Equilibre
d'un système soumis à des forces, Mouvement uniformément
varié, Concours
Marine Marchande 2012 et 2013
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Le
schéma ci-dessous représente une masse M suspendue par un anneau à deux
câbles, reliés aux poulies 1 et 2, qui font respectivement un angle de
60° et de 30° avec la verticale du lieu. On donne :
- la valeur de la masse : M = 500 kg ;
- l’accélération de la pesanteur : g = 10 m.s-2.
Indiquer et
représenter sur ce schéma les forces auxquelles l'anneau est soumis.
Calculer
le module de ces forces.
F1 = Mg sin 30 =500*10*0,5 =2,5 103
N.
F2 = Mg sin 60
=500*10*0,866 =4,3 103 N.
En déduire
la valeur des forces de tension des câbles T1 et T2.
Les masses des poulies étant négligeables : T2=F2
et T1 = F1.
Un ouvrier soulève une brouette représentée sur la figure ci-dessous et
chargée de graviers dont la masse vaut 100 kg. La distance « a » entre
le centre de gravité G de la brouette chargée et le moyeu de la roue
est à la moitié de la distance « b » entre le moyeu de la roue et les
poignées. Le diamètre « d » de la roue est de 0,40 m. Une fois
soulevée, la hauteur des poignées de la brouette est h = 0,70 m et
l’angle formé par l’axe longitudinal de la brouette
avec l’horizontal est a = 30°. On considère que l’accélération de la
pesanteur vaut 10 m.s-2.
Calculer à
l’équilibre la force verticale devant être exercée sur chaque bras de
l’ouvrier.
L'action du plan au contact avec la roue passe par l'axe de rotation : son moment par rapport à cet axe est nul.
F est la force exercée sur les deux bras de l'ouvrier.
A l'équilibre : F b = Mg a cos 30 avec b = 2a.
2F =Mg cos 30 ; F = 100*10*0,866 / 2= 433 N.
Force exercée sur chaque bras : 266 N.
Calculer
à l’équilibre la distance « b » entre le moyeu de la roue et les
poignées.
sin 30 = (h-½d) / b ; b = (h-½d) / sin 30 = (0,70-0,20) / 0,5 = 1,0 m.
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Un automobiliste roule
à la vitesse de 100 km.h-1 lorsqu’il aperçoit un
obstacle immobile et inévitable à 100 m. Il freine aussitôt et percute
l’obstacle à 10 km.h-1.
Enoncer
les équations horaires de la vitesse et de la distance parcourue d’un
mobile lors d’un mouvement rectiligne uniformément décéléré. En déduire
l’expression de la décélération en fonction des vitesses initiale,
finale et de la distance.
On note a la décélération, vi la vitesse
initiale, vf la vitesse finale, d la distance
parcourue et t la durée du freinage :
la vitesse est une primitive de la décélération : vf
= at +vi ;
la distance est une primitive de la vitesse : d =½at2
+vit.
t =(vf-vi)/a ; repport
dans l'expression de "d" :
d =½(vf-vi)2/a
+vi(vf-vi)/a
=( 0,5 vf2 +0,5 vi2
-vfvi +vfvi-vi2)/a =0,5(vf2-vi2) / a.
Autre méthode : utiliser le théorème de l'énergie cinétique : ½mvf2
-½mvi2
=ma d ; simplifier par m.
Calculer
la décélération.
a = (vf2-vi2) /(2d) ; vf
= 10/3,6 = 2,78 m/s ; vi =
100/3,6 = 27,8 m/s ;
a =(2,782-27,82) / 200
=-3,8255 ~-3,8 m s-2.
Calculer
la durée du freinage.
t =(vf-vi)/a
=(2,78-27,8) / (-3,8255) =6,5 s.
Dans le cas où l’obstacle est un
tracteur se déplaçant dans le même sens que l’automobile à la vitesse
uniforme de 10 km.h-1. A 100 m du tracteur,
l’automobiliste décélère
à 1,9 m.s-2 à partir de 100 km.h-1.
Donner
les équations horaires de la décélération de l’automobile et de la
vitesse du tracteur.
L'origine des distances est la position initiale de la voiture et
l'origine des temps le début du freinage.
Automobile : d =½at2
+vit. ; tracteur : d' =v0t
+100.
En déduire
la durée du freinage, la distance parcourue entre le début du
freinage et le choc et la vitesse au moment du choc.
Au
moment du choc d = d' ; ½at2
+vit = v0t
+100.
0,5(-1,9)t2 +27,8 t=2,78 t +100 ; -0,95t2
+27,8 t-2,78 t -100 =0.
0,95t2
-25 t +100 =0. Résoudre et retenir la racine positive ::
discriminant D
= 252-4*100*0,95 =245 ; t = (25-15,65) / 1,9
=4,92 ~4,9 s.
Distance
parcourue par le tracteur : d'-100 = 2,78*4,92 =13,6 m ; distance
parcourue par la voiture : 100 +13,6 = 113,6 m.
Vitesse de la voiture au moment du choc : d =0,5(vf2-vi2) / a.
2ad = vf2-vi2
; vf2 = vi2+ 2ad = 27,82
+2*113,6(-1,9) =341 ; vf = 18,5 m/s ou 18,5*3,6
= 66,5 km/h.
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Une motocyclette parcourt la trajectoire
ABCDEFG représentée sur le dessin ci-dessous. La distance rectiligne AB
est de 450 m, celle de FG est de 225 m et le diamètre du demi-cercle
BCDEF est de 152 m.
La vitesse initiale de la motocyclette est nulle au point A, puis elle
augmente uniformément de 1 m.s-2 jusqu’au point B.
Du point B au point F, le module de la vitesse reste constant, puis, du
point F au point G, il diminue uniformément de 2 m.s-2.
Indiquer les temps de passage aux différents points ABCDEFG.
AB = ½a1t12 ; t1 = (2AB/a1)½ =(2*450/1)½ = 30 s ; vB =a1t1 =1*30 = 30 m/s.
Il parcourt la demi circonférence BF =152*3,14 /2 =238,6 m à la vitesse de 30 m/s.
Date du passage en F : t2 =30 +238,6 / 30 =37,954 ~38 s.
FG = ½a2(t-t2)2 +30(t-t2) ou encore si t3 est la durée de ce parcours : FG = ½a2t32 +30t3 ;
225 = 0,5(-2)t32 +30t3 ; t32 -30t3 +225 =0, résoudre et retenir la racine positive :
D =302-4*225 = 0 ; t3 = 30/2 = 15 s. Date de passage en G : 15+38 = 53 s.
Vitesse en G : v = a2t3 +vF =-2*15+30 = 0.
Indiquer la direction de la vitesse de la motocyclette et noter son
module aux différents points en utilisant la couleur bleue ;
indiquer
la direction de l’accélération de la motocyclette et noter son module
aux différents points en utilisant la couleur rouge.
Accélération centripète sur le demi-cercle de valeur v2/R =302 / 76 = 7 m s-2.
Calculer les forces subies par la motocyclette aux différents points et préciser quelles sont leur direction.
La
masse totale de la motocyclette et de son pilote, notée m, est de 150
kg. L’accélération de la pesanteur, notée g, est de 10 m.s-2. Les changements
d’accélérations aux points B et F sont instantanés. Les forces de frottement sont négligées.
Poids, vertical vers le bas, valeur mg = 150*10 = 1,5 103 N. Action du plan, opposée au plan.
Sur AB, force motrice de même sens que l'accélération a1, valeur ma1 = 150*1 = 150 N.
Sur FG, force motrice de même sens que l'accélération a2, valeur m|a2| = 150*2 = 300 N.
Force d'inertie centripète sur le demi-cercle : 150*7 =1,05 103 N.
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