Mathématiques,  concours Avenir 2013

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Simplifications d'écritures.
1. 0,5 ln(27)-2ln(3)+ln(3½) est :
a. nul.
Vrai.
b. strictement positif.
c. strictement négatif
d. aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte.

Une fonction paire est symétrique par rapport à l"axe des y ; une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

2. L'expression suivante est égale a :
Réponse b


3. (ln(3))2 -2 ln(3) est :
a : nul. . b : strictement négatif. Vrai. c : strictement positif. d :
aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte.
ln(3) (ln(3)-2) ; ln(3) est positif ; ln(3)-2 est négatif.


4. L'expression suivante est égale à :
Réponse b.
Continuité et dérivabilité. Soit f une fonction définie sur R.
5. f est continue   en -1 signifie que :
a : la limite de f(x), quand x tend vers -1, est un réel.
 b : la limite de f( x-1), quand x tend vers zéro, est un réel.
 c : la limite de  [f(-1+x) -f(-1) ] / x, quand x tend vers zéro, est un  réel.
d : aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte. Vrai.

La fonction f est continue en -1 signifie que la limite de f(x), quand x tend vers -1, est égale à (-1).

6. f est dérivable en -1 signifie :  :
a :
la limite de f(x), quand x tend vers -1, est un réel.
b : la limite de f( x-1), quand x tend vers zéro, est un réel.
 c :
la limite de  [f(-1+x) -f(-1) ] / x, quand x tend vers zéro, est un  réel. Vrai.
d : aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte.
f est dérivable en -1 signifie que la limite du taux d'accroissement en -1 est un réel.

Soit g une fonction définie sur [-1 ; 2 ] telle que g(-1)=2 ; g(0) = 1 ; g(1) = 0 et g(2)=-1.

7.
On est certain que sur [1 ; 2 ] :
a : g est strictement décroissante. b : g est strictement croissante.
c :g n'est pas strictement décroissante. d :  g n'est pas strictement croissante. Vrai.
On ignore ce qui se passe entre les valeurs proposées. On peut juste dire que g n'est pas strictement croissante.

8. On est certain que sur [1 ; 2 ], l'équation g(x) = 0,5 : :
a : n'admet pas de solution.
b : admet une uniqque solution..

c : admet au moins une solution.

d : aucune des trois propositions ci-dessus n'est correcte. Vrai.
On ignore si la fonction est continue. Le théorème des valeurs intermédiaires ne s'applique pas  et on ne peut pas connaître le nombre de solutions.

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Equations et inéquations.
9. 1 /x inférieur ou égal à 0,2 a pour soluion :

a : ]0 ; 5]. b : [5 ; +oo[ . c : ]-oo ; 5]. d : aucune des réponse précédentes. Vrai.
Si x est positif : x est supérieur ou égal à 5.
Si x est négatif, 1/x est toujours négatif, donc inférieur à 0,2.
Solutions : ]-oo ; 0[ union [5 ; +oo[.

10.
Le nombre de solutions de l'équation :ln(x2 )= -(ln(x))2 est :
a : 0.. b : 1. c :2. Vrai. d : aucune des réponse précédentes.
2 ln (x) +ln(x) ln(x) = 0 ;ln(x) (2 +ln(x)) = 0.
Solution x = 1 et x = e-2.

11. Le nombre de solutions de l'équation :(ln(x))2 = -(ln(x))2 est :
a : 0.. b : 1
Vrai. c :2.  d : aucune des réponse précédentes.
ln(x) ln (x) +ln(x) ln(x) = 0 ; 2ln(x)ln(x)  = 0.
Solution x = 1.


12.
Le nombre de solutions de l'inéquation exp(-x2) supérieur ou égal à 1 est :
a. infini. b. 0. c : 1. Vrai. d : aucune des réponse précédentes.
-x2 supérieur ou égal à 0 ; x2 inférieur ou égal à 0 ; x =0.


13. Le nombre de complexes distincts solutions de l'équattion : 2z2 -5z+3=0 est égal à :
a. 0. b.
1. c.  2. Vrai. d. aucune des solutions précédentes.
Discriminant D = (-5)2 -4 x3x2=25-24 = 1.
Solutions ; z1 = (5-1) / 2 = 2 ; z2 =(5+1) / 2 = 3.
Les réels font partie des complexes, il y a deux solutions complexes.

Implications et équivalences.
Dans les quatre items suivants, P1 et P2 sont deux propositions et a et b deux réels. De manière générale :
14. Si P1 : "a3 = b3" et P2 :"a=b" alors :
a. seule P1 implique P2 ; b. 
seule P2 implique P1 ; c. P1 et P2 sont équivalentes Vrai ; d.  aucune des réponses précédentes.
La fonction f(x) = x3 est strictement croissante.


15.  Si P1 :"ln(a) = ln(b)" et P2 : "ea = eb" alors :
a.
seule P1 implique P2 Vrai ; b.  seule P2 implique P1. c. P1 et P2 sont équivalentes ; d. aucune des propositions précédentes.
ln(a) = ln(b) implique ea = eb .
ea = eb implique ln(a) = ln(b) seulement si a et b sont positifs.

16 . Si P1 :"a2 = b" et P2 :"a = b½" alors :
 
a. seule P1 implique P2 ; b.  seule P2 implique P1 Vrai . c. P1 et P2 sont équivalentes ; d. aucune des propositions précédentes.
a2 = b donne a = ±b½.
a = b½ donne b = a2.

17. Si P1:"AB2=AC2+BC2" et P2 :"ABC est un triangle rectangle", alors :
 
a. seule P1 implique P2 Vrai ; b.  seule P2 implique P1 . c. P1 et P2 sont équivalentes ; d. aucune des propositions précédentes.
Il n'est pas précisé quel est l'angle droit dans le triangle rectangle ABC.










Interprétation graphique.
  Ci-dessous la parabole représentant la fonction f définie sur R.

Soient les suites (Un) et (Vn) définies, pour tout entier naturel n respectivement par : Un = f(n) et V0 = a ; Vn+1 = f(Vn) où a est un  réel.
18.  La tangente à la parabole au point d'abscisse 3 a pour équation :
a. x=6 ; b. y=6. Vrai. c. y = 6x-18.
d. Aucune des 3 réponses précédentes n'est exacte.
La tangente est horizontale ( y = 6) au point d'abscisse x = 3.

19. La dérivée est définie par f '(x) =  :
a. -4x /9 -4/3 ; b. -4x/9 +4/3 Vrai ; c. 4x/9 -4/3 ; d. 4x/9+4/3.
La dérivée doit s'annuler pour x = 3, être négative pour x >3 et positive pour x <3.

20. Quand x tend vers l'infini, la limite de f(x)-x est égale à :
a. -oo . Vrai; b. +oo ; c. 0 ; d. aucune des proposition proposée.
Equation de la parabole y  = -2x2 /9 +4x/3 +4.
Au voisinage de l'infini, f(x) -x est équivalent à -2x2/9.

21.
Réponse c.

22. La suite (Un) est :
a. minorée non majorée ; b. majorée non minorée vrai ; c. bornée ;
d. Aucune des trois propositions proposées n'est correcte.
La suite est majorée par u3 = 6.

23. Pour a = 1, V2 appartient à :
a.[0 ; 2] ; b. [2 ; 4] ; c. [4 ; 6 ] vrai ; d. Aucune des trois propositions proposées n'est correcte.
V0 = 1 ; V1 = f(1) ~5,11 ; V2 = f(5,11) ~5,0.

24. Pour a = -1, la suite (Vn) est :
a. constante ;
b. strictement décroissante ; c. strictement croissante ;
d. Aucune des trois propositions proposées n'est correcte. Vrai.
V0 = -1 ; V1 = f(-1) ~2,4; V2 = f(2,4) ~5,9 ; V3 = f(5,9) ~4,1.
La suite n'est pas monotone.

25. Pour a = -4, la suite (Vn) est :
a. convergente ; b. diverge vers -oo, vrai ; c. diverge vers +oo ; d. aucune des propositions précédentes.
V0 = -4 ; V1 = f(-4) ~-5; V2 = f(-5) ~ -8,2 ; V3 = f(-8,2) ~ -22.

Trigonométrie.
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x cos (x/3).

26. f est :
a.paire ; b. impaire Vrai; c. paire et impaire ; d. aucune des propositions précédentes.
La fonction cos (x/3) est paire; f(-x) = -x cos (-x/3) = -x cos (x/3) = -f(x)..

27. f est :
a. périodique de période 2p.
b. périodique de période 6p. Vrai.
c. périodique de période 2p/3.
d. aucune des propositions précédentes. Vrai.
cos (x+6p)/3)= cos (x/3 +2p) = cos (x/3).] de l'équation f(x) = 0 est :
Mais  (x+6p) cos(x/3) diffère de x cos (x/3) :  f n'est pas périodique.

28. Le nombre de solution sur [-2p ; +2p] de l'équation f(x) = 0 est :
a. 0 ; b. 1 ; c. 2 ; d. 3. Vrai.
x = 0 ; cos (x/3) = 0 = cos (±p/2) ; x/3 = ±p/2 ; x = ±3p/2.

29. Sur R la fonction f '(x) est définie par :
a.-x sin (x/3).
b. cos(x/3) +x sin (x/3).
c. cos (x/3)-x sin (x/3).
d. aucune des propositions précédentes. Vrai.
On pose u = x et v = cos(x/3) ; u'=1 ; v' = -1/3 sin (x/3).
u'v+v'u = cos(x/3) -x/3 sin (x/3).

30. Sur R la primitive F de f telle que F(0)=0 est définie par :
a. x2/2 sin (x/3).
b. 3x2/2 sin (x/3).
c. 9 cox (x/3) +3x sin (x/3).
d. aucune des propositions précédentes. Vrai.
Dériver chaque proposition :
(a) : x sin (x/3) + x2/6 cos (x/3).
(b) : 3x sin(x/3) +x2/2 cos (x/3).
(c) : -3sin (x/3) +3 sin(x/3) +x cos (x/3)= x cos (x/3).
F(0) = 9 cos (0) +3 x0 sin (0) = 9. La condition F(0) =0 n'est pas vérifiée.

31. Quand x  tend vers l'infini, la limite de f(x) est égale à :
a. 0.
b. -oo.
c. +oo.
d. aucune des propositions précédentes. Vrai.
La fonction n'a pas de limite : elle s'annule de manière périodique, admet des maximum de plus en plus grands et des minimum de plus en plus négatifs.

32. Quand x tend vers l'infini f(1/x) est égale à :
a. 0. Vrai.
b. -oo.
c. +oo.
d. aucune des propositions précédentes.
La limite de f(1/x) quand x  tend vers l'infini est égale à la limite de f(x) quand x tend vers zéro.


33. Sur R la primitive de f(x) entre -p et +p est :
a. nulle. Vrai.
b. strictement négative.
c. strictement positive.
d. aucune des propositions précédentes.



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