QCM mathématiques. Concours Advance 2013.

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1. Les raisonnements suivants sont corrects :
A. Tous les élèves s’appellent Bob. Or certains Bob ne sont pas doués. Donc certains élèves sont doués. Faux.
B. Tous les élèves doués s’appellent Bob. Or Bob n’est pas doué. Donc Bob n’est pas un élève. Faux.
C. La plupart des Bob ne sont pas doués. Or tous les élèves sont doués. Donc aucun élève ne s’appelle Bob. Faux.
D. La plupart des élèves s’appellent Bob. Or tous les Bob sont doués. Donc certains élèves sont doués. Vrai.
E. Bob est doué. Or tous les élèves sont doués. Donc Bob est un élève. Faux.
2. La fonction admet comme fonction dérivée sur son ensemble de définition :
A. f(x) = sin2x ; f '(x) = 2 cos x. Faux.
On pose u = sin x ; u' = cos x ; f '(x) = 2uu'=2sinx cos x = sin 2x.
B. f(x) = ln ( 1+x2) ; f '(x) =1 / (1+x2). Faux.
On pose u = 1+x2 ; u- = 2x ; f '(x) = u' / u = 2x /(1+x2).
C. f(x) = (1+x2)½ ; f '(x) =x / (1+x2)½. Vrai.
On pose u = 1+x2 ; u' = 2x ; f '(x) = 0,5 u'/u½ = =x / (1+x2)½.
D. f(x) = (x+3) / (x+5) ; f ' (x) = -2 / (x+5)2. Faux.
u=x+3 ; v =x+5 ; u'=1 ; v'=1 ; (u'v-v'u)/v2=(x+5-x-3) / (x+5)2=2 / (x+5)2.
E. f(x) = x ex ; f '(x) = (x+1)ex. Vrai.
u=x ; v=ex ; u'=1 ; v'=ex ; u'v+v'u=ex+xex.

3.
Sachant quepour tout t réel, 2t2-t-15=(2t+5)(t-3), on peut en déduire que l'équation d'inconnue x réel :
A. 2(lnx)3-lnx-15=0 admet exactement deux solutions.. Vrai.
En posant X = lnx soit x = eX, il vient 2X2-X-15=(2X+5)(X-3)=0
B. 2e4x-e2x-15=0 admet une unique solution. Vrai.
En posant X = e2x , il vient 2X2-X-15=(2X+5)(X-3)=0 ;
Or e2x est positif, d'où l'unique solution X = 3.
 C. ln(x-1)+ln(3x+2)=ln(x2+13)  admet une unique solution. Vrai.
ln[(x-1)(3x+2)] = ln(3x2-x-2)=ln(x2+13) ;
3x2-x-2=x2+13 ; 2x2-x-15=0 ; d'où x = -2,5 et x = 3.
Or x+1 doit être positif ; x = -2,5 ne convient pas.
D. 2(lnx)2-lnx-15=2(lnx-3) admet exactement 2 solutions. Vrai.
2(lnx)2-3lnx-9=0 ; on pose X = ln x :
2X2-3X-9=0 ; D = 9+72=81 ; X1 =(+3-9)/4=-1,5 ; X2 = (3+9)/4=3.
E. 2e2x-7ex+3=0 admet exactement deux solutions. Vrai.
On pose X = ex, positif.
2X2-7X+3=0 ; D = 49-24=25 ; X1 =(+7-5)/4=0,5 ; X2 = (7+5)/4=3.

4. Soit f la fonction définie et dérivable sur R par : f(x)=x3 /(1+x2). On note C sa courbe représentative.

Alors :
A. C est symétrique par rapport à O. Vrai. f(x)=-f(-x), fonction impaire..
B. Pour tout x réel,  f ' (−x) =  f '( x). Vrai.
On pose u = x3 et v = 1+x2 ; u'=3x2 ; v'=2x.
(u'v-v'u) / v2 = (3x2(1+x2)-2x4) / (1+x2)2 =(x4 +3x2) / (1+x2)2 .
C. Il existe un unique réel a tel que f '(a)=0 . Vrai.
D. f est strictement croissante sur R. Faux.
f ' est positive mais s'annule pour x =0.
E. Pour tout x appartenant à [0 , +oo[, f(x) est inférieure ou égale à x. Vrai.
f(x)-x = =x3 /(1+x2)-x=(x3 -x-x3) /(1+x2)= -x/(1+x2)
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5. . Soit la fonction définie sur ]0 ; +oo[ par f(x) = x½- lnx.

A. Pour tout x réel de cet intervalle f '(x) =x-½-1/x. Faux.
f '(x) =0,5x-½-1/x.
B. f '(4)=0. Vrai.
C. Pour tout x de ]0 ; +oo[ f(x) est positive. Vrai.
D. L'équation f(x)=x admet au moins une solution dans ]0 ; +oo[. Vrai.
E. La courbe de f admet une asymptote verticale. Vrai.
La droite d'équation x=0 est asymptote.
6. Soit f la fonction définie sur ]1 ; +oo[ par f(x) = ln((x+2) /(x+1)).

A. La courbe de f admet une asymptote horizontale. Vrai.
B. f ''(x)=1 /((x+1)(x+2). Faux.
On pose u = x+2 ; v = x+1 ;U = u /v ; u'=1 ; v'=1 ;
U' =( u'v-v'u)/v2 = (x+1-x-2)/(x+1)2 = -1/(x+1)2.
f '(x)=U' / U = -1/((x+2)(x+1)).
C. f est décroissante sur cet intervalle. Vrai.
f '(x) est négative.
D. f(1)-1 <0. Vrai.
E. Il existe x appartenant à ]0 ; 1[ tel que f(x)-x=0. Vrai.

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8. On place un capital qui produit des intérêts s’ajoutant, chaque année, au capital précédent. On suppose que le taux d’intérêt est de 10% et qu’on ne prend ni ne remet d’argent sur ce compte. un désigne la valeur du capital disponible au bout de n années.
On donne log 2 = 0,301 et log (1,1) = 0,041. Alors :
A. Pour tout n entier, un+1 = 0,1un. Faux.
Un+1 = 1,1 un.
B. u3 = u0+0,13u0. Faux.
u1 = 1,1 u0 ; u2 = 1,1 u1 = 1,12 u0 ; u3 = 1,1 u2 = 1,13 u0 .
C. un est croissante. Vrai.
D. Il faut 8 ans pour au moins doubler le capital. Vrai.
un = u0 x1,1n = 2u0 ; 1,1n = 2 ; n log1,1 = log2 ; n = 0,301 / 0,041 = 7,3  soit 8 ans.
E. Il faut 16 ans pour au moins quadrupler le capital. Faux.
un = u0 x1,1n = 4u0 ; 1,1n = 4 ; n log1,1 = log4=2 log2 ; n = 0,602 / 0,041 =14,7  soit 15 ans.









9. Pour toute suite réelle (un).
A. Si (un) n'est pas majorée alors un tend vers l'infini . Faux.
B. Si (un) est croissante et majorée par 1 alors un tend vers 1 si n tend vers l'infini. Faux.
C. Si la limite en l'infini de un est égale à l'infini, alors (un) est croissante à partir d'un certain rang. Faux.
D. Si la limite en l'infini de un est égale à 1, alors (un) est positive à partir d'un certain rang. Vrai.
E. Si la limite en l'infini de (un+un+1)/2 = 1, alors la limite en l'infini de un vaut 1. Faux.

10. Soit f la fonction définie et dérivable sur R par f(x) = xe-2x+3. On note C sa courbe représentative.

A. Lorsque x tend vers -oo, f(x) tend vers  -oo. Vrai.
B. Lorsque x tend vers l'infini, f(x) tend vers 3. Vrai.
e-2x tend rapidement vers zéro quand x devient grand.
C. f est croissante sur R. Faux.
On pose u =x et v = e-2x ; u'=1 et v'= -2e-2x ; u'v+v'u = e-2x-2xe-2x=e-2x(1-2x).
e-2x étant positif, f '(x) a le signe de 1-2x.
f est croissante sur ]-oo ; 0,5], passe par un maximum en x = 0,5, puis décroît ensuite.
D.  La tangente à C au point d'abscisse x=1 a pour équation y = 3-e-2 x. Faux.
Coefficient directeur de cette tangente : f '(1)= -e-2.
La tangente passe par le point de coordonnées (1 ; e-2+3 ).
e-2+3 = -e-2 + b soit b = 2e-2+3.
Equation de la tangente : y = -e-2x + 2e-2+3.
E. f '(0) f '(2) < 0. Vrai.
f '(0)=1 ; f ' (2)= -3.

11. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = sin2x+cosx.

A. Pour tout réel f(x)=f(x). Vrai.
sin2(x) = sin2(-x) et cos(-x) = cos(x). f est paire.
B. f est périodique de période p. Faux.
sin2x est périodique de période p, mais cosx est périodique de période 2p.
C. f est décroissante sur [p/3 ; p]. Vrai.
f '(x) = 2cos x sin x-sin x = sin x ( 2 cos x-1).
sur cet intervalle, sin x est positif et 2 cos x-1 est négatif, f '(x) est négative.
D. f est croissante sur [0 ; p/3]. Vrai.
sur cet intervalle, sin x est positif et 2 cos x-1 est positif, f '(x) est positive.
E. Pour tout x de [0 ; p], f(x) est inférieure ou égale à 1,25. Vrai.

12. Deux laboratoires proposent chacun leur vaccin contre la grippe. On sait qu’un quart de la population a utilisé le vaccin 1 et un sixième le vaccin 2. Il n’est pas possible pour un individu d’être vacciné deux fois. L’épidémie ayant eu lieu, on constate que 1% des malades ont utilisé le vaccin 1 et 0,6 % le vaccin 2. On choisit au hasard un individu dans la population, on note M = «l’individu est malade», I = «l’individu a reçu le vaccin 1»,
II = «l’individu a reçu le vaccin 2».
A. La probabilité qu'un individu soit vacciné est P(I) +P(II). Vrai.
B. Les données ne permettent pas  de calculer la probabilité d'être malade en étant pas vacciné par le vaccin 1. Vrai.
C. P(I) = 0,01. Faux. ( c'est 0,25)

13. Un forain possède deux roues séparées en 10 secteurs égaux. Sur la première roue, il y a 3 secteurs rouges et 7 blancs, sur la deuxième 1 vert et 9 blancs. Les gains, représentés par la variable aléatoire X, sont les suivants :
5 euros si les deux roues tombent sur rouge et vert
2 euros si une seule des deux roues tombe sur blanc
1 euro si les deux roues tombent sur blanc
Alors :
A. P(X=2) = 17 / 50. Vrai.
Probabilité d'obtenir un blanc sur la première roue et un vert sur la seconde : 0,7 x 0,1 = 0,07.
Probabilité d'obtenir un rouge sur la première roue et un blanc sur la seconde : 0,3 x 0,9 = 0,27.
P(X=2) = 0,07 +0,27 = 0,34 = 34 / 100 = 17 / 50.
B. P(X supérieur ou égal à 2) =37 / 50. Faux.
Probabilité de gagner 5 € = probabilité de tirer le rouge sur la première roue fois probabilité d'obtenir le vert sur la seconde = 0,3 x 0,1 = 0,03.
P(X supérieur ou égal à 2) =0,34 +0,03 = 0,37 = 37/100.
C. Si la mise est de 2 €, la probabilité que le joueur soit bénéficiaire est 3/10. Faux.
Etre bénéficiaire, c'est gagner 5 €. La probabilité est de 0,03.
D. Si la mise est de 2,5 euros alors le bénéfice moyen par partie du forain est supérieur à 1 euro. Vrai.
P(X=2) = 0,34 ; P(X=5)=0,03 ; P(X=1) = 0,7 x 0,9 =0,63.
Gain moyen  d'un joueur : 2x0,34 +0,03x5 +0,63 =1,46 €
Bénéfice moyen du forain : 2,5 -1,46 = 1,04 €.  
E. Si le forain veut un bénéfice moyen par partie d’au moins 60 centimes alors il doit demander une mise de 2 euros. Faux.
Gain moyen d'un joueur + bénéfice  du forain = 1,46 +0,6 =2,06.

14. Nombres complexes.


15. Soit le nombre complexe z = 1+i.


16.


  

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