Aurélie oct 2001
quelques oscillateurs.

Capes 96

pendule simple modifié

résonance paramétrique

expérience de Melde modifiée

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pendule simple modifié

On considère un pendule simple constitué d'un objet M de tetites dimensions, de masse m, suspendu à l'extrémité libre d'un fil inextensible de longueur l, l'autre extrémité A du fil est animé d'un mouvement vertical ZA= Z0 cos (Wt), l'axe des z étant vertical ascendant. On se limite au cas des petites oscillations.

  1. Montrer que l'angle q vérifie l'équation différentielle:
    q" + w0²[1-Z0 /g W² cos(Wt)]q = 0 avec w0² = g / l.
  2. Connaissez vous d'autres oscillateurs de ce type?

corrigé
On se place dans le référentiel lié à A , référentiel non galiléen ; le référentiel d'étude est en translation par rapport au laboratoire. La seule force d'inertie à prendre en compte est la force d'inertie d'entraînement.

Appliquer le théorème du moment cinétique au point A, point fixe d'un référentiel non galiléen.

Le moment de la tension du ressort est nul.

cas des petites oscillations sinq voisin de q radian.

q"+ g / l [1-W²Z0/ g cos(Wt)]q=0

exemple d'oscillateur paramètrique : un enfant sur une balançoire ; en se levant et se mettant assis la distance du centre d'inertie de l'enfant à l'axe varie.

résonance paramètrique :

On écrit l'équation correspondant à un tel oscillateur sous la forme :

  1. x" + w0² [1+a cos(Wt+F)]x=0
    ou sous une forme plus explicite : mx" +
    kx + Kx cos(Wt+F)=0
    que l'on peut modéliser par un oscillateur harmonique de translation auquel on a ajouté une force appelée la pompe de valeur algébrique Fp = -Kx cos(
    Wt+F)
    Dans une approximation grossière, on suppose que les oscillations ont lieu à la pulsation
    w0
    et on pose x(t) = X0 cos(
    w0t).
  2. Ecrire l'expression de la puissance instantannée développée par la pompe. Montrer que si on moyenne sur un intervalle de temps suffisamment grand, que l'on pourra préciser, la puissance moyenne obtenue est nulle sauf si W=2w0.
    - Que vaut cette puissance moyenne.

corrigé
Puissance instantanée de la force Fp :

p(t) = KX²0 w0 sin(w0t) cos(w0t) cos(Wt+F)

p(t) =1 / 4 KX²0 w0[sin[(2w0+W)t +F] + sin[(2w0-W)t -F]]

Rechercher la moyenne sur une durée T multiple commun à 2p / ((2w0+W) et à 2p / ((2w0-W). La valeur moyenne des termes sinusoïdaux est nulle sauf si W=2w0. La puissance moyenne est égale à :

P= -1 / 4 KX²0 w0 sinF.

si sinF est négatif alors P est positive et en conséquence l'énergie du pendule augmente. Phénomène de "résonance paramètrique " permettant d'amplifier les oscillations de fréquence égale à la moitié de la fréquence excitatrice.


 expérience de Melde modifiée :

Utiliser les résultats précédents pour interpréter l'expérience schématisée ci-dessous, c'est à dire pour comparer le second montage à l'expérience plus classique de Melde représenté au-dessus.

Ordre de grandeur: la corde a une masse linéïque de 0,8 g / m, une longueur utile de 0,5 m et est tendue par le poids d'une masse de 50 g. Le diapason représente un système qui vibre à la fréquence de 50 Hz.


corrigé
Pour le premier cas, la corde oscille à la fréquence du vibreur : il y a résonance lorsque le vibreur a une fréquence égale à l'une des fréquences propres de la corde. Les fréquences propres sont données par :

2l = 1 mètre; m= 8 10-4 kg/m ; T= 0,05*9,8 = 0,49 N

Nk = 25 k Hz, k est un entier

pour k=2 (2 fuseaux) la relation est vérifiée pour une fréquence de 50 Hz.

Dans le second cas la tension varie de manière sinusoïdale ; phénomène de "résonance paramètrique ": la corde vibre une fréquence égale à la moitié de celle du vibreur, soit 25 Hz

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