Mathématiques, géométrie dans l'espace, Bac S 2016

Mathématiques, géométrie dans l'espace, Bac S 2016

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Pondichéry.
ABCDEFGH désigne un cube de côté 1. Le point I est le milieu du segment [BF]. Le point J est le milieu du segment [BC]. Le point K est le milieu du segment [CD].
Partie A.
Dans cette partie, on ne demande aucune justification
On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L.
Construire, sur la figure et en laissant apparents les traits de construction:
• le point L ;
• l’intersection D des plans (IJK) et (CDH) ;
• la section du cube par le plan (IJK).

Partie B.
1. Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère ci-dessus.
A(0 ; 0 ; 0 ) ; G( 1 ; 1 ; 1 ) ; I( 1 ; 0 ; ½ ) ; J( 1 ; ½ ; 0 ) ; K( ½ ; 1 ; 0 ).
2. a. Montrer que le vecteur AG est normal au plan (IJK).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).
Soit un point P(x ; y ; z ) du plan (IJK).

3. On désigne par M un point du segment [AG] et t le réel de l’intervalle [0 ; 1] tel que
a. Démontrer que MI² = 3t² −3t +1,25.
Coordonnées du point M : M(t ; t ; t )
Coordonnées du vecteur MI : 1-t ; -t ; 0,5-t.
MI² = (1-t)² + (-t)² + (0,5-t)² = 1+t²-2t+t²+0,25+t²-t =3t²-3t+1,25.
b. Démontrer que la distance MI est minimale pour le point M_mini(0,5 ; 0,5 ; 0,5).
Le trinome ax² +bx+c est minimal pour x = -b /(2a) ; MI² et donc MI, est minimal pour t = 3/6 =0,5.
Coordonnée du point M_mini correspondant à t = 0,5 :M_mini ( 0,5 ; 0,5 ; 0,5 ).
4. Démontrer que pour ce point (0,5 ; 0,5 ; 0,5) :
a. N appartient au plan (IJK).
Equation du plan (IJK) : x +y +z = 1,5.
x_Mmini + y _Mmini + z_Mmini = 0,5 +0,5 +0,5 = 1,5 : M_mini appartient au plan (IJK).
b. La droite (IM_mini) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF).
Les points I et M_mini appartiennent au plan ( IJK) et le vecteur AG est normal à ce plan.
On en conclut que les droites (IM_mini) et (AG) sont orthogonales.
Or le point M_mini est le milieu de [AG]
On en conclut que les droites (IM_mini) et (AG) sont orthogonales en M_mini.

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Liban.
On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune le carré ABCD de centre I.Toutes les arêtes sont de longueur 1.
L’espace est rapporté au repère orthonormé ci-dessous.

1. a. Montrer que IE =2^½ / 2.
. En déduire les coordonnées des points I, E et F.
Les deux pyramides sont identiques, régulières, à base carrée, et leurs arètes ont la même longueur, l'unité. E et F ont pour projeté orthogonal, le centre I du carré ABCD.
Donc AC = 2^½ et AI = ½AC = 2^½/2.
Le triangle AEI est rectangle en I : IE² = AE²-AI² = 1-(2^½/2)²=0,5 ; IE =2^½/2.

b. Montrer que le vecteur n de coordonées (0 ; -2 ; 2^½ ) est normal au plan (ABE).

c. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABE).
Soit un point P(x ; y ; z ) du plan (ABE).

2. On nomme M le milieu du segment [DF] et N celui du segment [AB].
a. Démontrer que les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles.

Les plans ( FDC) et (ABE) sont normaux au même vecteur, ils sont donc parallèles.
b. Déterminer l’intersection des plans (EMN) et (FDC).
Le point M appartient au segment [EM] et M est le milieu du segment [FD] : M appartient à l'intersection des plans (FDC) et EMN).
Les plans (FDC) et (ABC) étant parallèles, le plan ( EMN) les coupe suivant deux droites parallèles.
La droite (EN) étant l'intersection des plans (EMN) et (ABE), la droite parralèle à (EN) passant par M est l'intersection cherchée.
c. Construire la section du solide ADECBF par le plan (EMN).

[MH] intersection du plan (EMN) avec la fgace (FCD)
[NG] intersection du plan (EMN) par la face (ABF).
[EN] intersection du plan (EMN) par la face (ABE).

Amérique du Nord.
On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangles équilatéraux.
Le point O est le centre de la base ABCD avec OB = 1.
On rappelle que le segment [SO] est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur.

1. Justifier que le repère dessiné en bleu est orthonormé.
Les diagonales de la base carrée sont perpendiculaires et ont même longueur ; par suite OB=OC = 1.
La hauteur OS de la pyramide est perpendiculaire à la base et les faces de la pyramide sont des triangles équilatéraux :
AB = SB = (OB²+OA²)^½ =2^½.
Le triangle OBS est rectangle en O : OS² = SB² -OB² = 2-1=1; OS = 1.
Les trois vecteurs dessinés en bleu ont même norme est sont orthogonaux : la base représentée est donc orthonormée.
Dans la suite de l’exercice, on se place dans ce repère.
2. On note I le milieu du segment [SO].
a. Déterminer les coordonnées du point K.

b. En déduire que les points B, I et K sont alignés.

Les points B, I et K sont donc alignés.
c. On note L le point d’intersection de l’arête [SA] avec le plan (BCI). Justifier que les droites (AD) et (KL) sont parallèles.
Les plans ( BCI) et (ABC) se coupent suivant la droite (BC).
Les plans (SAD) et (ABC) se coupent suivant la droite (AD), parallèle à la droite (BC).
Théorème du toit : si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle à leur droite d'intersection.
Les plans ( BCI) et (SAD) se coupent donc suivant une parallèle à (AD) ; de plus le point K appartient à cette intersection.
Donc la parallèle à (AD) passant par K appartient au plan ( BCI) et coupe le segment [SA].
En conséquence (AD) // (KL).
d. Déterminer les coordonnées du point L.
Les droites (KL) et (AD) étant parallèles, les points K et L sont tels que z_K=z_L =2 /3.
L appartient au plan ( SOC) , son abscisse x_L est donc nulle.
Théorème de Thalès appliqué dans les triangles ASD et LSK : ( (AD) // (KL).
SL / SA = SK / SD avec SA= SD ; donc SL=SK = 2 / 3.
SK² =(-1 / 3)² +(1/3)² = 2 / 9.
SL² =(x_L-x_S )² + (y_L-y_S )² +(z_L-z_S )² =2 / 9 ; 0 +(y_L-0 )² +(2 / 3 -1)² = 2 /9 ;
y_L² = 1 /9 ; y_L = ±1 /3 ; or y_L est négative ; y_L = -1 /3.
3. On considère le vecteur n de coordonnées ( 1 ; 1 ; 2)
a. Montrer que ce vecteur un vecteur normal au plan (BCI).
On démontre que ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan ( BCI).

b. Montrer que les vecteurs suivants sont coplanaires.

c. Quelle est la position relative des plans (BCI) et (SAD) ?

Antilles Guyanne.

ABCDEFGH est un cube d’arête égale à 1.
L’espace est muni du repère orthonormé desiné en bleu.
Dans ce repère, on a : D(0 ; 0 ; 0), C(1 ; 0 ; 0), A(0 ; 1 ; 0), H(0 ; 0 ; 1) et E(0 ; 1 ; 1).
Soit I le milieu de [AB].
Soit P le plan parallèle au plan (BGE) et passant par le point I .
On admet que la section du cube par le plan P représentée ci-dessus est un hexagone dont les sommets I , J , K, L, M, et N appartiennent respectivement aux arêtes
[AB], [BC], [CG], [GH], [HE] et [AE].
1. a. Montrer que le vecteur DF est normal au plan (BGE).
On démontre que ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan ( BGE).

b. En déduire une équation cartésienne du plan P.
Soit un point Q(x ; y ; z ) du plan P; I appartient également au plan P.

2. Montrer que le point N est le milieu du segment [AE].
Les intersections de deux plans parallèles, P et (BGE), avec la plan (ABE) sont deux droites parallèles. Ces droites sontt (IN) et (BE).
Théorème de Thalès dans les triangles ABE et AIN : AI / AB = 0,5 = AN / AE. N est donc le milieu du segment [AE].
3. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (HB).
Cette droite (HB) passe par le point H(0 ; 0 ; 1) et par le point B(1 ; 1 ; 0).

b. En déduire que la droite (HB) et le plan P son sécants en un point T dont on précisera les coordonnées.

4. Calculer, en unités de volume, le volume du tétraèdre FBGE.
La base de ce tétraèdre est le triangle rectangle FBG d'aire B=½FG x BF = 0,5 unité d'aire.
Hauteur du tétraèdre FE = 1.
Volume du tétraèdre V = B x FE / 3 = 0,5 x1 /3 = 1 / 6 unité d'aire.

Nlle Calédonie.
On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous.
1. Tracer, sans justifier, la section du cube par le plan (IJK) où K est un point du segment [BF].

2. Tracer, sans justifier, la section du cube par le plan (IJL) où L est un point de la droite (BF).

3. Existe-t-il un point P de la droite (BF) tel que la section du cube par le plan (IJP) soit un triangle équilatéral ? Justifier votre réponse.
On note K un point du segment [GF] tel que GK = 0,25 GF.

Les trois triangles IJG, IGK et JGK sont superposables.Donc JK=IJ =IK et le triangle IJK est équilatéral.
Ecrire le théorème de Thalès dans les ttriangles IGK et LFK en remarquant que KF = 3 GK.
FL / IG = KF / GK = 3 ; FL = 3 IG.
Le point L est tel que FL est égal au 3 / 4 du côté du cube.

Amérique du sud.
Partie A : un calcul de volume sans repère
On considère une pyramide équilatère SABCD (pyramide à base carrée dont toutes les faces latérales sont des
triangles équilatéraux).Les diagonales du carré ABCD mesurent 24 cm. On note O le centre du carré ABCD.
On admettra que OS = OA.

1. Sans utiliser de repère, démontrer que la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC).
Le triangle SAC est isocèle car SA = SC.
O étant le milieu du segment [AC], OS est la médiane issue de S dans le triangle SAC.
Ce triangle étant isocèle en S, la médiane issue de S est également médiatrice du côté AC.
En conséquence (SO) et (AC) sont perpendiculaires.
Une démonstration identique dans le triangle SBd conduit à : (SO) et (BD) sont perpendiculaires.
Les deux droites sécantes (BD) et (AC) du plan ( ABC) sont perpendiculaires à la droite ( OS).
La droite (OS) est donc orthogonale au plan ( ABC).
2. En déduire le volume, en cm³, de la pyramide SABCD.
Aire de la base carré ABCD : A = AB² avec 2AB² = AC² =24² =576 ; AB² =288 cm².
Volume de la pyramide : V = A x OS / 3 = 288 x 12 / 3 = 1152 cm³.
Partie B : dans un repère
On considère le repère orthonormé représenté en bleu.
1. On note P et Q les milieux respectifs des segments [AS] et [BS].
a. Justifier que le vecteur n de coordonnées (1 ; 1 ; −3) est un vecteur normal au plan (PQC).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (PQC).
Soit M( x ; y ; z) un point du plan ( PQC).

Equation du plan (PQC) : x +y -3z+1=0.
2. Soit H le point du plan (PQC) tel que la droite (SH) est orthogonale au plan (PQC).
a. Donner une représentation paramétrique de la droite (SH).
La droite (SH) est orthogonale au plan (PQC) ; le vecteur est orthogonal au plan ( PQC).
Donc le vecteur est un vecteur directeur de la droite (SH).
Le point S(0 ; 0 ; 1) appartient à cette droite (SH).
Représentation paramétrique de cette droite (SH) : k appartenant à R.
x= k ; y = k ; z =1-3k.
b. Calculer les coordonnées du point H.
Le point H est l'intersection de la droite (SH) et du plan (PQC) ; les coordonnées du point H sont telles que :
x+y-3z+1 = 0 ; k+k-3+9k+1=0 ; 11 k = 2 ; k = 2 /11.
H ( 2/11 ; 2 /11 ; 1-6/11) soit H(2/11 ; 2/11 ; 5/11).
c. Montrer alors que la longueur SH, en unité de longueur, est 2 x 11^-½.

3. On admettra que l’aire du quadrilatère PQCD, en unité d’aire, est égale à 3 x11^½/8.
Calculer le volume de la pyramide SPQCD, en unité de volume.
Volume =Aire du quadrilatère de base PQCD fois hauteur SH / 3.
V = 3 x11^½/8 x 2 x 11^-½ / 3 = 0,25 unité de volume.
Partie C : partage équitable
Pour l’anniversaire de ses deux jumelles Anne et Fanny, Madame Nova a confectionné un joli gâteau en forme de pyramide équilatère dont les diagonales du
carré de base mesurent 24 cm. Elle s’apprête à le partager en deux, équitablement, en plaçant son couteau sur le sommet. C’est alors qu’Anne arrête son geste et lui propose une découpe
plus originale : « Place la lame sur le milieu d’une arête, parallèlement à un côté de la base, puis coupe en te dirigeant vers le côté opposé ».
Fanny a des doutes, les parts ne lui semblent pas équitables. Est-ce le cas ? Justifier la réponse.
OA correspond à une unité de longueur soit 12 cm. L’unité de volume vaut 12³ = 1728 cm³.
Volume de la pyramide SABCD : 1 152 cm³.
Le volume de la pyramide SPQCD = 0,25 unité de volume = 0,25×1728 = 432 cm³, valeur différente de 1152 / 2 = 576 cm³.
Le partage proposé par Fanny n’est pas équitable.

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