un petit cheval de bois sur un manège

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coordonnées cartésiennes, cylindriques.

 

Le manège est constitué d'un disque de centre O tournant autout de l'axe Oz à la vitesse angulaire w constante. Le référentiel d'étude est galiléen. Le cheval de bois M effectue un mouvement vertical suivant l'axe d, d'amplitude a; le mouvement du cheval est périodique : z = a(1+sin(Wt))

  1. Donner les équations paramètriques du mouvement du cheval M ainsi que sa trajectoire.
  2. Donner les coordonnées etle module du vecteur vitesse.
  3. Donner les coordonnées et le module du vecteur accélération.
  4. Reprendre les calculs précédents en coordonnées cylindriques (l'origine des angles polaires coincide avec Ox).
     
corrigé


équation horaires du mouvement de M :

x(t) = OA cos(wt) = R cos(wt)

y(t) = OA sin(wt) = R sin(wt)

z(t) = a(1+sin(Wt))

x² + y² = R² et z² = a²(1+sin(Wt))²

OM² = R² + a²(1+sin(Wt))²

la trajectoire est représentée ci dessous.

Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur position:
x'(t) = R(-w)sin(wt)

y'(t) = Rwcos(wt)

z'(t)= aWcos(Wt)

v² = R²w² + a²W²cos²(Wt)

le vecteuraccélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse :

x"(t) = -Rw² cos(wt) = - w² x(t)

y"(t) = -Rw² sin(wt) = - w² y(t)

z"(t) = -aW²sin(Wt)

a² = R²w4+ a²W4sin²(Wt)

vecteur position : r =R ; q = wt ; z = a(1+sin(Wt))

trajectoire : r =R ; z = a(1+sin(W/w q ))

vecteur vitesse : dérivée par rapport au temps du vecteur position

 

rq ' = rw ; z ' = aW cos(W/w q )); v² = (rw)² + a²W² cos²(W/w q ))

vecteur accélération : dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps

 

a² = (Rw²)² + a²W4 sin²(W/w q )

 

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