Aurélie déc 2000

d'après concours kiné Limoges 2000

les 2 exercices suivants
1

charge du condensateur

On place l'interrupteur en position 1 pendant quelques secondes.

  1. Déterminer l'équation liant la tension uBD, sa dérivée par rapport au temps et les caractéristiques des composants du circuit.
  2. Vérifier que uBD= E+A e-bt est solution de l'équation précédente quelle que soit la valeur de A, mais avec une valeur particulière de b que l'on exprimera en fonction de certaines grandeurs du circuit. Que représente 1/b. Calculer sa valeur.
  3. Donner l'allure de la courbe uBD=f(t). On déterminera comment sur la courbe déterminer 1/b.
  4. Calculer l'énergie acquise par le condensateur en fin de charge
corrigé

condensateur en série avec un résistor et un générateur de tension continue : charge du condensateur.

E = Ri + uBD.

avec q=CuBD et i= q' =Cu'BD.(dérivée de la charge qpar rapport au temps)

E = RC u'BD + uBD.(1)

uBD= E+A e-bt

dériver : u'BD =-Abe-bt

remplacer dans (1)

E= RC(-Abe-bt ) + E+A e-bt

vérifier quelque soit A à condition que 1/b =RC constante de temps du dipole RC.

RC=104 *100 10-9= 10-3 s

énergie acquise par le condensateur en fin de charge :

0,5 CE² = 0,5 100 10-9 *5² = 1,25 microjoule. 
2

décharge du condensateur à travers la bobine

 

On bascule ensuite l'interrupteur en position 2

  1. Quelle est l'allure générale de la courbe d'équation uBD=g(t) dans les 2 cas suivants : R' est faible; R' est très élevée.
  2. On suppose R' nulle. Etablir l'équation différentielle permettant de déterminer uBD(t). Donner l'allure générale de la courbe d'équation uBD=h(t) et calculer sa période.
corrigé

R' grande , régime apériodique
R' peu élevée, régime pseudopériodique
condensateur en série avec une bobine inductive de résistance négligeable

tension aux bornes du condensateur plus tension aux bornes de la bobine =0

u BD + L di/dt = u BD + L i'

avec i = q' = C u'BD donc i' = q" = C u"BD .

u BD + L C u"BD= 0

la courbe uBD = h(t) est une sinusoïde de pulsation w = racine carrée (1 / (LC))

de période T = 2 p racine carrée (LC) = 6,28 racine carrée ( 0,1*10-7)

T= 6,28 10-4 s.
3

dipole RLC en régime forcé

On étudie la réponse d'un circuit RLC série pour un régime forcé sinusoïdal imposé par un générateur de tension. On relève l'intensité efficace I du courant pour différentes fréquences. Le générateur maintient une tension de valeur efficace U=0,8 V constante.

  1. Déterminer la fréquence de résonance f0 : relever l'intensité I0 de résonance.
  2. Quelle est la bande passante b à 3dB ? Quel est le facteur de qualité ?
  3. Le facteur de qualité est aussi égal à Lw0 / R. Déterminer les valeurs de la résistance totale R, de l'inductance L et de la capacité C de l'oscillateur.
  4. La résistance R du circuit est divisée par 2 :
  • Que devient la fréquence de résonance ?
  • Calculer la nouvelle valeur de la bande passante ?
  • Le circuit est-il: plus sélectif, aussi sélectif, moins sélectif ?

 

 corrigé

lecture graphique : f0 =2000 Hz et I0=0,004 A

bande passante : ensemble des fréquences pour lesquelles l'intensité est supérieure à 0,004 / 1,414 soit intensité supérieure à : 0,0028 A

tracer une horizontale passant par 0,0028 A puis à partir des intersections avec la courbe, tracer 2 verticales.La bande passante est l'ensemble des fréquences comprises entre ces 2 verticales.

1,7 à 2,5 kHz soit b voisin de 800 Hz

facteur de qualité : f0 / b voisin de 2000/ 800 = 2,5.

à la résonance d'intensité :

  • l'impédance du circuit est minimale, égale à la résistance du circuit
    Ueff = R Ieff avec Ieff = 0,004 A
    R = 0,8 / 0,004 = 200 ohms.
  • la fréquence du générateur est égale à la fréquence propre du dipole LC
    2000= 1 / (2p racine carrée (LC))
    LC = 1 / (4p²* 2000²) = 6,34 10-9. (1)
  • la bande passante est égale à Lw0 / R avec w0 = 2 p f0 = 6,28 *2000 = 1,256 104 rad s-1.
    d'où L= 2,5 * 200 / 1,256 104 = 40 mH.
repport dans (1) : C = 6,34 10-9/ 0,040 = 1,58 10-7 F
la résistance du circuit est divisée par 2 :
  • le facteur de qualité double et devient égal à 5.
  • la fréquence propre du dipole Lc ne change pas donc b= 2000/5 =400 Hz
  • le circuit est plus sélectif, la bande passante est plus étroite et le facteur de qualité augmente.
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