Aurélie nov 2001
Ondes hertziennes Capes physique appliquée 97

rappels des lois fondamentales

étude d'un plasma

influence du champ magnétique terrestre

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Le problème a pour objet l'étude de la propagation des ondes hertziennes dans la haute atmosphère. L'action du champ de pesanteur sera partout négligé.

Données : e = 1,6 10-19 C ; masse de l'électron me = 9 10-31 kg ; masse du proton mp = 1,67 10-27 kg ;

c0= 3 108 m/s ; m0 = 4p 10-7 H/m ; rayon de la terre R= 6370 km ; champ magnétique terrestre au sol : B0 = 4,7 10-5 T

rappels des lois fondamentales : les vecteurs sont écrits en gras et en bleu

On donne les équations de Maxwell que doivent vérifier respectivement le vecteur champ électrique E et le vecteur champ magnétique B en notant r la densité volumique de charge et j le vecteur densité de courant.

On souhaite en donner une interprétation physique

  1. Retrouver le théorème de Gauss en appliquant le théorème d'Ostrogradski à un volume V limité par une surface fermée orientée S.
  2. Retrouver la loi de Faraday en appliquant le théorème de Stockes à une surface S s'appuyant sur une courbe orientée fermée. A quel phénomène physique correspond-elle ?
  3. De même en se plaçant en régime permanent retrouver le théorème d'Ampère.
  4. Montrer que le flux de B à travers une surface fermée est nul. Que peut-on dire des lignes de champ magnétiques ?
  5. Récrire les équations de Maxwell dans un milieu linéaire, homogène et isotrope de permitivité e = e r e0 et de perméabilité m0 en l'absence de toutes charges électriques et de toute densité de courant.
  6. Montrer que le champ électrique E vérifie l'équation de propagation dans ce milieu :

    en donnant l'expression de la célérité c de l'onde associée en fonction de c0 célérité dans le vide.

  7. Simplifier l'équation précédente dans le cas d'une onde plane dont le vecteur E ne dépend que du temps et de l'abscisse x. Les solutions générales de cette équation sont de la forme :

    Que représente les vecteurs E1 et E2


théorème de Gauss :

On applique le théorème d'Ostrogradski à l'équation de Maxwell-Gauss:

Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée est égal à Qint / e0.


loi de Faraday :

On applique le théorème de Stockes à l'équation de Maxwell-Faraday :

le contour C sera supposé fixe.

La loi de Faraday associée au phénomène d'induction électromagnétique


théorème d'Ampère :

En régime permanent :

Expression du théorème d'Ampère


il n'existe pas de charge magnétique :

à partir de la relation de Maxwell concernant le flux du champ magnétique :

Le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est nul du fait qu'il n'existe pas de charges magnétiques. En électrostatique, les lignes de champ sont issues des charges positives et aboutissent sur les charges négatives ; ces lignes sont des courbes ouvertes. Par contre du fait de l'absence de charges magnétiques les lignes de champ magnétique sont des courbes fermées.


absence de charges électrique libres :

la densité volumique de charges r =0

la densité de courant est nulle j = 0

remplacer e0 par e = e r e0

Les équations de Maxwell s'écrivent :


célérité de l'onde :

Ecrire l'équation de Maxwell-Faraday puis prendre le rotationnel

la célérité c de l'onde est telle que c² m0 e0er =1 or c0² m0 e0 =1 d'où :er =c0².

Le vecteur E1 correspond à une onde plane progressive dans le sens des x croissants.

Le vecteur E2 correspond à une onde plane progressive dans le sens des x décroissants.


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