Mathématiques, probabilité, fonction,
bac S Nlle Calédonie 2017.

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Exercice 1. 4 points
Sofia souhaite se rendre au cinéma. Elle peut y aller à vélo ou en bus.
Partie A : En utilisant le bus
On suppose dans cette partie que Sofia utilise le bus pour se rendre au cinéma. La durée du trajet entre son domicile et le cinéma (exprimée en minutes) est modélisée par la variable aléatoire TB qui suit la loi uniforme sur [12 ; 15].
1. Démontrer que la probabilité que Sofia mette entre 12 et 14 minutes est de 2/3.
P(12 < TB < 14) =(14-12) / (15-12) = 2 / 3.
2. Donner la durée moyenne du trajet.
(15+12) / 2 = 13,5.

Partie B : En utilisant son vélo
On suppose à présent que Sofia choisit d’utiliser son vélo.
La durée du parcours (exprimée en minutes) est modélisée par la variable aléatoire Tv qui suit la loi normale d’espérance μ =14 et d’écart-type s = 1,5.
1. Quelle est la probabilité que Sofia mette moins de 14 minutes pour se rendre au cinéma ?
P(14 < Tv) = 0,5.
2. Quelle est la probabilité que Sofia mette entre 12 et 14 minutes pour se rendre au cinéma ? On arrondira le résultat à 10−3.
P(12 < Tv < 14) =P(14 < Tv)- P(12 < Tv)=0,5 -0,0912 =0,4088 ~0,409.

Partie C : En jouant aux dés
Sofia hésite entre le bus et le vélo. Elle décide de lancer un dé équilibré à 6 faces.
Si elle obtient 1 ou 2, elle prend le bus, sinon elle prend son vélo. On note :
— B l’évènement « Sofia prend le bus »;
— V l’évènement « Sofia prend son vélo »;
— C l’évènement « Sofia met entre 12 et 14 minutes pour se rendre au cinéma ».
1. Démontrer que la probabilité, arrondie à 10−2, que Sofia mette entre 12 et 14 minutes est de 0,49.

2. Sachant que Sofia a mis entre 12 et 14 minutes pour se rendre au cinéma, quelle est la probabilité, arrondie à 10−2, qu’elle ait emprunté le bus ?
PC(B) =P(C n B) / P(C) =0,222 / 0,49 ~0,45.
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Fonction. 5 points.
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par
f (x) =(ln x)2 / x.
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
1. Déterminer la limite en 0 de la fonction f et interpréter graphiquement le résultat.
Quand x tend vers zéro, (lnx)2 tend vers l'infini et 1 /x tend vers l'infini.
Par produit des limites, f(x) tend vers l'infini.
L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe C.
2. a. Démontrer que, pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[,

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b. En déduire que l’axe des abscisses est une asymptote à la courbe représentative de la fonction f au voisinage de +∞.
On pose t = x½ ; ln (t ) / t tend vers zéro si t tend vers plus l'infini.
L'axe des abscisses est une asymptote à la courbe C au voisinage de +∞.
3. On admet que f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction dérivée.
a. Démontrer que, pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[,
f ′(x) =ln(x) (2−ln(x)) /x2 .
On pose u =( ln x)2 et v = x ; u' = 2 ln(x) / x ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 = (2 ln(x)-(ln x)2)/x2=ln x ( 2-ln x) / x2.
b. Étudier le signe de f ′(x) selon les valeurs du nombre réel x strictement positif.
Le signe de f '(x) est celui de ln x .(2-ln x).
c. Calculer f (1) et f (e2).
On obtient alors le tableau de variations ci-dessous.

4. Démontrer que l’équation f (x) = 1 admet une unique solution a sur ]0 ; +∞[ et donner un encadrement de a d’amplitude 10−2.

f(x) est inférieure à 1 sur  [1 +oo[ et ; f(x) est strictement décroissante sur ]0 ; 1[.
f(0,001) tend vers l'infini et f(1) = 0.
D'après le corrolaire du théorème des valeurs intermédaires, f(x)=1 admet une seule solution sur ]0 ; + oo[.
f(0,49) ~1,038 ; f (0,50) ~0,96 ;  0,49 < a < 0,50.


Exercice 3. 3 points
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Partie A
Soit la fonction f définie sur l’ensemble des nombres réels par
f (x) =2ex−e2x.
et C sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
On admet que, pour tout x appartenant à [0 ; ln(2)], f (x) est positif.
Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.
Proposition A : Faux.
L’aire du domaine délimité par les droites d’équations x = 0 et x = ln(2), l’axe des abscisses et la courbe C est égale à 1 unité d’aire.

Partie B.
Soit n un entier strictement positif.
Soit la fonction fn définie sur l’ensemble des nombres réels par
fn(x) = 2nex−e2x.
et Cn sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
On admet que fn est dérivable et que Cn admet une tangente horizontale en un unique point Sn.
Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.
Proposition B : Vrai.
Pour tout entier strictement positif n, l’ordonnée du point Sn est n2.
Dérivée de fn(x) : 2nex−2e2x= 2ex(n-ex).
La dérivée s'annule pour x = ln(n).
Ordonnée du point Sn : 2n eln(n) -e(2ln(n))=2n2-n2=n2.

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