Mathématiques, étude de fonction et calcul intégral, concours ingénieur territorial

Mathématiques, étude de fonction et calcul intégral, concours ingénieur territorial.

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Etude d'une fonction. ( sujet 2011)
Soit la fonction définie sur [0 , +p] par f(x) = e^-x sin x.
On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O, i, j).
Vérifier que pour tout réel x de [0 , +p], on a cos x-sin x = 2^½ sin ( 0,25p-x).
cos x = sin ( ½p-x) ; sin a -sin b = 2 cos (( a+b)/2) sin ((a-b)/2).
A = sin ( ½p-x) -sinx avec a+b = ½p et a-b =½p-2x ;
A = 2 cos 0,25p sin (0,25p-x) =2*0,707 sin (0,25p-x) = 2^½sin (0,25p-x).
Etudier les variations de f sur [0 , +p], et dresser le tableau de variation.
On pose u = e^-x et v = sin x ; u' = -e^-x ; v' = cos x.
Dérivée d'un produit : f '(x) = u' v + v' u = -e^-x sin x +e^-x cos x = e^-x ( cos x - sin x ).
f '(x) = 2^½ e^-xsin (0,25p-x).
2^½ e^-xest toujours positif ; sin (0,25p-x) est nul pour x = 0,25p sur [0 , +p].
sin (0,25p-x) est négatif si x > 0,25p ; sin (0,25p-x) est positif si x < 0,25p .

Ecrire un dévelopement limité de f au voisinage de zéro.
Au voisinage de zéro : sin x = x-x³/6 + x³e(x) ; e^-x = 1 -x+½x²-x³/6 + x³e(x).
f(x)=e^-x sin x = ( x-x³/6 + x³e(x)) (1 -x+½x²-x³/6 + x³e(x)).
Développer en se limitant à l'ordre 3 :
f(x) = x-x³/6 -x² +½x³+ x³e(x) = x -x² +x³/3+ x³e(x).
En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse x=0.
y = x.
Etudier la position relative de T et C au voisinage du point d'abscisse 0, pour x positif.
Au voisinage de zéro, f(x)-y =-x² +x³/3 avec x positif.
f(x)-y est négatif ; f(x) < y : la tangente est située au dessus de la courbe C.
Construire la tangente T et la courbe C.
Echelles : 5 cm en abscisses et 10cm en ordonnées.

En utilisant le fait que f est une solution de l'équation diférentielle (E), déterminer une primitive F de f sur [0; p].
On cherche une primitive de la forme F =A e^-x cos ( x+b) avec A et b des constantes réelles.
Dériver : f = -Ae^-x cos ( x+b)-Ae^-x sin ( x+b) = -Ae^-x( cos(x+b)+sin(x+b)).
Or cos a + sin a = 2^½ sin (a+0,25 p).
f = -Ae^-x 2^½ sin (x+b+0,25 p) = e^-x sin x.
On identifie A =-1/2^½ et b = -0,25 p ; F = -1/2^½e^-xcos ( x-0,25 p).
En déduire l'aire en cm² du domaine délimité par la courbe C et l'axe des abscisses.

A = 0,5216 unité d'aire.
1 unité d'aire = 5*10 = 50 cm² ; A =0,5216*50 =26,08 cm² = 2608 mm².

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Sujet 2009.
Le plan est rapporté à un repère orthogonal d'origine O ; unité 3 cm sur chaque axe. On considère la courbe paramétrée C définie sur [0 ; ½p] par :
M(t) : x(t) = sin²t =0,5(1-cos 2t) ; y(t) = 4 sin t cos t = 2 sin 2t.
Calculer les coordonnées du point M(½p-t) puis celles du milieu N(t) du segment [M(t)M(½p-t)]. En déduire que C est symétrique par rapport à une droite (D) qu'on précisera. En déduire un intervalle d'étude d'origine O.
M(½p-t) : x(½p-t) = sin²(½p-t) = cos²t = 1-sin²t ; remarque : sin(½p-t) =cos t.
y(½p-t) = 2 sin (2(½p-t)) =2 sin(p-2t) = 2 sin 2t.
N(t) : x(t) = 0,5(sin²t +1-sin²t) = 0,5 ; y(t) = 0,5(2 sin 2t + 2 sint 2t = 2 sin 2t.
La courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation x = 0,5. L'intervalle d'étude est ramené à [0 ; 0,25 p].
Calculer les dérivées des fonctions x(t) et y(t). Préciser les signes de x'(t) et y'(t) sur l'intervalle d'étude.
On pose u = sin t ; u' = cos t ; x(t) = u² ; u' = 2 u u' : x'(t) =2 sin t cos t = sin 2t. x'(t) est positive sur [0 ; 0,25 p].
y' = 2*2cos 2t = 4 cos 2t. y'(t) est positive sur [0 ; 0,25 p].
Former le tableau de variation de x(t) et y(t) sur l'intervalle d'étude .

Tracer la courbe C ; préciser la tangente en chacun des points O, A=M(0,25p) et B =M(½p).
La pente de la tangente à la courbe y(x) est donnée par y'/x'.
En O et en B : pente infinie, tangente verticale ; en A : pente nulle, tangente horizontale.

On note (D) la partie du plan limitée par (C) et l'axe des abscisses. Calculer en cm² l'aire de (D).
Déterminer l'équation de (C) sous la forme y = f(x). On exprimera sint et cost en fonction de x(t).
y(t) = 4 sin t cos t ; x(t) = sin²t . y² = 16 sin²t cos²t.
cos² t = 1-sin²t =1-x ; y² = 16 x (1-x) ; y= 4x^½(1-x)^½= 4 [x(1-x)]^½.
On pose u = sin² t alors 1-u = 1-sin² t = cos² t et u' = 2 sin t cos t = sin (2t).
y (u) = 4sin t cos t =2 sin 2t ; y du = 2 sin²(2t) dt = (1-cos(4t) dt.
unités d'aire.

Calcul intégral. ( sujet 2008)
Soient f et g les fonctions définies sur R par : f(x) = x cos x et g(x) = x sin x.
Calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie F(0) =1.
Intégration par parties en posant u= x et v' = cos x ; u' = 1 et v = sin x.

F(0) = 1+Cste = 1, la constante d'intégration est nulle et F= x sin x+ cos x.
Calculer la primitive G de la fonction g qui vérifie G(0) =0.
Intégration par parties en posant u= x et v' = sin x ; u' = 1 et v = -cos x.

G(0) =cste = 0, la constante d'intégration est nulle et G= -x cos x+ sin x.

Sujet 2006.
Soit la fonction f définie sur R par f(x) =(x-arctan x)/x² si x différent de zéro et f(0) = 0.
Etudier la parité de f et conclure.
f(-x) = (-x-arctan(-x)) / (-x)²=(-x+arctan x) / x² =-f(x). La fonction est impaire.
Sa courbe représentative C est symétrique par rapport à l'origine O du repère orthonormé.
Quelle est la limite de x quand x tend vers plus l'infini ?
f(x) = 1/x -arctan x / x².
Quand x tend vers plus l'infini : 1/x tend vers zéro ; arctan x tend vers ½p et arctan x / x² tend vers zéro.
f(x) tend vers zéro quand x tend vers plus l'infini.
La droite d'équation y=0 est une asymptote.
Calculer le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de zéro de la fonction g(x) = arctan x.
On pourra utiliser la formule de Taylor-Young
g(x) = g(0) +x g'(0) +½x²g"(0) +x³/3! g"'(0)+x³e(x).
g(0) = 0 ; g'(x) = 1/(1+x²) et g'(0) = 1 ; g"(x) = -1(2x)/(1+x²)² et g"0) = 0.
On pose u = -2x et v = (1+x²)²; u' = -2 et v' = 4x(1+x²).
Dérivée d'un quotient : g'''(x) =(u'v-v'u)/v² =[-2(1+x²)² +8x²(1+x²)] / (1+x²)⁴=[-2(1+x²) +8x²] / (1+x²)³ ; g'''(0) = -2.
g(x) =x-x³/3 +x³e(x).
Déduire du résultat précédent que f est dérivable pour x=0 et donner la valeur de f '0).
Développement limité de f(x) au voisinage de zéro ;
f(x) =[ x - x +x³/3 +x³e(x)] / x² = x/3+x e(x).
Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
f admet un développement limité en x₀ et f est dérivable en x₀.
Au voisinage de zéro ; f '(x) = x/3 et f '(0) = 0.
En déduire sans nouveau calcul que f est continue pour x=0.
Toute fonction dérivable en un point est continue en ce point.

Sujet 2004.
Dans le plan rapporté à un repère orthogonal, on considère la courbe paramétrée C définie par :
M(t) : x(t) =3 cos t -2 cos³ t ; y(t) = 2 sin³ t.
Montrer que C est symétrique par rapport à l'axe des abscisses.
La fonction cosinus est paire : x(t) = x(-t) ; la fonction sinus est impaire : y(-t )=2 sin³ (-t) =-2 sin³ t = -y(t).
En utilisant M(p-t) montrer que C est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Rappel : sin t = sin (p-t) et cos (p-t) = - cos t.
x(p-t) =3 cos (p-t) -2 cos³ (p-t) = -3 cos t +2cos³ t = -x(t).
y(p-t) = 2 sin³ (p-t) = 2 sin³ t = y(t).
Montrer que l'on obtient toute la courbe C en faisant varier t dans un intervalle d'amplitude 2p.
cos³t = cos t cos²t = cos t (1+cos 2t ) /2 =½ cos t + ½cos t cos 2t .
Or : cos t cos 2t =½(cos (t+2t) + cos ( t-2t)) = ½( cos 3t +cos t )
cos³t =½ cos t +0,25( cos 3t +cos t ).
La période de cos t est égale à 2p et celle de cos 3t est égale à 2p/3.
De même sin³t = sin t sin²t = sin t (1-cos 2t ) /2 =½ sin t - ½sin t cos 2t .
Or : sin t cos 2t =½(sin (t+2t )- sin ( t-2t)) = ½( sin 3t +sin t )
sin³t =½ sin t +0,25( sin 3t +sin t ).
La période de sin t est égale à 2p et celle de sin 3t est égale à 2p/3.
Calculer les dérivées x'(t) et y'(t), puis déterminer leurs signes pour t appartenant à [0 ; ½p].
x'(t) = -3 sin t-2*3(-sin t)cos²t = 3 sin t ( -1+2 cos²t)= 3 sint (-1+1+cos 2t) =3 sin t cos 2t.
Sur l'intervalle considéré, sin t >0 :-1+2 cos²t =0 si t = 0,25 p ; -1+2 cos²t >0 si t est compris entre 0 et 0,25 p ; -1+2 cos²t <0 si t est compris entre 0,25 p et 0,5 p ;
x'(t) est positive sur [0 ; 0,25 p[ et négative sur ]0,25p ; 0,5 p].
y't) =6 cos t sin² t ; cos (t) est positive sur l'intervalle considéré.
Former le tableau de variation de x(t) et y(t).

On désigne par C₁ la partie de C correspondant à t appartenant à [0 ; 0,5 p]
Préciser la tangente en M(0) et les points où la tangente à C₁ est parallèle aux axes de coordonnées.
y' / x' = 6 cos t sin² t / (3 sint cos 2t)) =2 sin t cos t / cos 2t = tan 2t ; en M(0) : y'/x' = 0, tangente horizontale.
En M(0,25 p) : y'/x' tend vers l'infini, la tangente est verticale.
Comment déduit-on C de C₁ ?
Symétrie par rapport à l'axe des abscisses et symétrie par raport à l'axe des ordonnées.
Construire C.

Calculer l'aire S de la partie du plan limitée par C.
L'aire S est égale à 4 fois l'aire limitée par C₁ et les axes.

sin⁴t =0,25(1-cos 2t)² =0,25(1-2 cos 2t+cos² 2t) =0,25(1-2 cos 2t +0,5(1+cos 4t) = 0,25(1,5 -2 cos 2t +0,5 cos 4t)
sin⁴t cos 2t = 0,25(1,5 -2 cos 2t +0,5 cos 4t) cos 2t = 0,25(1,5 cos 2t -2 cos² 2t +0,5 cos 2t cos 4t) ;
0,25(1,5 cos 2t-(1+cos 4t) +0,5*0,5( cos 2t +cos 6t)) = 0,25( -1 +1,75 cos 2t -cos 4t + 0,25 cos 6t).
Intégrer entre 0 et ½p : 0,25[-t +1,75/2 sin 2t -0,25 sin 4t +0,25/6 sin 6t]₀^0,5p =0,25(-0,5p).
aire S = 24 *0,25*0,5p = 3 p unités d'aire.

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