Aurélie nov 2001
Ondes hertziennes Capes physique appliquée 97

rappels des lois fondamentales

étude d'un plasma

influence du champ magnétique terrestre

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Le problème a pour objet l'étude de la propagation des ondes hertziennes dans la haute atmosphère. L'action du champ de pesanteur sera partout négligé.

Données : e = 1,6 10-19 C ; masse de l'électron me = 9 10-31 kg ; masse du proton mp = 1,67 10-27 kg ;

c0= 3 108 m/s ; m0 = 4p 10-7 H/m ; rayon de la terre R= 6370 km ; champ magnétique terrestre au sol : B0 = 4,7 10-5 T

Etude d'un plasma : les vecteurs sont écrits en gras et en bleu; les lettres soulignés correspondent à des nombres complexes.

On considère un plasma, milieu ionisé où se trouve des électrons libres, des ions positifs et des molécules neutres ; du point de vue macroscopique, ce milieu est toujours localement neutre. Ce plasma est un milieu suffisamment raréfié pour que, en première approximation, les interactions entre les particules n'interviennent pas.

  1. Dans un milieu dispersif, l'équation de propagation est , dans le cas d'une onde monochromatique à condition de considérer que la permitivité e est une fonction de pulsation w.
    - Rappeler en quelques mots ce que représente le phénomène de dispersion : citer un exemple en optique.
    - Soit une onde plane sinusoïdale se propageant suivant ux, dont le champ électrique s'écrit : E = Re(E) avec
    E = E0 exp (i(wt-kx). Comment s'appelle k = kux ?
    - Montrer que la relation entre k et w appelée relation de dispersion est : k²c0² = er w ²
  2. L'onde plane étudiée ci dessus se propage dans le plasma. Dans le vide, une particule de charge q, de masse m, animée de la vitesse non relativiste v est soumise à l'action de l'onde plane hertzienne.
    - Donner l'expression de la force de Lorentz que subit cette particule dans les champs électrique E et magnétique B de l'onde.
    - Rappeler la relation liant les normes de ces deux champs dans le cas de cette onde plane progressive.
    - Montrer que l'action du champ magnétique est négligeable devant celle du champ électrique.
  3. On suppose que les particules électrisées du plasma sont des protons et des électrons soit par unité de volume N électrons et N protons avec : N= 6,1 1011 particule /m3.
    - Etablir l'équation différentielle qui régit le mouvement d'une particule électrisée M de charge q, de masse m dans le champ électrique de l'onde et la résoudre en supposant la particule initialement immobile en O; on posera s = OM.
    - Déterminer l'amplitude s0 des oscillations forcées en fonction de l'amplitude E0 du champ électrique de l'onde.
    - Calculer le rapport des amplitudes du mouvement d'un électron et de celui d'un proton. Conclure.
  4. Sous l'action de cette onde précédente, les particules effectuent des oscillations forcées, les vecteurs déplacements sont se pour un électron et sp pour un proton. On définit alors un vecteur polarisation de ce milieu ionisé P= Ne(sp-se). Les protons peuvent être considérés comme fixes : on ne s'intéresse donc qu'au mouvement des électrons.
    Le vecteur polarisation peut s'exprimer sous la forme générale en fonction du champ électrique par la relation : P=e0(er-1)E..
    - A partir des résultats précédents, montrer que la permitivité relative er du plasma s'écrit : er = 1 - Ne² / (me0w²)
  5. Reprendre l'équation de dispersion . La propagation n'est possible que si k est réel.
    - Donner l'expression de la pulsation limite w0 (pour laquelle k=0), appelé pulsation propre du plasma, et celle de la longueur d'onde dans le vide l0 correspondante.
    - Calculer les valeur de w0 et l0.
    - représenter k = k(w)
  6. Que se passe t-il si on envoie une onde de pulsation inférieure à w0 dans le plasma ?
    - Deux stations radio émettent sur des longueurs d'onde de 1 376 m et 2,85 m. Laquelle peut espérer une réflexion ionosphérique pour avoir une plus vaste audience ? (On suppose qu'il existe une couche ionisée analogue au plasma étudié).

dispersion :

Si la vitesse de phase vF = c/ n(w) dépend de la fréquence, alors il y a dispersion. En optique les rayons bleus sont plus déviés que les rayons rouges à travers un prisme: cela est dû à la dispersion.

k est le vecteur d'onde.

dériver deux fois E par rapport au temps et par rapport à x.


force de Lorentz :

Dans le cas d'une onde plane progressive B= E / c

D'autre part la valeur maximum du produit vectoriel est vB : en conséquence

l'action de la force magnétique est négligeable devant l'action de la force électrique.


amplitudes :

Système étudié : la particule chargée M ; le référentiel d'étude est supposé galiléen.

Le poids et la force magnétique étant négligeables devant la force électrique, la seconde loi de Newton s'écrit :

On utilise la représentation complexe et on considère comme négligeable la variation de la phase de l'onde kx(t)

L'amplitude des oscillations forcées est : s0 = |q|E0 / (w²m)

le rapport des amplitudes du mouvement d'un électron et de celui d'un proton est égal à l'inverse du rapport de leur masse

soit mP / me très supérieur à 1.

l'amplitude du mouvement des protons est très faible par rapport à l'amplitude du mouvement d'un électron. Les protons sont considérés comme étant fixes.


vecteur polarisation :

Le vecteur polarisation s'écrit en considérant les protons fixes : P = - Ne se.

Utiliser la notation complexe :

d'une part se = eE / (mew²)

et : P = -Nese = -Ne²E / (mew²)

d'autre part P =e0(er-1)E

e0(er-1) = -Ne² / (mew²)

er-1 =-Ne² / (mew² e0 )

er =1-Ne² / (mew² e0 ).


pulsation limite w0 :

remplacer dans k² = w²er / c0² , er par l'expression ci dessus :

k² = w²/ c0² [1-Ne² / (mew² e0 )]

valeur de w correspondant à k=0 :

1=Ne² / (mew0² e0 )

mew0² e0 = Ne²

w0² = Ne² / (me e0 ).

aplication numérique :

e0 m0 c0² =1 donne e0 =1 / (9 1016*4*3,14 10-7) = 8,84 10-12.

w0² = 6,1 1011 *(1,6 10-19)² / (9,1 10-31* 8,84 10-12) = 1,94 1015.

w0 = 4,4 107 rad/s.

longueur d'onde associée l0 =2p c0/w0.

l0 = 6,28 *3 108 / 4,4 107 = 42,8 m.


courbe k(w) :

Si w< w0, pas de propagation dans le milieu : il y a réflexion totale.

l = 1376 m supérieur à l0 donc w< w0 et il y a réflexion sur la couche ionisée.

Cette station aura une plus large audience.

l = 2,85 m inférieur à l0 donc w> w0 et il y a propagation à travers la couche ionisée.


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