Manipulateur radio d'après concours 2004 (Poitiers)

étude d'une bobine -mouvement d'une bille- estérification et cinétique - zone de virage d'un indicateur coloré

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Etude d'une bobine (5 points)

  1. Une bobine (L,r) est alimentée par une tension continue U=E=5V. il passe alors un courant permanent I= 100 mA dans la bobine. En déduire la résistance interne de la bobine.
  2. On ouvre le circuit en un intervalle de temps Dt=0,1 ms. La tension aux bornes de la bobine passe par la valeur |Umax|= 500 V. En déduire que la valeur de l'inductance de la bobine est L=0,5 H.
    - Quelle pourrait être la conséquence de cette tension ? Comment y remédier ?
  3. Définir puis calculer la constante de temps t du dipôle (L,r). Montrer que t est homogène à un temps. Quel est l'interêt de cette grandeur ?
  4. Déterminer l'intensité emmagasinée dans la bobine lorsque l'intensité i(t) qui la traverse passe de 0 à I=100 mA. Comment pourrait-on mettre en évidence cette énergie ?

corrigé
En régime permanent et en courant continu la bobine la tension aux bornes de la bobine est :

U=rI soit r = U/I = 5/0,1 = 50 W.

à l'ouverture de l'interrupteur la tension aux bornes de la bobine est :

u = LDi/Dt + r i voisin de L Di/Dt avec |Di |= 0,1 A

L= u Dt / Di = 500 *10-4 / 0,1 = 0,5 H.

On observe alors une étincelle de rupture aux bornes de l'interrupteur : pour l'éviter monter une diode " dite de roue libre" en dérivation sur la bobine.

constante de temps : t = L/r = 0,5 / 50 = 10-2 s = 10 ms.

L = uL= u Dt / Di homogène à : [V] [s] [A]-1.

r = U/I homogène à : [V] [A]-1.

donc L/r homogène à un temps.

la constante de temps permet de connaître la durée du régime transitoire ( 5 fois la constante de temps) pendant laquelle la bobine stocke de l'énergie à la fermeture de l' interrupteur ; au dela de 5t le régime permanent est établit.

énergie stockée par la bobine : ½LI²max = 0,5*0,5*0,1²= 2,5 10-3 J.

à l'ouverture du circuit cette énergie peut être libérée dans un petit néon provoquant un flash.




Etude d'une petite bille 5 points

A- mise en mouvement de la bille :

Un ressort de masse négligeable, à spires non jointives, a un coefficient de raideur k= 40 N/m et une longueur à vide l0= 20 cm. L'axe du ressort est horizontal. Il est fixé à son extrémité droite par un support fixe. A son extrémité gauche, une bille de masse m= 50 g est placée contre une butée P. Ce ressort va être utilisé pour lancer la bille dans une gouttière. On comprime le ressort ; sa longueur devient l= 8cm ; on libère le système. La bille quitte la butée lorsque le ressort reprend sa longueur initiale. En supposant les frottements négligeables, établir l'expression littérale de la vitesse vA avec laquelle la bille quitte le ressort puis effectuer l'application numérique.


B- mouvement de la bille dans la gouttière située dans un plan vertical :

La gouttière ABCD sert de parcours à cette bille supposée ponctuelle. g= 9,8 m/s².

Les frottements sont négligés , la gouttière étant parfaitement lisse. AB est un demi cercle de rayon r= 0,5 m. La bille part de A avec la vitesse vA précédente.

  1. Enumérer et représenter en M les forces extérieures subie par la bille.
  2. Etablir le travail de ces forces entre A et B.
  3. En déduire l'expression de la vitesse en B. calculer sa valeur numérique vB.
  4. La bille parcourt la partie rectiligne horizontale BC=80 cm puis arrive en D avec la vitesse vD= 4 m/s. Après avoir décrit le mouvement de la bille entre B et C calculer la longueur L de la piste CD. a= 45°.

corrigé
En absence de frottement l'énergie mécanique du système {bille + ressort }se conserve : l'énergie potentielle élastique initiale se retrouve sous forme d'énergie cinétique quand la bille quitte la butée.

½k(l0-l)² = ½mv²A soit v²A =k(l0-l)² / m

A =40(0,2-0,08)²/0,05 = 11,52 et vA = 3,4 m/s.

l'action du support R, perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas.

le travail du poids est moteur lors de la descente A--> B: mgAB= 2mgr

la variation de l'énergie cinétique entre A et B est égal à la somme des travaux des forces :

½mv²B-½mv²A= 2mgr

B= v²A + 2gr = 3,4² + 2*9,8*1=31,16 et vB= 5,58 m/s.

entre B et C la bille est pseudo-isolée ( poids et action du plan se compensent) : donc entre b et C la vitesse garde la même valeur ( mouvement rectiligne uniforme d'après le principe d'inertie ou 1ère loi de Newton)

Sur le plan incliné le travail du poids est résistant en montée : -mg CD sina.

l'action du plan perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas.

la variation de l'énergie cinétique entre C et D est égal à la somme des travaux des forces :

½mv²D-½mv²C= -mg CD sina.

D- v²C = -g CD sina soit CD=( C- v²D )/(g sina )

CD=( 5,58²-4²) / (9,8*0,707)= 2,18 m.


 étude d'un estérification : ( 5 points)

On se propose d'étudier la réaction d'estérification entre l'acide méthanoïque et l'éthanol

masse molaire (g/mol)
masse volumique g/mL
température d'ébullition °C
acide méthanoïque HCOOH
46
1,22
101
éthanol CH3CH2OH
46
0,79
78
méthanoate d'éthyle
74
0,91
55
eau
18
1
100
A - la réaction d'estérification :

On chauffe à température constante plusieurs récipients contenant tous, initialement, un mélange de 0,5 mol d'acide ùméthanoïque et 0,5 mol d'éthanol. On dose à différentes dates l'acide restant dans chacun de ces mélanges et on en déduit la quantité de matière d'ester formé. On obtient la courbe ci-dessous.

  1. En utilisant les formules semi-développées, écrire l'équation de la réaction associée à la transformation chimique qui a lieu.
  2. Exprimer littéralement puis calculer le volume d'éthanol et d'acide méthanoïque que l'on a versé dans chacun des récipients pour obtenir le mélange équimolaire.
  3. Si on avait ajouté quelques mL d'acide sulfurique concentré dans chacun des récipients, aurait-on obtenu davantage d'ester ? Y aurait-il eu un intérêt quelconque ?
  4. On recommence l'expérience en plaçant le même mélange dans un ballon surmonté d'un dispositif de distillation fractionnée permettant d'éliminer au fur et à mesure, l'ester formé.
    - Faire le shéma du montage utilisé.
    - Quel est l'effet du dispositif sur le rendement de l'estérification? Justifier.
    Quelle température indique un thermomètre placé en haut de la colonne à distiller pendant cette opération ?
  5. Citer une autre méthode permettant de modifier le rendement dans le même sens qu'à la question précédente.
  6. Comment pourrait-on obtenir le même ester par une réaction rapide et totale ? Ecrire l'équation de la réaction associée à la transformation chimique correspondante. Utiliser les formules semi-développées et nommer le réactif utilisé avec l'éthanol.

B cinétique de la réaction d'estérification :

  1. Rappeler l'expression de la vitesse volumique de réaction v. Comment peut-on la déterminer graphiquement ?
  2. Comment éviolue cette vitesse au cours de la transformation chimique ? Justifier.
  3. D'un point de vue cinétique qu'est ce qui caractérise l'équilibre chimique lorsqu'il est atteint ?

corrigé
HCOOH + CH3-CH2OH= HCOO-CH2-CH3 + H2O

éthanol : 0,5 mol soit 0,5*46 = 23 g soit 23 / 0,79 =29,1 mL.

acide méthanoïque : 0,5*46 = 23 g soit 23/1,22 = 18,85 mL.

l'acide sulfurique catalyse la réaction : l'équilibre est atteint plus rapidement ; l'équilibre n'est pas modifié, donc on obtient la même quantité finale d'ester.

En élilminant l'un des produits au fur et à mesure qu'il se forme on déplace l'équilibre dans le sens direct, formation de l'ester.

La réaction est alors totale.

Le composé le plus volatil, dans ce cas l'ester, distille le premier : température constante 55°C

On peut pour obtenir le même résultat introduire un réactif en large excès.

On peut aussi remplacer l'acide méthanoïque par l'anhydride méthanoique

HCO-O-OCH + CH3-CH2OH= HCOO-CH2-CH3 + HCOOH


la vitesse volumique est la dérivée de l'avancement par rapport au temps.

graphiquement elle est donnée par la valeur absolue du coefficient directeur de la tangente à la courbe x=f(t) à la date donnée.

Au cours de la réaction cette vitesse diminue, puis s'annule : les quantités de matière des réactifs diminuent au cours du temps.

A l'équilibre, durant le même temps il se forme autant d'ester et d'eau par la réaction directe qu'il n'en disparaît par la réaction inverse, l'hydrolyse de l'ester : donc la composition du mélange ne change pas.



Détermination de la zone de virage d'un indicateur coloré (5 points)

L'indicateur coloré étudié est le bleu de bromothymol(BBT) dont les formes acide et basique seront notées respectivement InH et In-. On réalise des solutions aqueuse de BBT dans lesquelles les quantités en HIn et In- sont variables ( la concentration molaire volumique apportée en indicateur étant constante). Ces solutions ont des colorations différentes, ce qui justifie que l'on utilise la spectrophotométrie pour réaliser l'étude.

  1. Ecrire l'équation de la réaction entre la forme acide du BBT et l'eau puis donner l'expression de la constante d'acidité ka du couple HInd / In- ainsi que la relation entre pH et pHa du couple.
  2. Les graphes A= f(l) sont les spectres d'absorption des formes acide et basique du BBT donnant l'absorbance de la solution aqueuse en fonction de la longueur d'onde l.

    - Une solution aqueuse de BBT contenant majoritairement l'acide est jaune : à l'aide de la trichromie, judtifier cette coloration.
    - Pour faire des mesures de l'absorbance des différentes solutions on règle le spectrophotomètre à la longueur d'onde
    l = 620 nm. Dans ce cas A peut alors écrire sous la forme A= k[In-]. En vous aidant du graphe justifier cette expression sachant que k est une constante de proportionnalité.
    - Soit c la concentration molaire volumique du BBT dans la solution aqueuse, on a : Amax = k[In-]max = kc. En déduire l'expression suivante [In-] = (A / Amax ) c et donner l'expression de [HIn] en fonction de c, Amax et A.

  3. Ainsi la connaissance de [HIn], [In-] et du pH permet de tracer les courbes ci-dessous, représentatives de l'évolution des concentrations molaires [HIn], [In-] en fonction du pH. En déduire en justifiant le pKa du couple HIn / In-.
  4. Déterminer la zone de virage du BBT, définie par l'intervalle de pH dans lequel le rapport des concentrations molaires des formes basique et acide de l'indicateur est compris entre 0,1 et 10 soit : 0,1 <[In-] / [HIn]<10.

corrigé
HIn + H2O = In- + H3O+.

K= [In-][H3O+] / [HIn]

pH=pKa + log ([In-] / [HIn])

Une solution aqueuse de BBT contenant majoritairement l'acide est jaune :

la forme acide présente un maximum d'absorption vers 450 nm, en conséquence le bleu est absorbé et la solution apparaît jaune, couleur complémentaire du bleu.

l'étude doit être faite à une longueur d'onde pour laquelle l 'absorbance de la forme In- est maximale.( 620 nm)

A cette longueur d'onde la forme HIn n'absorbe pas, en conséquence l'absorbance A est proportionnelle à la concentration en forme basique [In-]

A = k [In-] et Amax = k [In-] max= kc

Amax / A = [In-] max/ [In-] = c / [In-] d'où: [In-]= A/Amax c.

de plus [HIn] + [In-]= c d'où [HIn] = c- [In-] = c-A/Amax c = (Amax -A)/Amax c.

lorsque pH = pKa, alors [HIn] = [In-] : l'intersection des courbes donne la valeur du pKa soit environ pKa=7.

zone de virage :

0,1 <[In-] / [HIn]<10.

log 0,1<log[In-] / [HIn] <log 10

-1<pH-pKa<1

pKa-1 <pH <pKa+1 soit 6 <pH< 8.



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