Mathématiques, Physique, Concours TSPEI 2017.
Technicien supérieur principal de l'économie et de l'industrie.

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Etude d'une fonction.
Soit f la fonction définie dans R par : f(x) = ex / (1+ex).
1. Calculer f(0). Déterminer les limites de f en -oo et +oo.
f(0) = 1 / (1+1) = 1 / 2 = 0,5.
Quand x tend vers moins l'infini ex tend vers zéro et fx() tend vers zéro.
f(x) = 1 / (1 +e-x) ;
Quand x tend vers plus l'infini, f(x) tend vers 1.
2. Calculer la dérivée de f. En déduire le tableau de variations.
On pose u = ex et v = 1+ex ; u' =ex ; v' = ex.
f ' = (u'v -c ' u) / v2 =[ ex(1+ex) -e2x) / (1+ex)2.
 f ' =ex/ (1+ex)2.
ex étant positif, la dérivée est positive et f (x) est strictement croissante.
 3. Montrer que le point I(0 ; 0,5) est centre de symétrie de la courbe.
Montrons que le symétrique par rapport à I de tout point de la courbe appartient à la courb, soit :
f(xI-x) +f(xI+x) = 2yI.
f(0-x) + f(0+x) = e-x / (1+e-x) + ex / (1+ex) = [e-x(1+ex) +ex(1+e-x)] / [(1+ex)(1+e-x)].
f(0-x) + f(0+x) = ( e-x+1+ex+1) / ( e-x+1+ex+1) = 1 = 2 yI.
4. Ecrire une équation de la tangente à la courbe au point I.
Coefficient directeur de la tangente à la courbe en I : f '(0) = 1 / (1+1)2 = 0,25.
La tangente passe en I (0 ; 0,5) : 0,5 = 0,25 *0 +b soit b = 0,5.
y = 0,25 x +0,5.
 5. Construire la courbe et la tangente en I.


6. Soit a <0. Déterminer l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x = a.
Déterminer la limite de cette aire quand a tend vers moins l'infini.
On pose u = 1 +ex ; u' = ex.

Quand a tend vers moins l'infini, ea tend vers zéro. L'aire tend vers ln (2).

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Second problème.
Une entreprise a embauché 10 opérateurs, 6 hommes et 4 femmes. Elle veut constituer une équipe comprenant 6 opérateurs qui travailleront dans la nouvelle unité de production. L'entreprise choisit au hasard les 6 membres de l'équipe parmi les 10 embauchés. On supposera que les choix d'équipes sont équiprobables.
1. Déterminer le nombre d'équipes possibles.
Aucune femme et 6 hommes ; 1 femme et 5 hommes ; 2 femmes et 4 hommes ; 3 femmes et 3 hommes ; 4 femmes et 2 hommes.
Nombre d'équipes possibles : tirages de 6 personnes parmi 10, sans ordre.
C106 = 10 x 9 x 8 x7 x 6 x 5  / (2 x 3 x 4 x 5 x 6) = 210.
2. Quelle est la probabilité d'avoir une équipe formée de 6 hommes ? Composée de 3 hommes et de 3 femmes ?
Une seule possibilité de former une équipe de 6 hommes. Sa probabilité est égale à 1 / 1260.
On choisit 3 hommes parmi 6 et 3 femmes parmi 4 :
C63 x C43 = 6 x5 x4 / (2 x3) x 4 x 3 x 2 / (2 x 3)= 20 x 4 = 80 possibilités.
Probabilité de former une équipe de trois hommes et 3 femmes : 80 / (90 x14) = 4 / 72.
 3. Deux opérateurs, Cécile et Nicolas, désirent travailler ensemble dans la nouvelle unité de production. Quelle est la probabilité de voir leur voeux se réaliser ?.

4. Lors du recrutement, les 10 opérateurs ont été classés par ordre de mérite : du rang 1 au rang 10. On choisit au hasard un opérateur parmi les 10. Soit X la variable aléatoire égale au rang de l'opérateur choisi. Déterminer la loi de X et son espérance E(X).
Loi uniforme discrète d'espérance (1+10) / 2 = 5,5.



Acummulateur NiMH.
Cet accumulateur est chargé pendant Dt = 6 h. La tension à ses bornes est U = 1,40 V et l'intensité du courant qui la traverse est I = 110 mA.
1. Calculer la puissance électrique Pe et l'énergie électrique We reçue par cet accumulateur.
Pe = UI = 1,40 x0,110 = 0,154 W.
We =Pe Dt =0,154 x 6 x3600=3326,4 ~3,33 103 J.
Une fois chargé, cet accumulateur peut servir de générateur. On mesure la tension U aux bornes de l'accumulateur en fonction de l'intensité I qui le traverse.
2. Compléter le schéma en indiquant la tension UPN, le sens du courant et les appareils de mesures nécessaires.

UPN(V)
 1,10
 1,06
 1,03
 0,99
 0,95
 0,91
 0,88
 0,84
I(mA)
 100
 125
 150
 175
 200
 225
 250
 275

3. Tracer UPN = f(I).

4. En déduire la fem E et la résistance interne r de cet accumulateur.
E = 1,25 V, ordonnée à l'origine.
r =  valeur absolue de la pente de la droite : r = (1,1-0,88) / (0,25-0,1) ~1,5 ohms.
5. Pour UPN = 1,00 V, calculer la puissance dissipée par effet Joule.
UPN = 1,25 -1,5 I ; I = (1,25-1) / 1,5 ~0,167 A.
Pjoule = r I2 =  1,5 x 0,1672 ~0,042 J.

Réacteur nucléaire.
L'uranium enrichi à 3,7 % subit la réaction de fission :

23592U + 10n ---> 94xSr + 13954Xe + y 10n.

1. Déterminer  x et y en justifiant.
Conservation du nombre de nucléons : 235+1 = 94 + 139 + y ; y = 3.
Conservation de la charge : 92 = x +54 ; x = 38.
23592U + 10n ---> 9438Sr + 13954Xe + 3 10n.
2. Calculer en MeV l'énergie libérée par la fission d'un noyau d'uranium.

noyau
23592U
9438Sr
13954Xe
10n
masse (u)
234,993 45
93,894 51
138,889 17
1,00866
1 MeV = 1,602 10-13 J ; c = 2,998 108 m/s ; 1 u = 1,66054 10-27 kg ; 1 tep = 42 GJ ; NA = 6,02 1023 mol-1.
Variation de masse Dm =2 m(10n) + m(113954Xe) + m( 9438Sr) - m(23592U)
Dm = 2*1,00866 +138,889 17 +93,894 51-234,99345= -0,19245 u
-0,19245*1,66054 10-27 = -3,195709 10-28 kg.
Cette diminution de masse s'acompagne de la libération d'énergie dans le milieu extérieur ( ce que traduit le signe négatif) :
Dm c2 = -3,195709 10-28 *(2,998 108)2 = -2,8723 10-11 J .
-2,8723 10-11 / 1,6 10-13 = 1,7951 102 MeV.

3. Estimer l'énergie libérée par la fission d'une masse m = 1,0 g d'uranium enrichi.
Nombre de noyaux d'uranium 235 : 0,037 / M(235U) NA =0,037 / 235 x 6,02 1023 ~9,48 1019.
QC= 2,8723 10-11 x 9,48 1019 ~2,72 109 J.
4. L'eau du circuit secondaie sort à l'état de vapeur au contact de la source chaude à TC = 563 K, entraîne les turbines, se refroidit puis se condense au contact de la source froide à TF = 308 K.
Enoncer le premier principe de la thermodynamique. En déduire une relation entre Qc, transfert thermique échangé avec l'eau à la source chaude, QF transfert thermique échangé à la source froide et W le travail échangé au cours du cycle.
Dans toute transformation, il y a conservation de l'énergie.
La variation d'énergie interne du fluide est nulle au cours du cycle. QF + QC + W=0.
Enoncer le second principe de la thermodynamique et en déduire une relation entre Qc, QF, TC et TF.
Toute transformation d'un système thermodynamique s'efectue avec augmentation de l'entropie globale.
La variation d'entropie du fluide est nulle au cours du cycle effectué réversiblement. QF /TF + QC /TC=0.
Définir et exprimer le rendement r de la transformation d’énergie thermique en travail mécanique.
Le rendement est égal à la valeur absolue du travail fourni à la turbine divisé par l'énergie reçue de la source chaude.
r = |W| / QC.
W = -(QF + QC ) ; |W|= QC + QF  ;  r = (QC + QF ) / QC =1 +QF  / QC.
or : QF /TF + QC /TC=0 soit : QF  / QC = -TF / TC.
r = 1-TF / TC = 1-308 / 563 ~0,45 ( 45 %).

Mesure d'un débit..
On insère dans une conduite un tube de venturi

Le rapport des diamètres est noté ß = DB / DA.
1. Définir le débit volumique et montrer qu'il s'écrit Qv = S. v.
Ecrire la conservation du débit volumique entre les sections droites SA et SB.
Le débit volumique est le volume de fluide ( m3) qui traverse une section droite du tube par unité de temps (s).

dV ( volume) = section * déplacement ; dV = S dx ; dx/dt est une vitesse d'où dV/dt = S v.
Le débit volumique (m3 s-1) est donc une section (m2) fois une vitesse (m s-1).
La conservation du débit volumique s'écrit : SA vA = SB vB.
2. les points A et b étant à la même altitude, le théorème de Bernoulli s'écrit :
PA +½rv2A =PB +½rv2B .
Comparer en justifiant vA et vB ainsi que PA et PB.
SA > SB ; de plus le débit volumique est constant, donc vA < vB.
Le théorème de Bernoulli conduit alors à PA > PB.
3. Exprimer vB en fonction de DP = PA-PB, r, et ß.
PA -PB  +½rv2A =½rv2B .
2 DP / r +v2A =v2B .
Or SA vA = SB vB ; pD2A vA / 4 = pD2B vB / 4 ; vA = ß2 vB.
2 DP / r +ß4v2B =v2B  ; 2 DP / r  =v2B (1-ß4).
v2B =2 DP /( r (1-ß4)).
4. Montrer que le tube de Venturi crée une dépression DP proportionnelle à Q2v. Exprimer le coefficient de proportionnalité k en fonction de r, ß et de SB.
Qv =SB vB  ; Q2v =S2B v2B  ; Q2v =S2B 2 DP /( r (1-ß4)) ;
DP = r (1-ß4) Q2v /(2S2B ) ;  k = r (1-ß4)  /(2S2B ).




  

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