résonance et antirésonance d'après ENAC En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.
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E= 20 V ; L= 2 mH ; C=0,2 mF ; à l'instant initial où l'on applique la tension E, bobine et condensateur ne stockent aucune énergie.
corrigé Le générateur de tension est idéal , on écrit la loi des mailles dans chaque branche : E=uC(t) + Ldi/dt avec q(t) = CuC(t) et i(t) = dq /dt = CduC/dt ; di/dt = d2q /dt 2= Cd2uC/dt 2 d'où l'équation différentielle régissant la charge q(t) : E = q(t) / C +L d2q /dt 2 CE = q(t) + LC q"(t) .(1) solution générale de (1) = solution particulière de (1) + solution générale de 0= q(t) + LC q"(t) . solution particulière de (1) : q= CE solution générale de q(t) + LC q"(t) =0 : q(t) = A cos (wt+j) avec w=(LC)-½ = (2 10-3 * 2 10-7)-½= 5 104 rad/s. solution générale de (1) : q(t) = A cos (wt+j) +CE i(t) = -Aw sin (wt+j) ; à l'instant t=0, i=0 d'où 0 =-Aw sinj soit j=0 ou j=p. à t=0 , la charge q est nulle : 0= A cosj +CE soit A = -CE si j= 0 ou A=CE avec j= p. q(t) = -CE cos (wt)+CE = CE(1-cos (wt)). avec CE= 2 10-7*20= 4 10-6 coulomb. uC(t) = q(t) / C= E(1-cos (wt)). la tension est maximale si cos
(wt)
= -1 et vaut 2E= 40
V.
le courant va de A vers M : vA-vM= Ldi/dt et vM-vA= -Ldi/dt le courant va de A vers M : vA-vN= uC(t) vM-vN= -Ldi/dt + uC(t) = -LCd2uC/dt 2 + uC(t) uC(t) = E(1-cos (wt)) ; u'C(t) = Ew sin (wt) ; u"C(t) = Ew2 cos (wt) ; vM-vN= -LCEw2 cos (wt) +E(1-cos (wt)) vec LCw2 =1 vM-vN=E(1-2cos (wt)). valeur maximale si cos
(wt)
= -1 soit
3E=60V.
intensité complexe i1 = E / z1= E / [j(L1w - 1/(C1w))] impédance complexe de la branche 2 : z2=j[L2w - 1/(C2w)] intensité complexe i2 = E / z2= E / [j(L2w - 1/(C2w))] intensité complexe dans la branche de la source i = i1 + i2
si w tend vers w1 ou vers w 2 le dénominateur tend vers zéro et l'intensité tend vers l'infini. par contre l'intensité est nulle si le numérateur est nul soit : w 32=1/(L1+L2) [1/C1+1/C2] fréquence N3 correspondant à w 3 : w 32= 103 / 3 *106[1/1+1/0,02]=1,7 1010. w 3 = 1,3 105 rad/s d'où N3 = 1,3 105 / (2p) =2,07 104 Hz = 20,7 kHz. w 12= 1/(L1C1)=109 / 2 =5 108. w 1 = 2,23 104 rad/s d'où N1 = 2,23 104 / (2p) =3,55 103 Hz = 3,55 kHz. w 22= 1/(L2C2)=109 / 0,02 =5 1010. w 2 = 2,23 105 rad/s d'où N2 = 2,23 105 / (2p) =3,55 104 Hz = 35,5 kHz. N3 est comprise entre N1 et N2. intensité dans chaque branche si N=N3. i1 = E / [j(L1w 3 - 1/(C1w 3))] module de i1 : E/[(L1w 3 - 1/(C1w 3))]=20 / (260-7,7) = 0,079A = 79 mA. i1 +i2 = 0 soit i1 = -i2 . Les deux nombres complexes i1 et i2 sont opposés : ils ont même module mais leurs arguments sont opposés. Les intensités ont même module mais sont en opposition de phase ( circuit bouchon).
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