Mathématiques, fonctions, nombres complexes, intégrales, concours Puissance 11. 2013

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Exercice 1. bases en analyse.
a. La  dérivée de f(x) = x  ex est f '(x) =  ex. Faux.
On pose u = x ; v =ex ; u' = 1 ; v' = ex.
u'v+v'u = ex+xex= (1+x) ex.
 b. Quand x tend vers l'infini, la limite de [ln(x) -1] / x est l'infini. Faux.
Par croissance comparée ln(x) / x tend vers 0 quand x tend vers l'infini.
c. Soit f une fonction définie sur R. Si f ' = f, alors f est la fonction nulle. Faux.
Si f = ex, alors f ' = ex.
d. Soit A et B deux évènements d’une même expérience aléatoire tels que P(A) = 0,2, P(B) = 0,5 et P(A∪B) = 0,7.
A et B sont incompatibles. Vrai.
P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A inter B) ; d'où P(A inter B) =0.

Exercice 2 . Bases de géométrie.
  Pour le a) et b), on se place dans le plan complexe d'origine O.
a. Si z = -6 [ cos ( (2p/3) + i sin ( 2p/3)}., alors arg z = 2p/3 ( 2p). Faux.
z / |z| = - cos ( (2p/3) - i sin ( 2p/3) ; arg z = 4p/3 ( 2p)
b. Si M est un point d’affixe z de partie imaginaire non nulle et M’ un point d’affixe z' égal au conjugué de z, alors M et M’ sont symétriques par rapport à O.. Faux.
M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des x.
Pour le c) et d), on se place dans le repère orthonormé de l'espace.
On pose (P1) et (P2) les plans d’équations respectives 4x + 6y – 10z + 3 = 0 et – 6x – 9y + 15z – 8 = 0.
Soit (d) la droite de représentation paramétrique x = 2t+1 ; y = -t+3 ; z = 5t-1 où t désigne un nombre réel.
c. (P1) et (P2) sont sécants. Faux.
Coordonnées d'un vecteur normal à (P1) : 4 ; 6 ; -10.
Coordonnées d'un vecteur normal à (P2) : -6 ; -9 ; 15.
Ces deux vecteurs sont colinéaires et les plans sont parallèles..
d. Le point A(2 ;3 ;-5) appartient à la droite (d). Faux.
xA = 2t+1=2 soit t =0,5 ; yA = -t+3 = 2,5 différent de 3.

Exercice 3. Lecture graphique.
On considère la représentation graphique (C) d’une fonction f définie sur R ainsi que la tangente à cette courbe au point A de coordonnées (0 ;1).

a. f '(0) = 1. Vrai.
La pente de la tangente à la courbe C en A est égale à 1.
b. f '(1) = 1,5). Faux.
La tangente à C est horizontale en B : f '(1) = 0.
c. L’équation f(x) = x possède une unique solution sur [−1,5 ;4]. Vrai.
x ~1,4
 d. L'aire hachurée est comprise entre 2 et 4 unités d'aire. Vrai.
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 Exercice 4. Volume d'un parallélépipède rectangle.
On veut réaliser, dans l'angle d'un plan de travail, un placard ayant la forme d'un parallélépipède rectangle. Pour des raisons pratiques, si sa largeur est x, sa profondeur est 12− x et la hauteur est égale à la profondeur.
On suppose  que x est compris entre 0 et 12 dm. (les dimensions sont exprimées en dm).
a. Le volume V(x) en dm3 de ce placard est égal à V(x)= (– 12x + x2) × (x – 12). Vrai.
V(x) = x (12-x)(12-x)=(– 12x + x2) × (x – 12).
On pose f(x) = x3-24x2+144x, définie sur [0 ; 12 ), de ccourbe représentative C.

b. Pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ;12], f’(x) ≥ 0. Faux.
f '(x) = 3x2-48x+144= 3(x2-16x+48)=3(x-4)(x-12).
f '(x) <0 pour x <4 ; f '(x) >0 pour x compris entre 4 et 12.
 c. V(x) = 2 × f(x). Faux.
V(x) = x (12-x)(12-x)=x(x2-24x+144)
d. Dans le cas particulier où le parallélépipède rectangle serait un cube, son volume serait compris entre 200 et 225 dm3.. Vrai.
x = 12-x ; x =6 ; V(x) = 63 =216 dm3.
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Exercice 5. Utilisation d'une suite dans un algorithme.
On considère la suite (un) définie sur N par u0 = 1 et, pour tout n entier naturel,un+1=0,5(un-n)-1.
On donne l’algorithme suivant :
 n est un entier naturel.
 u prend la valeur 1 ;
i prend la valeur 0.
 Tant que i < n
u prend la valeur 0,5(u-i)-1
i prend la valeur i + 1.
Fin Tant que.
 Afficher u.
a. Pour n=3, l'algorithme donne le tableau suivant.
n
 3
 3
 3
 3
u
 1
 -0,5
 -7/4
 -23/4 ( faux ) -23/8
i
 0
 1
 2
 3
b) Pour n = 3, l’algorithme calcule u3. Vrai.
On considère la suite (vn) définie sur N par vn = un + n.
c) La suite (vn) est une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme v0 = 1. Vrai.
vn+1=un+1 + n+1=0,5(un-n)-1+n+1=0,5 (un +n)=0,5 vn.
d) Pour tout n entier naturel un = 1/2n +n. Faux.
vn = un + n =0,5n ; un = 1/2n-n.

Exercice 6. Utilisation d'un algorithme avec les complexes.
Le plan complexe est muni du repère orthonormé direct. On donne l’algorithme suivant :
Entrée : q est un nombre réel.
a est un nombre réel.
b est un nombre réel.
a’ est un nombre réel.
b’ est un nombre réel.
Traitement : a’ prend la valeur a × cos(q).
a’ prend la valeur a’ - b × sin(q).
b’ prend la valeur a × sin(q).
b’ prend la valeur b’ + b × cos(q).
Sortie : Afficher a’.
Afficher b’.
Pour le a) et b) on suppose q = p /3, a = 1 et b = 1.
a. a' = (3½-1) / 2. Faux.
a' =a cos q - b sin q = cos p /3 -sin p /3 = (1-3½) / 2
b. b' = (3½+1) / 2. Vrai.
b' =a sin q + b cos q = sin p /3 +cos p /3 = (1+3½) / 2
Dans toute la suite on posera M le point d’affixe z = a + ib et M’ le point d’affixe z’ = a’ + ib’ avec a’ et b’ les deux nombres obtenus dans l'algorithme précédent.
 c : Si q = p /3, a = 1 et b = 1 alors |z'|=2½. Vrai.
 z'2=(1-3½)2 / 4+(1+3½)2 / 4=2
d : Dans le cas général où q est réel, z' =eiq z. Vrai.
z =  cos q + i sin q  = eiq;
z' = a' cos q + i b'sin q  =(a cos q - b sin q)cos q + i (a sin q + b cos q ) sin q ;
a = b = 1 : z'=( cos q + i  sin q )cos q +(-cosq+ i sin q ) sin q ;
z'=( cos q + i  sin q )cos q +i(sin q+ i cos q ) sin q ;
z'=  z cos q +i(cos q + i  sin q )sin q ;
z'=  z cos q +iz sin q  = z(cos q +i sin q) = eiq z.

 Exercice 7. Bases de logique.
Pour le a) et b) on suppose z un nombre complexe et G un sous ensemble de C.
  a. z diffère de 0 si et seulement si Re(z) diffère de 0 et Im(z) diffère de 0. Faux.
z=0 si et seulement si Re(z)=0 et Im(z)=0.
 z diffère de 0 si et seulement si Re(z) diffère de 0 ou Im(z) diffère de 0
b. La contraposée de « si z ∈ Γ alors Re(z) = 0 » est « si Re(z) = 0 alors z ∈ Γ ». Faux.
La contraposée est " Si Re(z) diffère de zéro, alors z n'appartient pas à G".
Pour le c) et d) on suppose f une fonction définie sur I = [−3 ;5]..
c. Si f (−3) < 0 et f(5) > 0 alors l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution sur I. Faux.
f peut ne pas être continue et ne couper en aucun point l'axe des abscisses.
d. Si f admet une primitive sur I = [−3 ;5] alors f est continue sur I = [−3 ;5].
f peut ne pas être continue et être intégrable ( fonction en escalier par exemple).









8. Calcul de limites
a. Quand x tend vers moins l'infini, la limite de ex est égale à -oo. Faux.
Quand x tend vers moins l'infini, la limite de ex est égale à zéro.
b. Quand x tend vers l'infini, ln(1 /x2) tens vers 0. Faux.
1 /x2 tend vers zéro par valeur positive et ln (1/x2) tend vers moins l'infini.
c. Si pour tout réel non nul, 1/x < f(x) < (x-1) / (x2+1), alors f(x) tend vers zéro si x tend vers l'infini. Vrai.
La limite de (x-1) / (x2+1)est égale à zéro quand x tend vers l'infini.
d.  Quand x tend vers p/2, la limite de [sin(x)-1]/ (x-p/2) est égale à 1. Faux.
Cette limite est nulle.

9. Calculs d'intégrales.




Exercice 10. Notions de base sur les nombres complexes.
On se place dans le plan complexe. On considère A le point d’affixe zA = −2i, B le point d’affixe zB = −2 et E le point d’affixe zE =2+2i x3½.
a. L’écriture trigonométrique de zE est 4(cos (p/3) + i sin (p/3)). Vrai.
Module de zE : [22+(2x3½)2]½=4.
zE / |zE|=0,5+i 3½/2 = cos (p/3) + i sin (p/3)
b. E est situé sur le cercle de centre O et de rayon R = 2.. Faux.
OE = 4.
c. L’ensemble des points M d’affixe z tels que |z+2i|=|2+z| est la médiatrice du segment [AB]. Vrai.
z = x+iy ; z+2i = x+i(y+2) ; |z+2i| = [x2+(y+2)2]½.
2+z=x+2+iy ; |2+z|=[y2+(x+2)2]½.
x2+(y+2)2=y2+(x+2)2 ; 2y+4=2x+4 soit y=x.

d. L’ensemble des points M d’affixe z tels que 2 fois z fois le conjugué de z  égal 1est un cercle de rayon 2. Faux.
2(x+iy)(x-iy)=2(x2+y2).=1 ; x2+y2.=1/2 ; cercle de rayon 1/2½.

Exercice 11. Nombres complexes et géométrie.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct. Soit f la transformation du plan complexe qui, à tout point M d’affixe z différent de 0, associe le point M’ d’affixe z' =1+i/z.
a. L’image par f du point A d’affixe zA = 1 + i est le point A’ d’affixe zA' =1,5 +0,5 i.Vrai.
zA' =1+i /(1+i)=1+i(1-i) / 2 = 1,5+0,5 i.
Dans toute la suite, on pose z = x + iy avec x non nul et y non nul et z’ = x’ + iy’ avec x’, y’ réels.
 b. Re(z') = x'=(x2+y2+y) / (x2+y2). Vrai.
z' = x'+iy' = 1+i / (x+iy) =1+i(x-iy) / (x2+y2) = 1+(y+ix) / (x2+y2)
c. Im(z') = y' = -x / (x2+y2) . Faux.
 Im(z') = y' = x / (x2+y2)
d. L’ensemble des points M d’affixe z non nul tel que z’ soit imaginaire pur est le cercle (C) de centre A(0 ; -0,5) et de rayon R=0,5 privé du point O. Vrai.
Re(z') = x'=(x2+y2+y) / (x2+y2) =0 ; x2+y2+y = 0 ; x2 +(y+0,5)2 =0,25.

Exercice 12. Etude  d'une fonction logarithme.
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = ln(1-x2) de courbe représentative (C ). On note D l’ensemble de définition de f.
a.1 – x2 > 0 si et seulement si –1 < x < 1. Vrai.
b. D=[-1 ; 1]. Faux.
D=]-1 ; 1 [.
c. La fonction f a pour fonction dérivée la fonction f’ définie sur D par1/(1-x2). Faux.
On pose u = 1-x2 ; u' = -2x ; f '(x) =u' / u = -2x / (1-x2).
d. L’équation f(x) = 1 a pour solutions (e-1)½ et -(e-1)½. Faux.
ln (e)=1 = ln(1-x2) ; e = 1-x2 ; x2 =1-e ; impossible un carré est toujours positif ; pas de solution dans R.

13. Etude d'une fonction exponentielle.
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = e2x / (x2+1)
On désigne par C sa représentation graphique dans un repère orthonormé du plan.
a. Quand x tend vers moins l'infini, f(x) tend vers -oo.. Faux.
Le numérateur e2x tend vers zéro ; (x2+1)  tend vers+oo et f(x) tend vers zéro.
b. Quand x tend vers plus l'infini, f(x) tend vers +oo.. Vrai.
Par croissance comparée de e2x et de x2, f(x) tend vers l'infini
 c. La fonction f a pour fonction dérivée la fonction f ’ définie sur R par 2(x2-x+1) / [e-x(x2+1)]2.Vrai.
On pose u = e2x et v = x2+1 ; u' = 2 e2x ; v' = 2x
f '(x) = (u'v-v'u) / v2= ( 2 e2x (x2+1)-2xe2x) / (x2+1)2=2e2x(x2+1-x)/ (x2+1)2.
d. f est croissante sur ]-oo ; 0] et décroissante sur [0 ; +oo[. Faux.
Le signe de f '(x) est celui de x2-x+1 ; f '(x) est positive sur R.


14. Bases en probabilités.
On considère, dans a), deux évènements E et F d’une même expérience aléatoire.

Pour le b), c) et d), nous utiliserons les hypothèses suivantes :
Une urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires. Un joueur tire au hasard une boule dans l’urne.
Si la boule est blanche, il lance un dé tétraédrique dont les faces numérotées de 1 à 4 ont la même probabilité d’apparition.
Si la boule est noire, il lance un jeton dont les faces numérotées de 1 à 2 ont la même probabilité d’apparition.
On considère les événements suivants :
G : « Le joueur obtient le numéro 1 », B : « Le joueur tire une boule blanche ».
b. P(B inter G) = 5 / 32. Vrai.
c. P(G) = 13 / 32. Faux.
d. PG(B) = 5 /11. Vrai.


15. Différentes lois de probabilités.
a. Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l’intervalle [0 ;5], .P(1< X < 2,5) =0,4. Faux.
.P(1< X < 2,5) =(2,5-1) / 5 = 1,5 /5 =0,3.
b. Soit Y une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre l > 0.
Pour tout c réel positif , P(Y >c) = e-lc. Vrai.
c. Soit T une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre l=0,1.
P(T< 10) = 1 -1/e. Vrai.
P(T< 10) = 1 -exp (-0,1 x10) = 1 -e-1.
d.Soit Z une variable aléatoire suivant une loi normale N(µ ; s2) et vérifiant P(0 < Z < 2)=0,75.
La loi de Z n’est pas la loi normale centrée réduite N(0 ; 1).Vrai.
Dans l'hypothèse d'une loi normale centrée réduite :
P(0 < Z < 2)=0,9772-0,5 =0,4772.

16. Géométrie dans l'espace.
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère le plan P d’équation cartésienne x + 2y + 3z – 2 = 0 et la droite (D) dont une représentation paramétrique est, pour tout réel t,
x=1+2t ; y =2-t ; z=-3-t.
a)Le point A(-1 ; 3 ; -2) appartient à (D). Vrai.
Dans cette hypothèse, les coordonnées de A doivent vérifier les équations paramétriques de (D).
-1 =1+2t soit t = -1 ; y =2-(-1)=3 = yA ; z =-3-(-1)=-2 = zA.
b) Le plan P et la droite D sont sécants au point B de coordonnées(-3 ; 4 ; -1).Vrai.
Dans cette hypothèse :
B appartient au plan P : x + 2y + 3z – 2 = -3 +2x4+3x(-1) -2 = 0 est vérifié.
B appartient à la droite (D) : -3 =1+2t soit t = -2 ; y =2-(-2) =4 = yB ; z = -3-(-2) =-1 = zB.
c) La droite (D’), de représentation paramétrique x=k ; y = -2k+1 ; z = k, pour tout réel k, est sécante au plan P. Faux.
x + 2y + 3z – 2 =k +2(-2k+1)+3k-2 = 0 est vérifié quel que soit k.
d) Les droites D et D’ sont coplanaires. Faux.
Coordonnées du vecteur directeur de (D) : 2 ; -1 ; -1.
Coordonnées du vecteur directeur de (D') : 1 ; -2 ; 1
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires : les droites ne sont pas parallèles.
Si les droites sont coplanaires, alors elles sont sécantes en un point E. Les coordonnées de E doivent vérifier les équations paramètriques de chaque droite.
1+2t = k ;  2-t=-2k+1 soit   2k =t-1 ;  3-t=k. Ces relations sont incompatibles.


  

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