr²hr.

th de Gauss :

E 2prh = Q/e0.

x < r : E= xr / (2e0)

x >= r : E= r / (2e0x)

origine des potentiels, l'axe du cylindre

potentiel électrique

si x > r : V = -r / (2e0) ln(x) + Cte.

Comment trouver la constante d'intégration ?

lors de la traversée de la surface du cylindre de rayon r, V est continu.

V =-r / (4e0) (1+2ln(x/r) )


application 3
champ et potentiel crée par un disque
Le disque est uniformément chargé en surface , s densité surfacique. Déterminer le champ et le potentiel crée en un point de l'axe du coté des charges.

corrigé


L'élément de surface dS du disque porte la charge dq = s dS et crée en M (OM=x) le potentiel dV


champ

le champ résultant est dirigé vers le disque si la charge est négative.


application 4
Un petit disque au dessus d'une sphère
  1. Calculer la charge totale Q et la densité superficielle s d'une sphère conductrice S de rayon R=50 cm, portée au potentiel V=100 kV.
  2. Un petit disque métallique (r=1 cm, m=0,1g épaisseur négligeable) est placé au sommet de la sphère. A quel potentiel faut-il porter la sphère pour que le disque se soulève ?
  3. La sphère est portée au potentiel V1=510 kV. Le disque atteint une position d'équilibre à une hauteur z au dessus de la sphère. Calculer z.
  4. Le disque est maintenu dans la position précédente. calculer les densités superficielles des 2 faces du disque.

corrigé


charge (coulomb) = surface sphère () fois densité superficielle(Cm-2)

Q=4ps.

potentiel V = Q / (4pe0R) = Rs /e0

d'où s = 105*8,85 10-12 /0,5 = 1,77 10-6 Cm-2 et Q= 5,56 10-6 C


champ électrique et force

A l'intérieur d'un conducteur en équilibre le champ est nul.

A la surface d'un conducteur en équilibre le champ vaut s/e0.

Au voisinage, à l'extérieur de la surface d'un conducteur , le champ E est normale à la surface, a pour valeur s/e0. Il est dirigé vers la surface si les charges sont négatives et vers l'extérieur si elles sont positives.

Le disque prend une charge de densité s (charge disque q = s p)au contact de la sphère. Ce disque est soumis à une force F colinéaire au champ et de même sens,

de valeur qE= s2 pr²/(2e0) avec s= Ve0 /R

F = e0pr² V²/(2R²)

Le disque se soulève dés que cette force est supérieure au poids du disque( mg).

d'où la valeur limite de V : V²= 2mgR² / (e0p)

V= 425 kV


Le disque se soulève d'une hauteur h au dessus de la sphère emportant la charge s pr².

Compte tenu des dimensions du disque la charge de la sphère n'est guère modifiée. La sphère crée à cette hauteur h un champ E de valeur

E= 1/ (4pe0) Q/(R+z)² = RV1 / (R+z)²

Le disque atteind une position d'équilibre lorsque la force électrique s pE est égal au poids du disque

s pRV1 / (R+z)²= mg avec s= V1e0 /R

(R+z)²= pe0V1² /(mg) d'où z=0,35 m


les charges

s' : densité surfacique face supérieure

s'' : densité surfacique face supérieure

s' s + s'' s = s s

s' + s'' = s =V1e0 /R (1)


les champs en O

E1 : du aux charges inférieures du disque mince : s' /(2e0)

E2 : du aux charges de la sphère : RV1 / (R+z)²

E3 : du aux charges supérieures du disque mince : s'' /(2e0)

à l'intérieur du disque , le champ est nul:

(-s'' + s')/(2e0) + RV1 / (R+z)² =0 (2)

résoudre le système de deux équations.

s'' = 7,44 mCm-2.

s'= 1,58 mCm-2.

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