Mathématiques,
suites, probabilités, fonctions, géométrie dans l'espace.
Bac S Asie 2017 .
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Exercice 1.
Un
protocole de traitement d’une maladie, chez l’enfant, comporte une
perfusion longue durée d’un médicament adapté. La concentration dans le
sang du médicament au cours du temps est modélisée par la fonction C
définie sur l’intervalle [0;+oo[ par :
C(t) = d /a [1-exp(-at / 80)]
C désigne la concentration du médicament dans le sang, exprimée en
micromole par litre,
t le temps écoulé depuis le début de la perfusion, exprimé en heure,
d le débit de la perfusion, exprimé en micromole par heure,
a un paramètre réel strictement positif, appelé clairance, exprimé en
litre par heure.
Le paramètre a est spécifique à chaque patient.
En médecine, on appelle « plateau » la limite en +oo de la fonction C.
Partie A : étude
d’un cas particulier.
La clairance a d’un certain patient vaut 7, et on choisit un débit d
égal à 84.
Dans cette partie, la fonction C est donc définie sur [0;+oo[ par :
C(t) = 12 [1-exp(-7t /80)}.
1. Étudier le sens
de variation de la fonction C sur [0;+oo[ .
Calcul de la dérivée C'(t) = 12 x(7 /80 exp(-7t /80) = 21 /20 exp(-tt
/80).
C'(t) est positive sur [0;+oo[
; C(t) est strictement croissante.
2. Pour être
efficace, le plateau doit être égal à 15. Le traitement de ce patient
est-il efficace ?
Le plateau est égal à 12, le traitement n'est
pas efficace.
Partie B. Etude de
fonctions.
1. Soit f la
fonction définie sur ]0 ;+oo[ par :
f(x) = 105 / x [1-exp(-3x /40)]
Démontrer que, pour tout réel x de ]0 ;+oo[ , f '(x) =105 g(x) / x2.
où g est la fonction définie sur [0;+oo[ par :
g(x) = 3x /40 exp(-3x /40) +exp(-3x /40) -1.
On pose u = [1-exp(-3x /40)] et v = x
; u' = 3/40 exp(-3x /40) et v' = 1.
f '(x) = (u'v-v'u) / v2 =105 [
3x/40 exp(-3x /40)- 1+exp(-3x
/40)] /x2.
2. On
donne le tableau de variation de la fonction g. En déduire le sens de
variation de la fonction f.
On ne demande pas les limites de la fonction f.
g(x) est négative sur ]0 ;+oo[ et 105 /x2 est
positif.
Donc f '(x) est négative et par suite f (x) est strictement
décroissante.
3. Montrer que
l’équation f (x) = 5,9 admet une unique solution sur l’intervalle
[1;80].
En
déduire que cette équation admet une unique solution sur l’intervalle
]0 ;+oo[ .
Donner une valeur approchée de cette solution au dixième près.
f(1) = 105(1-exp(-3/40))~7,58 >5,9 ; f(80)
= 105 /80 (1-exp(-3*2))~1,31 <5,9.
De plus la fonction f(x) est strictement décroissante sur [1 ; 80].
D'après
le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 5,9 admet
une unique solution sur l’intervalle
[1;80].
Partie C :
détermination d’un traitement adéquat
Le but de cette partie est de déterminer, pour un patient donné, la
valeur du débit de la perfusion qui permette au traitement d’être
efficace, c’est-à-dire au plateau d’être égal à 15.
Au préalable, il faut pouvoir déterminer la clairance a de ce patient.
À cette fin, on règle provisoirement le débit d à 105, avant de
calculer le débit qui rende le traitement efficace.
On rappelle que la fonction C est définie sur l’intervalle [0;+oo[ par : C(t) = d /a [1-exp(-at /
80)]
1. On cherche à
déterminer la clairance a d’un patient. Le débit est provisoirement
réglé à 105.
a) Exprimer en
fonction de a la concentration du médicament 6 heures après le début de
la perfusion.
C(6) = d /a [1-exp(-6a / 80)] =d /a
[1-exp(-3a / 40)] = 105 /a [1-exp(-3a / 40)]
b)
Au bout de 6 heures, des analyses permettent de connaître la
concentration du médicament dans le sang ; elle est égale à 5,9
micromole par litre. Déterminer une valeur approchée, au dixième de
litre par heure, de la clairance de ce patient.
a = 8,1 micromoles
par litre.
2. Déterminer la valeur du débit d
de la perfusion garantissant l’efficacité du traitement.
15 = d / 8,1 ; d = 15 x8,1 = 121,5 micromoles par heure.
Exercice 2.
On considère la suite ( un) définie par : u0 =1
et, pour tout entier naturel n, un+1 =(n+1) / (2n+4) un.
On définit la suite (vn ) par : vn =(n+1)un
pour tout entier naturel n,
1. La feuille de calcul
ci-dessous présente les valeurs des premiers termes des suites ( un)
et ( vn) , arrondies au
cent-millième.
Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la
cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les
termes successifs de (un ) ?
=(A2+1)/(2*A2+4)*B2 ou =A3/(2*A2+4)*B2
2. a) Conjecturer l’expression de vn
en fonction de n .
vn = 0,5n.
b) Démontrer cette
conjecture.
Initialisation
: v0 = 0,50 = 1 ; v1 = 0,51
= 0,5 ; la propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité :
on suppose la propriété vraie au rang p: vp = 0,5p.
vp+1 = (p+2)up+1 =(p+2)(p+1) / (2p+4) up =
(p+1) / 2 up=0,5 vp=0,5 x0,5p =0,5p+1.
La propriété est vraie au rang p+1.
Conclusion
: la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire. Pout tout entier
n, vn = 0,5n.
3. Déterminer la limite de la suite
(un).
Pour tout entier n
: un = vn /(n+1) = 0,5n /(n+1).
0 < 0,5 <1, donc quand n tend vers l'infini, 0,5n tend
vers zéro.
1/(n+1) tend vers zéro quand n tend vers l'infini.
La limite de la suite (un) est égale
à zéro quand n tend vers l'infini.
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.....
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Exercice
3.
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est
vraie ou fausse, en justifiant la
réponse. Il est attribué un point par réponse exacte correctement
justifiée. Une réponse non justifiée
n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
1. On dispose de
deux dés, identiques d’aspect, dont l’un est truqué de sorte que le 6
apparait avec la probabilité 0,5.
. On prend un des deux dés au hasard, on le lance, et on obtient 6.
Affirmation 1
: la probabilité que le dé lancé soit le dé truqué est égale à 2/3. Faux.
Evénement T : " le dé est truqué".
Evénement S : " on obtient 6 ".
2. Dans le plan
complexe, on considère les points M et N d’affixes respectives
zM= 2 exp(-ip/3)
et zN = (3-i) / (2+i).
Affirmation 2
: la droite (MN) est parallèle à l’axe des ordonnées. Vrai.
Dans les questions 3. et 4., on se place dans un repère orthonormé (O;
i , j, k )
de l’espace et l’on considère la droite D dont une représentation
paramétrique est :
x = 1+t ; y = 2 ; z = 3+2t, t réel.
3. On considère les
points A, B et C avec A(-2;2;3), B(0;1;2) et C(4;2;0).
On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Affirmation 3
: la droite D est orthogonale au plan (ABC). Vrai.
4. On considère la
droite D passant
par le point D(1;4;1) et de vecteur directeur (2;1;3).
Affirmation 4 :
la droite D et la droite D
ne sont pas coplanaires. Faux.
Les vecteurs directeurs de la droite D et de la droite D ne sont pas colinéaires.
Donc ces deux droites ne sont pas parallèles.
Ces droites sont-elles sécantes ?
Représentation paramétriques de D : x =
1+t ; y = 2 ; z = 3+2t, t réel.
Représentation paramétriques
de D : x = 1+2k ; y = 4+k ; z =
1+3k, k réel.
1+t = 1+2k soit t = 2k.
2 = 4+k ; k= -2. par suite t = -4
3+2t =1+3k ; 3+2(-4) =1+3(-2) ; -5 = -5 est vérifié.
Donc ces deux droites sont sécantes au point de coordonnées (-3 ; 2 ;
-5).
Par suite ces droites sont coplanaires.
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Exercice 4.
L’objet du problème est l’étude des intégrales I et J définies
ci-dessous:
Partie A : valeur
exacte de l’intégrale I
1. Donner une
interprétation géométrique de l’intégrale I .
2. Calculer la
valeur exacte de I .
L'intégrale I est l'aire du domaine compris entre la courbe C
représentant la fonction f(x) = 1 / (1+x) , l'axe des abscisses et les
droites d'équation x=0 et x=1.
Partie B :
estimation de la valeur de J
Soit g la fonction définie sur l’intervalle [0;1] par g(x) = 1 / (1+x2).
On note Cg sa courbe représentative dans un repère
orthonormé du plan.
Le but de cette partie est d’évaluer l’intégrale J à l’aide de la
méthode probabiliste décrite ci-après.
On choisit au hasard un point M(x, y) en tirant de façon indépendante
ses coordonnées x et y au
hasard selon la loi uniforme sur [0;1] .
On admet que la probabilité p qu’un point tiré de cette manière soit
situé sous la courbe Cg est égale
à l’intégrale J.
En pratique, on initialise un compteur c à 0, on fixe un entier naturel
n et on répète n fois le processus suivant :
- on choisit au hasard et indépendamment deux nombres x et y, selon la
loi uniforme sur [0;1] ;
- si M(x, y) est au-dessous de la courbe Cg , on incrémente
le compteur c de 1.
On admet que f = c / n est une valeur approchée de J . C’est le
principe de la méthode dite de
Monte-Carlo.
Recopier et compléter l’algorithme ci-après pour qu’il affiche une
valeur approchée de J.
Variables : n, c, f, i, s, y sont des nombres.
Traitement :
lire la valeur de n
c prend la valeur 0
Pour i allant de 1 à n faire
x prend une valeur aléatoire entre 0 et 1
y prend une valeur aléatoire
entre 0 et 1
Si y<1 /(1+x2) alors
c prend la valeur c+1
Fin Si
Fin pour
f prend la valeur c /n.
2.
Pour n =1000 , l’algorithme ci-dessus a donné pour résultat : f = 0,781.
Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de
la valeur exacte de J.
n = 1000 > 30 ; nf
= 1000 x0,7881 = 781 >
5 ; n(1-f) = 1000 x0,219 = 219 > 5.
Les conditions sont remplies.
1 / n ½ =1 / 1000½ = 0,0316 ;
Intervalle de confiance ; [0,781 -0,0316 ; 0,781 +0,0316 } soit [0,749
; 0,813 ].
3. Quelle
doit-être, au minimum, la valeur de n pour que l’intervalle de
confiance, au niveau de
confiance de 95 %, ait une amplitude inférieure ou égale à 0,02 ?
Amplitude = 0,02 = 2 / n½
; n½ = 2 /0,02 = 100 ; n = 10 000.
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Exercice 5.
Question préliminaire.
Soit T une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de
paramètre l, où l désigne un réel
strictement positif.
Démontrer que, pour tout réel a positif, P(T > a) = exp(-la).
Dans la suite de l’exercice, on considère des lampes à led dont la
durée de vie, exprimée en jour, est
modélisée par une variable aléatoire T suivant la loi exponentielle de
paramètre l = 1/
2800.
Les durées seront données au jour près, et les probabilités au millième
près.
Partie A : étude
d’un exemple
1. Calculer la
probabilité qu’une lampe fonctionne au moins 180 jours.
P(T > 180) =
exp(-180 / 2800) ~0;938.
2. Sachant qu’une
telle lampe a0,938
déjà fonctionné 180 jours, quelle est la probabilité qu’elle fonctionne
encore au moins 180 jours ?
La loi exponentielle est sans mémoire, sans vieillissement..
PT > 180(
T >180+180) ~ 0,938.
Partie B : contrôle
de la durée de vie moyenne
Le fabricant de ces lampes affirme que, dans sa production, la
proportion de lampes qui ont une durée de vie supérieure à 180 heures
est de 94 %.
Un laboratoire indépendant qui doit vérifier cette affirmation fait
fonctionner un échantillon aléatoire de 400 lampes pendant 180 jours.
On suppose que les lampes tombent en panne indépendamment les unes des
autres.
Au bout de ces 180 jours, 32 de ces lampes sont en panne.
Au vu des résultats des tests, peut-on remettre en cause, au seuil de
95 %, la proportion annoncée par le fabricant ?
n = 400 > 30 ; nf = 400 x0,94 =
376 > 5 ; n(1-f) =
400 x0,06 = 24 > 5.
Les conditions sont remplies pour définir un intervalle de fluctuation.
1,96 (f(1-f) / n)½ =1,96 x(0,94 x0,06 / 400)½
=0,0233.
[0,94 -0,0233 ; 0,94 +0,0233] soit [0,917 ; 0,963].
(400-32) / 400 = 0,92.
0,92 appartient à [0,917 ; 0,963], on
ne peut pas remettre en cause la valeur annoncée par le fabricant, au
risque de 5%.
Partie C : dans une
salle de spectacle
Pour éclairer une salle de spectacle, on installe dans le plafond 500
lampes à led.
On modélise le nombre de lampes fonctionnelles après 1 an par une
variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne µ = 440 et
d’écart-type s =
7,3 .
1. Calculer P ( X
> 445) , la probabilité que plus de 445 lampes soient encore
fonctionnelles après un an.
P(X >445) = 1-P(X <
445) = 1-0,753 =0,247.
2. Lors de
l’installation des lampes dans le plafond, la direction de la salle
veut constituer un stock de lampes. Quelle doit-être la taille minimale
de ce stock pour que la probabilité de pouvoir changer toutes les
lampes défectueuses, après un an, soit supérieure à 95 % ?
P (X > n) = 0,95 ; 1-P(X
< n) = 1-0,95 = 0,05.
La calculatrice donne n = 428.
On doit prévoir un stock de 500 -428 = 72 lampes.
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