Aurélie nov 2001
solide glissant sur un anneau circulaire

travail, puissance, énergie

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Un solide ponctuel M, de masse m; glisse sur un anneau de rayon R. Ce petit solide est fixé à l'extrémité d'un ressort de longueur à vide l0, de raideur k. L'autre extrémité du ressort est fixée en S. Les frottements sont négligés.

  1. Exprimer l'énergie mécanique du solide M pour une position repérée par l'angle q. Lorsque q = 90° le ressort n'est ni tendu, ni comprimé.
  2. Etablir l'équation différentielle en fonction de q et de ses dérivées.
  3. Etudier le cas des oscillations de faible amplitude de part et d'autre de A.
corrigé
L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.

Expression de l'énergie cinétique : Ec = ½ m v²

Ec = ½ mR² q'².

Expression de l'énergie potentielle de pesanteur :

Epp = mg h

l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur est prise en O : h = -Rcos q.

Epp = -mgRcos q.

Expression de l'énergie potentielle élastique :

Epé = ½ k (SM-l0)²

l'origine de l'énergie potentielle élastique est telle que SMréf = l0 pour q = p/2

exprimer SM en fonction de R et q :

dans le triangle quelconque OSM :

SM² = OM² + OS² - 2 OM OS cos(p-q)

avec OM=OS=R et cos (p-q) = - cos q

SM² = R²+R² +2R² cosq = 2R² (1+ cosq)

or (1+ cosq) = 2 cos ²(½q)

SM² = 4 R² cos ²(½q)

SM = 2R |cos(½q) |

q appartient à [-p ; p ] donc q appartient à [-½p ; ½p ]

soit |cos(½q) |= + cos(½q)

SM = 2R cos(½q).

Epé = ½ k (2R cos(½q)-l0)²

expression de l'énergie mécanique :

½ mR² q'² + ½ k (2R cos(½q)-l0)² - mgRcos q= cte

Cette énergie mécanique reste constante en l'absence de frottement.

équation différentielle du mouvement de M :

Pour obtenir l'équation différentielle du mouvement de M, dériver l'expression de l'énergie par rapport au temps.

dérivée de q'² : 2 q' q".

dérivée de cos(½q) : -½ sin(½q) q'

dérivée de u² : 2u u'

dérivée de (2R cos(½q)-l0)² : 2 (2R cos(½q)-l0) (-2R½ sin(½q)q' )

dérivée de cos q : -sinq q'

½ mR² 2 q' q" + ½ k 2 (2R cos(½q)-l0) (-2R½ sin(½q) q' ) - mgR (-sinq) q' =0

R q' est commun à chaque terme et q' supposée non nulle :

mR q" - k(2R cos(½q)-l0) sin(½q) + mgsinq = 0

avec 2 cos(½q)sin(½q) = sinq

mR q" - kR sinq +kl0sin(½q)+ mgsinq = 0

q" + ( g/R-k/m)sinq + kl0 / (mR) sin(½q) =0.

si q est petit :

si l'amplitude est faible autour du point A alors sinq voisin de q radian

et sin(½q ) voisin de ½q radian

l'équation différentielle ci dessus s'écrit :

q" + ( g/R-k/m)q + kl0 / (2mR) q =0.

q" + (g/R-k/m + kl0 / (2mR) ) q =0.

l'existence d'oscillation impose g/R-k/m + kl0 / (2mR) positif.

g /R > k/m( l0 / (2R) -1)

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