Fonction, probabilités, suite, géométrie. Concours Geipi Polytech 2017. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . Exercice 1. Le plan P est rapporté à un repère orthonormé(O, i, j). Partie A. On considère la fonction f définie par : pour tout réel x > 0, f(x) = ln(x + 1) −x /(x+1) On note Cf la courbe représentative de f dans le plan P. I-A-1- Déterminer la limite de f quand x tend vers +oo. Justifier. x /(x+1) = 1 /(1+1/x) ; quand x tend vers l'infini 1/x tend vers zéro et x/(x+1) tend vers 1. Quand x tend vers l'infini, ln(x+1) tend vers l'infini. Par somme des limites, f(x) tend vers l'infini quand x tend vers l'infini. I-A-2- f′ d´esigne la dérivée de f. Pour tout x > 0, f ′(x) s’écrit sous la forme : f ′(x) =h(x) /(x + 1)2. Déterminer l’expression de h(x). Détailler le calcul. Dérivée de ln(x+1) : 1/(x+1). Dérivée de x /(x+1) : on pose u =x et v = x+1 ; u' = 1 ; v' =1 ;( u'v-v'u) / v2 =1 /(1+x)2. f '(x) = 1 /(1+x) -1/(x+1)2 = (x+1-1) / (x+1)2 = x /(x+1)2 = x /(x+1)2. h(x) = x. I-A-3- Dresser le tableau des variations de f. I-A-4- Soient B, C et D les points de Cf d’abscisses respectives 0, 5 et 10. On note yB, yC et yD leurs ordonnées. Donner la valeur de yB et une valeur décimale approchée à 10−1 pr`es de yC et yD. yB=0 ; yC = ln(6)-5/6 ~1 ; yD =ln(11)-10 /11 ~1,5. Partie B. On considère la fonction g définie par : pour tout réel x > 0, g(x) = −1 + ln x. On note Cg la courbe représentative de g dans le plan P. I-B-1- Montrer que, pour tout réel x > 0, f(x) − g(x) = ln (1 +a /x) +b /(x+1) où a et b sont des réels à déterminer. f(x)-g(x)= ln(x + 1) -ln(x) +1−x /(x+1)=ln[(x+1) /x] +1/ (x+1) ; a =b =1. I-B-2-a- Pour x > 0, quel est le signe de f(x) − g(x)? Justifier la r´eponse. 1/(x+1) est positif ; 1 / 1/x >1 donc ln(1 +1/x) est positif ; f(x)-g(x) >0. I-B-2-b- En déduire la position relative des courbes Cf et Cg. Cf est au dessus de Cg. I-B-3- Soit x > 0. On considère les points M(x; f(x)) et N(x; g(x)). I-B-3-a- Exprimer la longueur MN en fonction de x. MN2 = [f(x) -g(x)]2 +(x-x)2  ; MN=ln[(x+1) /x] +1/ (x+1). I-B-3-b- Donner la limite de MN lorsque x tend vers +oo. ln(1 +1/x) tend vers ln(1) et 1/(x+1) tend vers zéro ; MN tend vers 0 quand x tend vers l'infini. I-B-4-Tracer la courbe Cg. Placer les points B, C et D. Tracer la tangente à la courbe Cf au point B. Puis tracer la courbe Cf . Partie C. On considère la fonction H d´efinie par : pour tout réel x > 0, H(x) = (x + 2) ln(x + 1) − x ln x. I-C-1- Montrer que H est une primitive de f − g sur ]0;+1[. Dériver H  : on pose u = x+2 et v = ln(x+1) ; u'v+v'u = ln(x+1)+(x+2) /(x+1) ; (xlnx)'=lnx +1. H'(x) = ln(x+1)-lnx+(x+2) /(x+1) -1 = ln( (x+1) / x) +1/(x+1) =f(x)-g(x). I-C-2- Soit D le domaine du plan situé entre les courbes Cf et Cg et les droites d’équation x = 1 et x = 3. On note A son aire, exprimée en unités d’aires. I-C-2-a- Hachurer D sur la figure. I-C-2-b- Calculer A. Le résultat sera écrit sous la forme A = α ln 2+β ln 3 où α et β sont des entiers relatifs à déterminer. A = F(3)-F(1)=5 ln 4- 3ln 3 -(3ln 2 -ln1) =10 ln 2- 3ln 3 -3ln 2 =7 ln2 -3ln 3. a = 7 ; ß= -3. . . Exercice 2. Dans cet exercice, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte sous la forme d’une fraction irréductible. Partie A. II-A-1- Donner l’ensemble F1 des solutions de l’équation (E1) d’inconnue réelle x : (E1) 4x2 − 4x + 1 = 0.+(2x-1)2=0 : solution x = 1/2. II-A-2- En déduire l’ensemble F2 des solutions de l’équation (E2) d’inconnue réelle λ: (E2) 4e−2l-4e-l+ 1 = 0. Justifier la réponse. On pose e-l = X ; par suite X=1/2 ; l = ln 2. Partie B. A une sortie d’autoroute, il y a une seule barrière de péeage et une étude a montré que le temps d’attente d’un véhicule arrivant à la barrière avant le franchissement du péage, exprimé en minutes, peut être représent´e par une variable aléatoire T suivant une loi exponentielle de paramètre λ, avec λ réel. L’étude a montré par ailleurs que la probabilité que le temps d’attente d’un véhicule soit compris entre une et deux minutes est égale à 1/4. II-B-1- On rappelle que, pour tout t>0, la probabilité P( T < t) que l’attente d’un véhicule dure moins de t minutes est donnée par : P( T < t) = 1 − e-lt. II-B-1-a Ecrire P(1 < T < 2) en fonction de λ. P( T < 1) = 1 − e-l. P( T > 2) =  e-2l. P(1 < T < 2) =1-(1 − e-l)- e-2l = e-l- e-2l . II-B-1-b En utilisant la question II-A-2-, montrer que λ = ln 2 . e-l- e-2l = 1/4 soit 4e−2l-4e-l+ 1 = 0. par suite l = ln2. On a donc : pour tout t >0, P(T < t) = 1 − e−(ln 2)t. II-B-2- Un véhicule arrive au péage. II-B-2-a- Déterminer la probabilité P1 qu’il attende au plus une minute. Détailler le calcul. P(T < 1)=1-e-ln2 =1-1/eln2 = 1-1/2 = 1/2. II-B-2-b- Déterminer la probabilité P2 qu’il attende au moins deux minutes. Détailler le calcul. P(T > 2) = e-2ln2 = 1 / eln4 = 1 /4. II-B-2-c- Déterminer la probabilité P3 qu’il attende au moins trois minutes, sachant qu’il a attendu au moins deux minutes. Justifier soigneusement la réponse. La loi exponentielle est sans mémoire. PT >2 (T >3) = P(T > 1 )=1 /2. Partie C. Le trafic augmentant, la société d’autoroute a installé une deuxième barrière de péage. Le passage d’un véhicule au péage sera dit ”rapide” lorsque son temps d’attente est inférieur ou égal à une minute et ”lent” dans le cas contraire. La probabilité que le véhicule choisisse la première barrière est égale à 2 /3 et, dans ce cas, la probabilité que son passage soit rapide est égale à 1/2. Lorsque le véhicule choisit la deuxième barrière, plus moderne, la probabilité que son passage soit rapide est égale à 3 /5. Un véhicule arrive au péage. On considère les événements : B1 : ”le véhicule choisit la première barrière” R: ”le passage au péage est rapide” B2 : ”le véhicule choisit la deuxième barrière” L: ”le passage au péage est lent” II-C-1- Compléter l’arbre ci-dessous avec les probabilités correspondantes. II-C-2- Déterminer la probabilité P4 que le passage du véhicule au péage soit rapide. Détailler le calcul. II-C-3- Déterminer la probabilité P5 que le véhicule ait choisi la deuxième barrière, sachant que son passage a été lent. Justifier soigneusement le résultat. Exercice 3. Dans cet exercice, n désigne un entier naturel non nul. Partie A. III-A-1- On considère la suite géométrique (vn)n≥1 de raison q = 3 /4 et de premier terme v1 = 1. III-A-1-a- Donner les valeurs exactes de v2 et v3. v2 = v1 q = 3 /4 ; v3 = v2 q = 9 / 16. III-A-1-b- Donner, pour tout n  1, l’expression de vn en fonction de n. vn = (3 / 4)n-1. III-A-2- On pose, pour tout n > 1, An =S vk = v1 +v2 +v3 +....+vn. III-A-2-a- Donner les valeurs exactes de A1, A2 et A3. A1 = v1 = 1 ; A2 = v1 +v2 = 1 +3/4 = 7 /4 ; A3 = v1 +v2 +v3= 1 +3/4 +9/16 =37 /16. III-A-2-b- Montrer que, pour tout n> 1, An = 4[1−(3/4)n]. An = 1+ 3/4 +(3/4)2 +....+(3 /4)n-1 = [1-(3/4)n] / (1-3/4) =[1-(3/4)n] / (1/4) = 4[1 −(3/4)n]. III-A-2-c- La suite (An)n≥1 est convergente. Déterminer sa limite quand n tend vers l'infini. |3 /4| est inférieur à 1, donc (3 /4)n tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Par suite (An)n≥1 tend vers 4 quand n tend vers l'infini. III-A-2-d- Déterminer le plus petit entier n tel que An > 3. On le notera n0. Justifier soigneusement la réponse. 4[1 −(3/4)n] > 3 ; 1 −(3/4)n  > 3/4 ;  1/4 >  (3/4)n ; ln(1/4) > n (ln(3/4) ; ln(4) < n  ln(4/3) ; n > ln(4) / ln(4/3) ; n > 4,82. Partie B. On effectue le coloriage d’un carré de côté 2 unités de longueur avec les consignes suivantes : Etape 1 : partager le carré initial en quatre carrés identiques de côté de longueur c1 et colorier le carré situé en bas à gauche. Etape 2 : pour chacun des carrés non encore coloriés, faire un partage en quatre carrés identiques de côté de longueur c2 et colorier le carré situé en bas à gauche. On poursuit le coloriage du carré selon le même procédé à chaque étape. Autrement dit, pour tout n > 1 : Etape n : pour chacun des kn carrés non encore coloriés, faire un partage en quatre carrés identiques de côté de longueur cn et colorier le carré situé en bas à gauche. On colorie kn carrés à l’étape n. On remarque que k1 = 1, k2 = 3. III-B-1- Faire le coloriage de l’étape 3. III-B-2-a- Donner la valeur de k3. k3 =9 = 32. III-B-2-b- Donner, pour tout n > 1, l’expression de kn+1 en fonction de kn. kn+1 = 3 kn. III-B-2-c- En déduire, pour tout n > 1, l’expression de kn en fonction de n. kn = 3n-1. III-B-3-a- Donner les valeurs de c1, c2 et c3. c1 = 1 ; c2 = 1/2 ; c3 = 1 /4. III-B-3-b- Justifier que, pour tout n > 1, cn = 1 / 2n−1. Cn est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison q = 1 /2. III-B-4- Justifier que l’aire, en unités d’aire (u.a.), de la surface qui est coloriée lors de l’étape n est égale au terme vn de la suite définie dans la question III-A-1-. Etape 1 : aire coloriée A1 =v1 =1 ; étape 2 : aire coloriée A2 = 1+3 x1/22  =v1 +v2 ; étape 3 : aire coloriée A3 = 1+3 x1/22  +9 x1/23 =v1 +v2 +v3.; Etape n : An = 4[1 −(3/4)n]. III-B-5-a- Que vaut l’aire, en u.a., de la surface totale coloriée à l’issue de l’étape n ? An = 4[1 −(3/4)n]. III-B-5-b- Déterminer le nombre d’étapes minimal nécessaire pour colorier au moins les trois quarts du carré initial. Justifier la réponse. Aire du carré initial : 4 u.a. Aire des 3 /4 du carré initial = 3 u.a. 41 −(3/4)n] > 3 ; 1 −(3/4)n  > 3/4 ;  1/4 >  (3/4)n ; ln(1/4) > n (ln(3/4) ; ln(4) < n  ln(4/3) ; n > ln(4) / ln(4/3) ; n >5. .... ..... Exercice 4. Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O, i, j, k), on considère : • les points A, B, C, D et E de coordonnées respectives : A(0; 4;−1), B(−2; 4;−5), C(1; 1;−5), D(1; 0;−4), E(−1; 2;−3) ; ..• la droite D définie par le système d’équations paramétriques : x = −3 + k ; y = k ; z = −5 + k , avec k réel. • le plan P1 d’´equation cartésienne : x + 2z + 7 = 0. IV-1-a- Donner les coordonnées d’un vecteur normal au plan P1. IV-1-b- Soit I le milieu du segment [AB]. Montrer que I appartient au plan P1. xI = (xA +xB) / 2  = -1  ; yI = (yA +yB) / 2 =4 ; zI = (zA +zB) / 2 = -3 ; xI +2 zI +7 = -1 +2(-3)+7. Les coordonnées du point I vérifient l'équation cartésienne du plan P1 , donc I appartient à ce plan. IV-1-c- Montrer que la droite (AB) est orthogonale au plan P1. IV-2- Soit P2 le plan d’équation cartésienne : x − y + d = 0, où d désigne un réel. IV-2-a- Donner les coordonnées d’un vecteur normal au plan P2. IV-2-b- Soit J le point de coordonnées (−1/2 ; 5 /2 ; -5 ). Déterminer d pour que J appartienne au plan P2. Justifier la réponse. Les coordonnées de J vérifient l'équation cartésienne du plan P2. -1/2 -5/2 +d=0 ; d = 3. IV-3-a- Donner les coordonnées du vecteur CD. IV-3-b- Calculer les coordonnées du milieu K du segment [CD]. xK = (xC +xD) / 2  = 1  ; yK = (yC +yD) / 2 =1/2 ; zK = (zC +zD) / 2 = -9/2. IV-3-c- Soit P3 le plan passant par K et orthogonale à la droite (CD). Déterminer une équation cartésienne du plan P3. Justifier la réponse. Le plan P3 est orthogonal à la droite CD : 0x -y+z+d=0. Les coordonnées de K vérifient l'équation cartésienne du plan P3 :-1/2-9/2+d = 0 ; d = 5. -y +z+5=0. IV-4- Le but de cette question est de prouver que les plans P1, P2 et P3 ont comme seul point commun, le point E. IV-4-a- Justifier que les plans P2 et P3 sont sécants et que leur droite d’intersection est la droite D. Ces plans sont sécants car leurs vecteurs orthogonaux ne sont pas colinéaires. Equation paramétrique de la droite (D) : x = −3 + k ; y = k ; z = −5 + k , avec k réel. Equation cartésienne de P2 : x − y + 3= 0. -3+k -k+3 = 0 est vérifié ; tout point de la droite (D) appartient au plan P2. Equation cartésienne de P3 :-y +z+5=0. -k-5+k+5 = 0 est vérifié ; tout point de la droite (D) appartient au plan P3. IV-4-b- Montrer que la droite D coupe le plan P1 au point E. plan P1 d’´equation cartésienne : x + 2z + 7 = 0. Equation paramétrique de la droite (D) : x = −3 + k ; y = k ; z = −5 + k , avec k réel. -3+k-10+2k+7 = 0 ; 3 k =6 ; k=2. Le plan P1 et la droite (D) se coupent au point de coordonnées : (-1 ; 2 ; -3). Il s'agit du point E. IV-5-a- Donner les coordonnées des vecteurs suivants : IV-5-b- Donner les distances EA, EB, EC et ED. Détailler le calcul pour ED. EA = (12 +22 +22)½ =3 ; EB = ((-1)2 +22 +(-2)2)½ =3 ; EC = (22 +(-1)2 +(-2)2)½ =3 ; ED = (22 +22 +(-1)2)½ =3. IV-5-c- On en déduit que A, B, C et D appartiennent à une sphère S dont on précisera le centre et le rayon R. Justifier la réponse. EA =EB =EC =ED = 3. Le centre de la sphère est E et son rayon est égal R= 3. IV-5-d- Donner une équation cartésienne de la sphère S. (x-xE)2 +(y-yE)2 +(z-zE)2 = R2 ; (x+1)2 +(y-2)2 +(z+3)2 = 9.

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