Mathématiques, suite, nombres complexes et fonctions bac S Nlle Calédonie 2018.

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Exercice 1. QCM ( 4 points).
Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte.  Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
1. Une variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 100 et d’écart-type 36. On a alors, à 10−3 près :
a. P(X < 81,2) ≈ 0,542
b. P(X < 81,2) ≈ 0,301. Vrai.
c. P(81,2 < X < 103,8) ≈0,542
P(X < 81,2) ≈ 0,301 ; P(X < 103,8) ≈ 0,542 ; P(81,2 < X < 103,8) ≈0,542 -0,301 ~0,241.
d. P(81,2 < X  < 103,8) ≈0,301

2. Une variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 50 et d’écart-type 2.
Une variable aléatoire N suit la loi normale centrée réduite. On a alors :
a. P(X > 52) =(1−P(−2 < N < 2) ) / 2
b. P(X > 52) = 1−P(−2 < N < 2)
c. P(X > 52) =( 1−P(−1 < N < 1) ) / 2. Vrai.
d. P(X > 52) = 1−P(−1 < N < 1).
On pose N = (X-50) / 2 = (52-50) / 2 = 1.
P(X > 52) =P(N > 1) = P(N  < -1).
P(-1 < N < 1) = 1-P(N<-1)-P(N>1) = 1-2 P(N >1) ; P(N >1) = (1-P(-1 < N <1) ) / 2.

 3. Une variable aléatoire T suit une loi exponentielle telle que P(T > 2) = 0,5.
Une valeur approchée à 10−2 près de la probabilité P(T>2)(T > 5) est égale à :
a. 0,35. Vrai.
b. 0,54
c. 0,53
d. e / 2.
La loi exponentielle est sans vieillissement : P(T>2)(T > 5) = P(T > 5-2) = P (T > 3).
P(T >3)  < P(T >2) donc P(T >3) < 0,5.

 4. Une urne contient 5 boules bleues et 3 boules grises indiscernables au toucher. On tire successivement de manière indépendante 5 boules avec remise dans cette urne. On note alors X la variable aléatoire comptant le nombre de boules grises tirées.
On note E(X) l’espérance de X. On a alors :
a. E(X)= 3
b. E(X)=  3 / 8
c. P(X >1) ≈ 0,905 à 10−3 près. Vrai.
d. P(X >1) ≈ 0,095 à 10−3 près.
Probabilité de tirer une boule grise : 3 / 8 =0,375 ;  X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,375.
P(X > 1) = 1-P(X=0) = 1-C05 x0,3750 x(1-0,375)5 =1-(1-0,375)5 ~0,905.

Exercice 2. Nombres complexes (5 points).
Soient les deux nombres complexes :
z1 = 1−i et z2 = −8−8 x 3½i.
On pose : Z =z1 / z2.
1. Donner la forme algébrique de Z.
2. Écrire z1 et z2 sous forme exponentielle.
3. Écrire Z sous forme exponentielle puis sous forme trigonométrique.

4. En déduire que cos(5p/12)=(6½-2½) / 4.
On compare les parties réelles dans les deux écritures de Z :
 2½ / 16 cos(5p/12) =(-1+3½) / 32  ; cos(5p/12) =(-1+3½) / (2 x2½) ;
puis multiplier numérateur et dénominateur par 2½.
5. On admet que : sin(5p/12)=(6½+2½) / 4.
• pour tous réels a et b, cosa cosb −sina sinb = cos(a +b).
Résoudre l’équation suivante dans l’ensemble des réels R :
(6½-2½) cos x- (6½+2½) sin x = -2*3½.
(6½-2½) / 4 cos x- (6½+2½) / 4 sin x = -3½/ 2
cos(5p/12) cos x -sin(5p/12) sin x = -3½/ 2
cos(5p/12 +x) = -3½/ 2= cos (5 p / 6).
5p/12 +x = ±5 p / 6+ 2kp.
x = ±5 p / 6 -5p/12 + 2kp.
x = 5 p /12 + 2kp et x = -5p/4 + 2kp avec k entier relatif.

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Exercice 3 ( 5 points).
Pour chacune des affirmations proposées, indiquer si elle est VRAIE ou FAUSSE et justifier cette réponse.
Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
1. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par
 u0 = 14
un+1 = 2un −5.
Soit la suite (tn) définie pour tout entier naturel n par
tn = un −5.
Affirmation A : La suite (tn) est une suite géométrique. Vrai.
 tn+1 = un+1 -5 = 2un −10=2(un-5) =2 tn.
La suite (tn) est géométrique de raison q = 2  et de premier terme t0=14-5 = 9.
Affirmation B : Pour tout entier naturel n, un = 9×2n +5. Vrai.
Initialisation : la propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : la propriété est supposée vraie au rang p : up = 9×2p +5.
up+1= 2(9x2p+5)-5=9x2p+1+5 .
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est vraie pour tout  entier naturel.
2. Soit une suite (vn).
Affirmation C : Si, pour tout entier naturel n supérieur à 1,
−1−1 / n < vn < 1+1 / n
alors la suite (vn) converge. Faux.
Soit une suite (vn) définie par vn = (-1)n / 2 ;  vn vérifie bien −1−1 / n < vn < 1+1 / n mais elle ne converge pas
3. Affirmation D : Pour tout entier naturel n non nul, (8×1+3)+(8×2+3)+. . . +(8×n +3) =n(4n +7). Vraie.
(8×1+3)+(8×2+3)+. . . +(8×n +3) =8 (1 +2 +... +n)+ 3n =8 x 0,5 n (n+1) + 3n = 4 n(n+1)+3n = n(4n+4+3) =n(4n+7).
4. Soit (wn) une suite convergente.
Affirmation E : Si, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite (wn) sont strictement positifs, alors la limite de la suite (wn) est aussi strictement positive. Faux.
Soit la suite (wn) = 1 / n. Tous ses termes sont strictement positifs ; la suite converge vers zéro.



Exercice 4 ( 6 points).
Soit R l’ensemble des nombres réels.
Partie A
Soit g la fonction définie et dérivable sur R telle que, pour tout réel x,
g(x) = −2x3+x2−1.
1. a. Étudier les variations de la fonction g.
b. Déterminer les limites de la fonction g en −∞et en +∞.
g '(x) = -6x2 +2x = 2x(1-3x).

2. Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution dans R, notée α, et que α appartient à [−1 ; 0].
D'après le tableau de variation ci-dessus, l'équation g(x) = 0 admet une seule solution sur R, que α appartient à [−1 ; 0].
3. En déduire le signe de g sur R.} -oo ; a ], g est positive.
Si x appartient à ] -oo ; a [, g est positive.
Si x appartient à ]  a  ; +oo[, g est négaitive.

Partie B
Soit f la fonction définie et dérivable sur R telle que, pour tout réel x,
f (x) =(1+x +x2 + x3)e−2x+1.
On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur R.
1. Démontrer que f(x) tend vers moins l'infini si x tend vers  moins l'infini.
Quand x tend vers moins l'infini : e−2x+1 tend vers plus l'infini ;
la limite du polynome est celle de son terme de plus haut degré :  (1+x +x2 + x3) tend vers moins l'infini.
Faire le produit des limites : f(x) tend vers moins l'infini.
2. a. Démontrer que, pour tout x >1, 1 < x < x2 < x3.
Multiplier l'inégalité  x >1 par x strictement positif : x2 > x ;
 multiplier cette nouvelle inégalité par x strictement positif :  x3 > x2 ;
par suite, pour tout x >1, 1 < x < x2 < x3.

b. En déduire que, pour x > 1, 0 < f(x)  < 4x3e−2x+1.
Pour tout x >1, 1 < x < x2 < x3, donc 0 <1+x+x2 +4x3  < 4x3.
De plus e−2x+1 est toujours positif.
Donc 0 <(1+x +x2 + x3)e−2x+1< 4x3e−2x+1 soit 0 < f(x) < 4x3e−2x+1.

c. On admet que, pour tout entier naturel n, la limite de xn e-x est égale à zéro si x tend vers plus l'infini.
Vérifier que, pour tout réel x, 4x3e−2x+1= ½e  (2x)3e−2x puis montrer que  4x3e−2x+1 tend vers zéro quand x tend vers plus l'infini.
4x3e−2x+1=4x3e−2x e =8 x3e−2x e / 2 =( 2x)3e−2x e /2 ;
on pose X = 2x ; X3 e-X tend vers zéro quand X tend vers plus l'infini.
Par suite 4x3e−2x+1 tend vers zéro quand x tend vers plus l'infini.
d. On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
En utilisant la question précédente, déterminer la limite de f en plus l'infini et en donner une interprétation graphique.
Si x > 1, alors 0 < f(x) < 4x3e−2x+1.
De plus, 4x3e−2x+1 tend vers zéro quand x tend vers plus l'infini.
D'après le théorème des gendarmes, f(x) tend vers zéro quand x tend vers  plus l'infini.
L'axe des abscisses est asymptote à la courbe C.
3. Démontrer que, pour tout x de R, f ′(x) =(-2x3+x2-1)e-2x+1.
On pose u =1+x +x2 + x3 et v = e−2x+1 ; u ' = 1+2x+3x2 ; v ' = -2 e-2x+1.
u'v +v'u = (1+2x+3x2 )e−2x+1 -2e−2x+1 (1+x +x2 + x3) = e−2x+1 (-1 +x2 -2 x3) = g(x )e−2x+1.
4. À l’aide des résultats de la partie A, déterminer les variations de f sur R.
e−2x+1 est toujours positif.
Si x appartient à ] -oo ; a [, g est positive : f '(x) est positive et f est strictement croissante.
Si x appartient à ]  a  ; +oo[, g est négaitive : f '(x) est négative et f est strictement décroissante.

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