Mathématiques, probabilités, loi exponentielle, Bac S 2016

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Métropole. 
Partie A.
Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées.
La chaîne A produit 40% des composants et la chaîne B produit le reste.
Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, 20% des composants présentent ce défaut alors qu’en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5%.
On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note :
A l’évènement « le composant provient de la chaîne A »
B l’évènement « le composant provient de la chaîne B »
S l’évènement « le composant est sans défaut »
1. Montrer que la probabilité de l’évènement S est P(S) = 0,89.
Probabilité q'un composant issu de A ait un défaut :0,40 x0,20 =0,08.
Probabilité q'un composant issu de B ait un défaut :0,60 x0,05 =0,03.
P(S)=1-0,08-0,03=0,89.
2. Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu’il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à 10−2 près.

 Partie B.
Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d’augmenter la proportion p de composants sans défaut. Afin d’estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de 400 composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A. Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de 0,92.
1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance de 95%.
Taille de l'échantillon n = 400, supérieur à 30.
Proportion de composants sans défaut p = 0,92 ; q = 1-p = 0,08.
 np = 368, valeur supérieure à 5 ; nq = 32, valeur supérieure à 5.
Les conditions sont requises pour établir un intervalle de confiance de la proportion p au seuil de 95 % de l'échantillon de taille n = 400.
1 / 400½= 0,05 ; intervalle de confiance [0,92 -0,05 ; 0,92 +0,05] soit [0,87 ; 0,97].
2. Quelle devrait être la taille minimum de l’échantillon pour qu’un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de 0,02 ?
2 x(1/n)½ =0,02 ;(1/n)½ =0,01 ; 1/n = 10-4 ; n=10000.
Partie C. Loi exponentielle.
La durée de vie, en années, d’un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre l (où l est un nombre réel strictement positif ). On note f la fonction densité associée à la variable aléatoire T .
1. La courbe représentative C de la fonction f est donnée ci-dessous.

2. On suppose que P(T <=7) = 0,5. Déterminer l à 10−3 près.
1-exp(-7 l)=0,5 ; exp(-7 l) =0,5 ; -7 l =ln0,5 = -ln2 ; l = ln2 / 7 ~0,099.
3. Dans cette question on prend λ = 0,099 et on arrondit les résultats des probabilités au centième.
a. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.
P(T >=5)=P(t>5) = 1- (1-exp(-5l)) = exp(-5l) = exp(-5x0,099)~0,61.
b. On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans.
Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.
La loi exponentielle modèlise la durée de vie d'un phénomène sans mémoire. Le fait que le phénomène ait duré pendant t heures ne change rien à son espérance de vie à partir de l'instant t.

c. Donner l’espérance mathématique E(T ) de la variable aléatoire T à l’unité près.
Interpréter ce résultat.
E(T) = 1 / l = 1 /0,099 ~10,1 ans.
La durée de vie moyenne d'un composant est d'environ 10 ans.
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Antilles Guyanne
Partie A.
Un fabricant d’ampoules possède deux machines, notées A et B. La machine A fournit
65 % de la production, et la machine B fournit le reste. Certaines ampoules présentent un défaut de fabrication :
- à la sortie de la machine A, 8 % des ampoules présentent un défaut ;
- à la sortie de la machine B, 5 % des ampoules présentent un défaut.
On définit les événements suivants :
- A : « l’ampoule provient de la machine A » ;
- B : « l’ampoule provient de la machine B » ;
- D : « l’ampoule présente un défaut ».
1. On prélève un ampoule au hasard parmi la production totale d’une journée.
a. Construire un arbre pondéré représentant la situation.
b. Montrer que la probabilité de tirer une ampoule sans défaut est égale à 0,930 5.
c. L’ampoule tirée est sans défaut. Calculer la probabilité qu’elle provienne de la machine A.

2. On prélève 10 ampoules au hasard parmi la production d’une journée à la sortie de la machine A. La taille du stock permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d’assimiler les tirages à tirages avec remise. Calculer la probabilité d’obtenir au moins 9 ampoules sans défaut.
Loi Binomiale de paramètres n=10, p = 0,92 et q = 0,08.
au moins 9 ampoules sans défaut signifie 9 ampoules ou 10 ampoules sans défaut.
A l'aide de la calculatrice p(X=9) +p(X=10) = 0,8121.
Partie B. Loi exponentielle.
a. Montrer que P(T > a) = e−λa.

b. Montrer que si T suit une loi exponentielle alors pour tous les réels positifs t et a on a :

La loi exponentielle modèlise la durée de vie d'un phénomène sans mémoire. Le fait que le phénomène ait duré pendant t heures ne change rien à son espérance de vie à partir de l'instant t.
2. Dans cette partie, la durée de vie en heures d’une ampoule sans défaut est
une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle d’espérance 10 000.
a. Déterminer la valeur exacte du paramètre l de cette loi.
E(T) = 1 / l ; l = 1 / E(T) = 1 / 10000 = 0,0001.
b. Calculer la probabilité P(T >5000).
 P(T >5000) = exp(-5000l) = exp(-5000x0,0001)=exp(-0,5) ~0,6065.
c. Sachant qu’une ampoule sans défaut a déjà fonctionné pendant 7 000 heures, calculer la probabilité que sa durée de vie totale dépasse 12 000 heures.
D'après 1.b cette probabilité est égale à   P(T >5000) ~0,6065.
Partie C.
L’entreprise a cherché à améliorer la qualité de sa production et affirme qu’il n’y a pas plus de 6 % d’ampoules défectueuses dans sa production. Une association de consommateurs réalise un test sur un échantillon et obtient 71 ampoules défectueuses sur 1 000.
1. Dans le cas où il y aurait exactement 6 % d’ampoules défectueuses, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence d’ampoules défectueuses sur un échantillon aléatoire de taille 1 000.
Taille de l'échantillon n = 1000, supérieur à 30.
Proportion de composants sans défaut p = 0,06 ; q = 1-p = 0,94.
 np = 60, valeur supérieure à 5 ; nq = 940, valeur supérieure à 5.
Les conditions sont requises pour établir un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % 1,96 (pq /n)½ = 1,96 (0,06 x0,94 /1000)½ =0,0147.
L'intervalle de fluctuation est : [ 0,06 -0,0147 ; 0,06 +0,0147) soit [0,0453 ; 0,0747].
2. A-t-on des raisons de remettre en cause l’affirmation de l’entreprise ?
71 /1000 =0 071. Cette valeur appartient à l'intervalle de fluctuation. L'entreprise n'est pas en cause.










Amérique du sud.
Dans cet exercice, toutes les probabilités demandées seront arrondies à 10−4.
On étudie un modèle de climatiseur d’automobile composé d’un module mécanique et d’un module électronique.
Si un module subit une panne, il est changé.
Partie A : Étude des pannes du module mécanique.
Une enseigne d’entretien automobile a constaté, au moyen d’une étude statistique, que la durée de fonctionnement (en mois) du module mécanique peut être modélisée par une variable aléatoire D qui suit une loi normale d’espérance μ = 50 et d’écart-type s :
1. Déterminer l’arrondi à 10−4 de s sachant que le service statistique indique que P(D >=48) = 0,7977.
P(D<48) = 1 -0,7977 = 0,2023.
On pose X = (D-µ) / s ; la variable aléatoire X suit la loi centrée réduite.
On cherche le nombre réel  ß tel que P(X<ß) = 0,2023.
La calculatrice ou les tables donnent ß = - 0,833434.
(D-50) / s = (48-50) / s = -2 / s = -0,833434 ; s = 2 / 0,833434 ~2,3997.
Pour la suite de cet exercice, on prendra s= 2,4.
2. Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module mécanique soit comprise entre 45 et 52 mois.
La calculatrice donne : P(D <45) = 0,01861 et P(D >52)=0,7977.
La probabilité que la durée de fonctionnement du module mécanique soit comprise entre 45 et 52 mois vaut : 0,7977-0,01861 = 0,7791.
3. Déterminer la probabilité que le module mécanique d’un climatiseur ayant fonctionné depuis 48 mois fonctionne encore au moins 6 mois.

Partie B.  Étude des pannes d’origine électronique
Sur le même modèle de climatiseur, l’enseigne d’entretien automobile a constaté que la durée de fonctionnement (en mois) du module électronique peut être modélisée par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre l.
1. Déterminer la valeur exacte de l, sachant que le service statistique indique que P(0<=T <=24) = 0,03.
P(0<=T <=24) = e0 -e-24l = 1-e-24l =0,03 ; e-24l =0,97 ; -24l = ln0,97 ; l = ln0,97 / 24 =0,00127.
Pour la suite de cet exercice, on prendra l = 0,00127.
2. Déterminer la probabilité que la durée de fonctionnement du module électronique soit comprise entre 24 et 48 mois.
e-24l -e-48l = e-24 x0,00127 -e -48 x0,00127=0,96997 -0,94086=0,0291.
3. a. Démontrer que, pour tous réels t et a positifs, on a :

La loi exponentielle modèlise la durée de vie d'un phénomène sans mémoire. Le fait que le phénomène ait duré pendant t heures ne change rien à son espérance de vie à partir de l'instant t.
b. Le module électronique du climatiseur fonctionne depuis 36 mois. Déterminer la probabilité qu’il fonctionne encore les 12 mois suivants.
P(T >12)= e-24l =e -12 x0,00127=0,9849.
Partie C : Pannes d’originemécanique et électronique
On admet que les évènements (D >48) et (T >48) sont indépendants.
Déterminer la probabilité que le climatiseur ne subisse aucune panne avant 48 mois.
P(D >=48) x P(T >=48) =  0,79767 x e-48l =0,79767 x0,94086 = 0,7505.
Partie D : Cas particulier d’un garage de l’enseigne
Un garage de l’enseigne a étudié les fiches d’entretien de 300 climatiseurs de plus de 4 ans. Il constate que 246 d’entre eux ont leur module mécanique en état de fonctionnement depuis 4 ans.
Ce bilan doit-il remettre en cause le résultat donné par le service statistique de l’enseigne, à savoir que P(D >48) = 0,7977 ? Justifier la réponse.
n = 300 ; p =0,7977 ; 1-p = q = 0,2023 ;
n est supérieur à 30 ; np =300 x0,7977 ~ 239, valeur supérieure à 5 ; nq = 300 x0,2023 ~60,7, valeur supérieure à 5.
Les conditions sont requises pour déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.
1,96 ( p q / n)½= 1,96( 0,7977 x0,2023 / 300)½=0,04546.
Intervalle de fluctuation : [0,7977-0,04546 ; 0,7977 +0,04546] soit [0,7522 ; 0,8432 ].
246 / 300 = 0,82 appartient à cet intervalle. Le bilan n'est pas remis en cause.


Polynésie.
Partie A.
Un astronome responsable d’un club d’astronomie a observé le ciel un soir d’août 2015 pour voir des étoiles filantes. Il a effectué des relevés du temps d’attente entre
deux apparitions d’étoiles filantes. Il a alors modélisé ce temps d’attente, exprimé en minutes, par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre l. En exploitant les données obtenues, il a établi que l = 0,2. Il prévoit d’emmener un groupe de nouveaux adhérents de son club lors du mois d’août 2016 pour observer des étoiles filantes. Il suppose qu’il sera dans des conditions d’observation analogues à celles d’août 2015. L’astronome veut s’assurer que le groupe ne s’ennuiera pas et décide de faire quelques calculs de probabilités dont les résultats serviront à animer la discussion.
1. Lorsque le groupe voit une étoile filante, vérifier que la probabilité qu’il attende moins de 3 minutes pour voir l’étoile filante suivante est environ 0,451.

2. Lorsque le groupe voit une étoile filante, quelle durée minimale doit-il attendre pour voir la suivante avec une probabilité supérieure à 0,95 ? Arrondir ce temps à la minute près.
On note T cette durée minimale. P(X<T) > 0,95 ; 1-exp(-0,2 T) >0,95 ; exp(-0,2 T) < 0,05 ; -0,2 T < ln0,05 ; T > - ln 0,05 /0,2 ; T > 15 minutes.
3. L’astronome a prévu une sortie de deux heures. Estimer le nombre moyen d’observations d’étoiles filantes lors de cette sortie.
Espérance de cette variable aléatoire E(T) = 1 / l = 1 /0,2 = 5 minutes.
En deux heures on peut espérer voir 120 / 5 = 24 étoiles filantes.
Partie B.
Ce responsable adresse un questionnaire à ses adhérents pour mieux les connaître.
Il obtient les informations suivantes :
• 64% des personnes interrogées sont des nouveaux adhérents ;
• 27% des personnes interrogées sont des anciens adhérents qui possèdent un télescope personnel ;
• 65% des nouveaux adhérents n’ont pas de télescope personnel.
1. On choisit un adhérent au hasard. Montrer que la probabilité que cet adhérent possède un télescope personnel est 0,494.
On note les événements  : T : l'adhérent interrogé possède un télescope ;  N : l'adhérent interrogé est un nouvel adhérent.
2. On choisit au hasard un adhérent parmi ceux qui possèdent un télescope personnel. Quelle est la probabilité que ce soit un nouvel adhérent ? Arrondir à 10−3 près.

Partie C.
Pour des raisons pratiques, l’astronome responsable du club souhaiterait installer un site d’observation sur les hauteurs d’une petite ville de 2 500 habitants. Mais la pollution lumineuse due à l’éclairage public nuit à la qualité des observations. Pour tenter de convaincre la mairie de couper l’éclairage nocturne pendant les nuits d’observation, l’astronome réalise un sondage aléatoire auprès de 100 habitants et obtient 54 avis favorables à la coupure de l’éclairage nocturne. L’astronome fait l’hypothèse que 50% de la population du village est favorable à la
coupure de l’éclairage nocturne. Le résultat de ce sondage l’amène-t-il à changer d’avis ?
Pour valider cette hypothèse on détermine un intervalle de fluctuation au seuil de risque de 95 %.
p = 0,5 ; q=1-p=0,5 et n = 100.
n est supérieur ou égal à 30 ; np = nq =50, valeurs supérieure à 5 : on peut utiliser l'intervalle de fluctuation suivant :
(pq / n)½ =(0,5*0,5 / 100)½ =0,05 ; [0,5-0,05 ; 0,5 +0,05 ] soit [0,45 ; 0,55 ].
La valeur 0,54 appartient à cet intervalle, l'hypothèse est validée.



  

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