Physique chimie, jouer du violon, portrait de phase, concours général 2020.

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1. Le mouvement de Helmholtz ( noté mdH).
C'est le mouvement que le violoniste doit chercher à reproduire pour obtenir un son de qualité.
On considère une corde de longueur L, tendue entre deux extrémités fixes. Le contact entre l'archet et la corde s'effectue en un point M, supposé ponctuel,  situé à l'abscisse ß L ( 0 < ß < 1) comptée depuis l'extrémité de la corde fixée au chevalet. L'archet se déplace perpendiculairement à la corde à la vitese va, constante, par rapport au violon. Helmholtz a observé que la corde peut être décomposée en deux segments de droite reliés en un point P, appelé coin de Helmholtz.

D'un point de vue cinématique, la projection du coin P sur l'axe de la corde au repos, notée H, fait des allers-retours à la vitesse co entre les extrémités de la corde. Ce mouvement est périodique, de période T = 2 L / co. On peut montrer que la trajectoire du coin de Helmholtz P est constitué de deux arcs de parabole représentés en tirets.
Lorsque l'archet frotte la corde, cette dernière adhère à l'archet pendant la durée où le point H est situé entre l'archet et le sillet. Lorsque le point H est situé entre le chevalet et l'archet, la corde glisse sur l'archet. La figure suivante représente quelques états successifs de la corde au cours d'une période du mouvement de Helmholtz.




38. Les ondes de déformation de la corde peuvent-elles être qualifiées de longitudinales ou transversales ?
La déformation de la corde se fait perpendiculairement à l'axe de la corde. Il s'agit d'ondes transversales.
39. Quelle hypothèse permet de négliger tout phénomène de torsion de la corde ?
Hypothèse : la corde est supposée dans épaisseur ; elle ne peut donc pas tourner sur elle même.
40. Déterminer les valeurs de la période de vibration T et de la vitesse c0  correspondant à la vibration fondamentale  de la corde du ré. Peut-on suivre la déformation de la corde à l'eoil nu ? Justifier.
La corde du ré  a un fondamental de fréquence f = 294 Hz.
T = 1 / f = 1 / 294 ~ 3,40 10-3 s = 3,40 ms.
co = 2L / T = 2Lf = 2 x0,33 x 294 ~1,9 102 m /s.
L'oeil humain peut distinguer des féquences allant jusqu'à 10 Hz ( 10 images par seconde). Cet oeil ne peut donc pas suivre la déformation de la corde.

On s'intéresse au mouvement du point M de la corde, d'abscisse ßL, en contact avec l'archet.
41. Déterminer en fonction de ß et T, les expressions de Ta et Tg, durées respectives de la phase d'adhérence et de la phase de glissement.
Phase d'adhérence : H est situé entre archet et sillet. H effectue  un aller-retour entre archet et sillet, de longueur L(1-ß).
Ta = 2L(1-ß) / co = (1-ß)T.
Phase de glissement : durée de l'aller  retour entre archet et chevalet de longueur ßL.
Tg = 2ßL / co = ß T.

42. Pendant la phase d'adhérence, M se déplace à vitesse constante va par rapport au corps du violon. En utilisant la notion de valeur moyenne d'une grandeur périodique, justifier que la vitesse, supposée constante, du point M par rapport au corps du violon pendant la phase de glissement est donnée par : vg = -va ( 1-ß) / ß.
Le mouvement de la corde est périodique de période T.
adhérence : M parcourt la distance da à la vitesse va ;
da = va Ta = va (1-ß)T.
Glissement :
dg = vg Tg = vg ßT.
Le point M revient à sa position initiale :
da +dg=0 ;
va (1-ß)T +vg ßT = 0 ; vg = -va ( 1-ß) / ß.
43. En déduire les expressions de la position du point M, notée y(t), durant chaque phase en considérant que le mouvement commence à la date t=0 par une phase de glissement avec y(0) = 0.
A t=0, M est à la position d'équilibre, donc à la moitié de la phase de glissement.
Pour 0 < t < 0,5 Tg : y(t)=vgt =
-va ( 1-ß) / ß t.
La phase d'adhérence débute à t = 0,5Tg.
y(0,5Tg) =
-0,5va ( 1-ß) / ß Tg =0,5va ( 1-ß) T.
Pour  0,5 Tg < t < T-0,5 Tg , il y a adhérence.
y(t) = va(t-0,5 Tg)-0,5 va (1-ß)T =vat -0,5va( Tg+(1-ß)T) =
vat -0,5va( ßT+(1-ß)T)=va(t-0,5 T).
La dernière partie du mouvement est un glissement pendant t -(T-0,5 Tg)..
 T-0,5 Tg < t < T : y(t)=vg (t-(T-0,5 Tg)+0,5vaT(1-ß) =vgt+ vgT(1-0,5 ß)+
0,5[-vg ß /(1-ß)]T(1-ß).
y(t)=
vgt+vgT(1-0,5 ß)-0,5vg ßT=vgt+vgT(1-ß).


44. Montrer que l'amplitude de la déformation maximale ym de la corde à l'abscisse du point M s'écrit :
ym = 0,5 vaT(1-ß).
y varie de façon affine entre les deux valeurs extrèmes -0,5 va T(1-ß) et
0,5 va T(1-ß).
Amplitude de la déformation maximale de la corde en M :
ym = 0,5 vaT(1-ß).
45. Calculer ym pour la corde ré du violon avec va = 0,20 m /s et ß = 0,10. Commenter.
ym =0,5 x0,20 / 294 x(1-0,10) ~3,8 10-4 m= 0,38 mm, invisible à l'oeil nu.
La figure suivante représente y(t) d'une corde de violon pour différentes valeurs de la vitesse va.

46. Commenter l'allure expérimentale de l'élongation y(t) de la corde. Commenter l'influence de la vitesse  de l'archet sur cette élongation.
Aux variations linéaires du modèle de Helmholtz se superposent  d'autres variations dues à la présence d'harmoniques dans un son complexe.
La vitesse de l'archet influe uniquement sur l'amplitude de l'élongation ( intensité du son émis), mais pas sur sa forme.

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2.Un modèle d'oscillations entretenues.
Afin d'interpréter l'alternance de sphases d'adhérence et de glissement de la corde sur l'archet, on propose le modèle suivant.
Un objet, de masse m, repose sur un tapis roulant. Cet objet est relié à un point fixe par l'intermédiaire d'un ressort de constante de raideur k.

La position de l'objet, modélisé par un point matériel, est repérée par son abscisse y(t). Lorsque l'objet se trouve en y=0, le ressort n'est ni tendu, ni comprimé : sa longueur est égale à sa longueur à vide.
21. Portrait de phase de l'oscillateur harmonique.
Dans les questions 47 à 50, on fait l'hypothèse que le tapis est immobile et que l'objet se déplace sans frottement sur le tapis.
Dans ces conditions : y(t) = y0 cos ( w0t).
47.
w0 = ka mb où a et b sont des réels. k s'exprime en N m-1. Quelle est l'unité de w0 ? Déterminer a et b.
w0t étant sans dimension, w0 est l'inverse  d'un temps ( s-1).
k est une force divisée par une longueur ; une force est une masse fois une accélération.
k s'exprime en : kg  s-2. k / m s'exprime en s-2.
(k / m)½ sexprime en s-1.
Donc a = 0,5 et b = -0,5.
48. Déterminer l'expression de la vitesse de l'objet.
v(t) = dy / dt =
-w0 y0 sin (w0t).
On convient de représenter l'état de l'objet par un point N dans un plan muni d'un repère orthonormé. l'abscisse du point N est égale à
w0 y(t) et son ordonnée à v(t). La courbe décrite par ce point N lorsque le temps évolue est appelée portrait de phase du système étudié.
49. Justifier quelle  portrait de phase est un cercle, centré sur l'origine et de rayon w0 y0. Indiquer le sens de parcours et la position initiale de N.
abscisse x(t)= w0 y0 cos ( w0t) ; ordonnée v(t) = -w0 y0 sin (w0t).
x(t) 2 + v(t)2 = (
w0 y0)2.
Il s'agit de l'équation d'un cercle centré sur l'origine et de rayon R =
w0 y0.
Position initiale : abscisse : y0 ; ordonnée : 0.
Sens de parcours : celui des aiguilles d'une montre.
50. Comment se traduit sur le portrait de phase le caractère périodique du mouvement de l'objet ? Tonner l'expression de la période T0.
N décrit le cercle en une durée T0 constante.
w0 T0 = 2 p. T0 =2 p / w0.
2.2. Portrait de phase de l'objet entraîné par le tapis.
On considère que la partie supérieure du tapis se déplace par rapport au sol à la vitesse V > 0. On tient compte de forces de frottements qui s'exercent sur l'objet. L'actionn mécanique du tapis sur l'objet est modélisée par une force qui suit les lois de Coulomb du frottement de glissement :
- l'objet adhère au tapis tant que |Rt| < µs |Rn| où µs est le coefficient de frottement statique.
- lorsque l'objet glisse sur le tapis, alors
|Rt| = µd  |Rn| où µd est le coefficient de frottement dynamique.
La force de rappel élastique exercée par le ressort s'écrit :
On choisit les conditions initiales suivantes : y(0)=0 et dy /dt ( t=0) =  V. Le mouvement de l'objet débute par une phase d'adhérence sur le tapis.
51. Déterminer l'expression de la vitesse par  rapport au sol v(t) de l'objet durant la phase d'adhérence.
L'objet adhérant au tapis possède la même vitesse que le tapis : v(t) = V.
52. En appliquant la seconde loi de Newton, montrer que la phase d'adhérence se maintient tant que |y| < µs mg / k.
On écrit la seconde loi de Newton sur l'axe horizontal.  L'objet ayant la vitesse constante du tapis V, son accélération est nulle.
Par suite : k y(t)= Rt.
Sur l'axe vertical, cette loi conduit à  mg =  Rn.
L'objet adhère au tapis tant que |Rt| < µs  |Rn| soit ky(t) < mg µs.
Le portrait de phase est représenté ci-dessous. La phase de glissement correspond à une portion de cercle, centré sur la point C de coordonnées w0 µd mg / k ; 0). Le cercle complet est parcouru avec une vitesse angulaire constante, en une durée T0 déterminée à la question 50.

53. Donner la valeur de la vitesse V.
La vitesse est constante  ( adhérence) entre les points A et B1 et vaut V = 1,0 m /s.
54. Que représente le point A ? A quelle partie du portrait de phase correspond la phase d'adhérence ?
A est la position initiale de l'objet. AB1 correspond àla phase d'adhérence.
55. Justifier que le mouvement devient périodique, une fois B2 dépasé pour la première fois. Décrire ce mouvement.
L'objet par du point A, à vitesse constante : l'abscisse y augmente. Il dépasse le point B2 puis suit ce portrait sans jamais repasser sur le segment AB2. Le mouvement est donc bien périodique dès lors que B2 est dépassé pour la première fois.
Tant que la vitesse est positive, l'abscisse y croît. Quand la vitesse devient négative, y décroît : le portrait de phase se décrit dans le sens des aiguilles d'une montre.
56. Donner les durées de la phase d'adhérence, de la phase de glissement, la période du mouvement.
T0 est donnée égale à 1,0 s ;
w0 = 2 p. V = 1,0 m /s.
Distance w0 B2 B1 =0,6 m /s
Ta = 0,6 / (6,28) ~0,09 s.
tan a = HB1 / CH =0,3 / 1 =0,3 ; a ~17 °.
Portion du cercle correspondant au glissement : (360-2*17) / 360 ~0,91.
Durée du glissement Tg = 0,91 T0 = 0,91 s.
Période du mouvement : 0,91 +0,09 = 1 s.

57. En quoi ce modèle est-il pertinent pour décrire l'action de l'archet sur la corde ? Quelles sont les granndeurs caractéristiques de la corde du violon analogues à la masse m, à la constante de raideur k, à la vitesse V et aux coefficients de frottement.
Ce modèle est pertinent car il décrit les phases d'adhérence et de glissement qui se succèdent sur la corde du violon.
k ( N / m) correspond à la tension de la corde du violon divisée par la distance ß L.
V correspond à la vitesse va de l'archet.
58. En quoi ce modèle est-il criticable pour décrire le mouvement d'une corde de violon frottée ?
Pour la corde de violon : la phase d'adhérence  est longue, la phase de glissement est courte. C'est le contraire du modèle décrit ci-dessus.
De plus le modèle du tapis ne prend pas en compte la présence d'harmoniques.

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