Mathématiques, complexes, suites,
bac S Nlle Calédonie 2017.

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Exercice 4. 3 points
Les questions 1. et 2. de cet exercice pourront être traitées de manière indépendante.
On considère la suite des nombres complexes (zn) définie pour tout entier naturel n par
zn =(1+i) / (1−i)n .
On se place dans le plan complexe d’origine O.
1. Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn.
a. Démontrer que, pour tout entier naturel n,
zn+4 / zn est réel.
Soit le nombre complexe 1+i ; son module est égal à 2½ et son argument vaut p/4.
Soit le nombre complexe 1-i ; son module est égal à 2½ et son argument vaut -p/4.
Soit le nombre complexe (1-i)n ; son module est égal à 2½n et son argument vaut -np/4.
 Soit le nombre complexe zn ; son module est égal à 2½(1-n) et son argument vaut (n+1)p/4.
 Soit le nombre complexe  zn+4 ; son module est égal à 2½(1-n-4) et son argument vaut (n+4+1)p/4.
Soit le nombre complexe  zn+4 / zn ; son module est égal à 2½(1-2n-4) et son argument vaut (n+4+1-n-1)p/4 soit.p.

b. Démontrer alors que, pour tout entier naturel n, les points O, An et An+4 sont alignés.

2. Pour quelles valeurs de n le nombre zn est-il réel ?
L'argument de zn doit être un multiple de p.
(n+1)p/4 = k p avec k entier relatif.
n+1 = 4 k ; n = 4k-1.
  


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Exercice 5. 5 points.
Soit (un) la suite définie par u0 = 3, u1 =6 et, pour tout entier naturel n :
un+2 =5 /4un+1−1 /4un.
Le but de cet exercice est d’étudier la limite éventuelle de la suite (un).
Partie A :
On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite (un) à l’aide d’un tableur.
On a reproduit ci-dessous une partie d’une feuille de calcul, où figurent les valeurs de u0 et de u1.

 A
 B
1
 n
 un
2
 0
 3
3
 1
 6
4
 2
 6,750
5
 3
 6,938
6
 4
 6,984
7
 5
 6,996

1. Donner une formule qui, saisie dans la cellule B4, puis recopiée vers le bas, permet d’obtenir des valeurs de la suite (un) dans la colonne B.
=5/4*B3-0,25*B2
2. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On donnera des valeurs approchées à 10−3 près de un pour n allant de 2 à 5.
3. Que peut-on conjecturer à propos de la convergence de la suite (un) ?
On conjecture que la suite (un) converge vers 7.

Partie B : Étude de la suite
On considère les suites (vn) et (wn) définies pour tout entier naturel n par :
vn =un+1 −0,25 un et  wn =un −7.
1. a. Démontrer que (vn) est une suite constante.
Initialisation : v0 =u1 −0,25 u0 = 6-0,75 =5,25.
v1 =u2 −0,25 u1 = 6,75-1,5 =5,25.
La propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : vp = vp+1 est supposée vraie.
vp+2= up+3−0,25 up+2 = 1,25up+2−0,25up+1 −0,25 up+2
vp+2= up+2−0,25up+1 =vp+1.
La propriété est vraie au rang p+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n.

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b. En déduire que, pour tout entier naturel n, un+1 =0,25 un +21 / 4.
vn =un+1 −0,25 un = v0.
 v0 =u1 −0,25 u0 =6-0,25x3=21 / 4.
Par suite un+1 =0,25 un + 21 / 4.
2. a. En utilisant le résultat de la question 1. b., montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un <un+1 < 15.
Initialisation : u0 <u1 < 15. La propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : up <up+1 < 15 est supposé vraie.
up+2= 0,25 up+1 +21 / 4.
up+2 < 0,25 x15 +21 / 4 ; up+2 < 0,25 x15 +21 / 4 ; up+2 < 9 soit up+2 < 15.
up+1= 0,25 up +21 / 4 ; up+1 < 0,25 x9 +21/4 ; up+1 < 30 / 4.
Par suite up+1 <up+2 < 15.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n.
b. En déduire que la suite (un) est convergente.
un -un<un+1 -un< 15-un.
0 < un+1 -un< 15-un.
Or un est inférieur à 15, donc un+1 -un >0.
La suite (un) est croissante et bornée par 15, donc elle converge.
 3. a. Démontrer que (wn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
 wn =un −7.
wn+1 =un+1 −7=0,25 un +21 / 4 -7 = 0,25 un -7 / 4 =0,25 (un-7) = 0,25 wn.
La suite est géométrique de raison q = 0,25.
w0 = u0-7 =3-7= -4.
b. En déduire que, pour tout entier naturel n, un = 7−(1/4)n-1.
un =wn+7 ; wn = w0 x(1/4)n = -4 x(1/4)n ; un =7 -4 x(1/4)n =7−(1/4)n-1.
c. Calculer la limite de la suite (un).
-1 conséquent  < 1/4 < 1 ; par (1/4)n-1 tend vers zéro quand n tend vers l'infini.
La limite de la suite (un) est égale à 7.

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