Mathématiques, Brevet des collèges Métropole 2016

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Exercice 1. 
Une société commercialise des composants électroniques qu’elle fabrique dans deux usines. Lors d’un contrôle de qualité, 500 composants sont prélevés dans chaque usine et sont examinés pour déterminer s’ils sont « bons » ou « défectueux ». Résultats obtenus pour l’ensemble des 1 000 composants prélevés :
Usine A : 473 bons et 27 défectueux.
Usine B : 462 bons et 38 défectueux.
1. Si on prélève un composant au hasard parmi ceux provenant de l’usine A, quelle est la probabilité qu’il soit défectueux Nombre de composants défectueux / nombre total de composant =27 / 500 =0,054.
2. Si on prélève un composant au hasard parmi ceux qui sont défectueux, quelle est la probabilité qu’il provienne de l’usine A ?
Nombre de composants défectueux issus de A / Nombre total decomposants défectueux = 27 /(27+38)=0,4153 ~0,42.
3. Le contrôle est jugé satisfaisant si le pourcentage de composants défectueux est inférieur à 7% dans chaque usine. Ce contrôle est-il satisfaisant ?
Probabilité qu'un composant issu de A soit défectueux : 0,054 ( 5,4 %).
Probabilité qu'un composant issu de B soit défectueux :38 / 500 =  0,076 ( 7,6 %).
Le contrôle n'est pas jugé satisfaisant.
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Exercice 2.
On considère les deux programmes de calcul ci-dessous.
Programme A  : choisir un nombre. Multiplier par −2. Ajouter 13.
Programme B : choisir un nombre. Soustraire 7. Multiplier par 3.
1. Vérifier qu’en choisissant 2 au départ avec le programme A, on obtient 9.
2 x(-2) +13 = -4 +13 = 9.
2. Quel nombre faut-il choisir au départ avec le programme B pour obtenir 9 ?
On note x ce nombre : (x-7) *3 =9 ; 3x-21 = 9 ; 3x = 30 ; x = 10.
3. Peut-on trouver un nombre pour lequel les deux programmes de calcul donnent le même résultat ?
Soit x ce nombre : le programme A donne : -2x+13 ;
Le programe B donne : (x-7)*3= 3x-21
-2x+13 =  3x-21 ; 5x = 13+21 ; x = 34 /5 = 6,8.
 On peut trouver un nombre entier pour lequel les deux programmes donnent le même résultat.
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Exercice 3.
Trois figures codées sont données ci-dessous. Elles ne sont pas dessinées en vraie grandeur.
Pour chacune d’elles, déterminer la longueur AB au millimètre près.



Exercice 4.
Lors des soldes, un commerçant décide d’appliquer une réduction de 30% sur l’ensemble des articles de son magasin.
1. L’un des articles coûte 54 € avant la réduction. Calculer son prix après la réduction.
54 (1-0,3) = 54 x 0,7 = 37,8 €.
2. Le commerçant utilise la feuille de calcul ci-dessous pour calculer les prix des articles soldés .

A B C D E F
1 Prix avant réduction 12,00 14,80 33,00 44,20 85,50
2 Réduction de 30 % 3,60 4,44 9,90 13,26 25,65
3 Prix soldé




a. Pour calculer la réduction, quelle formule a-t-il pu saisir dans la cellule B2 avant de l’étirer sur la ligne 2 ?
=B1 *0,3
b. Pour obtenir le prix soldé, quelle formule peut-il saisir dans la cellule B3 avant de l’étirer sur la ligne 3 ?
=B1 *0,7 ou bien  =B1-B2.
3. Le prix soldé d’un article est 42,00 €. Quel était son prix initial ?
42,00 / 0,70 =60 €.


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Exercice 5.
La figure PRC ci-dessous représente un terrain appartenant à une commune.
Les points P, A et R sont alignés. Les points P, S et C sont alignés.
Il est prévu d’aménager sur ce terrain :
• une « zone de jeux pour enfants » sur la partie PAS ;
• un « skatepark » sur la partie RASC.
On connaît les dimensions suivantes : PA = 30 m; AR = 10 m; AS = 18 m.
1. La commune souhaite semer du gazon sur la « zone de jeux pour enfants ». Elle décide d’acheter des sacs de 5 kg de mélange de graines pour gazon à 13,90 € l’unité. Chaque sac permet de couvrir une surface d’environ 140 m2.
Quel budget doit prévoir cette commune pour pouvoir semer du gazon sur la totalité de la « zone de jeux pour enfants » ?

Aire de la zone de jeu ( triangle rectangle en A) : PA *AS / 2 = 30 x 18 /2 = 270 m2.
Nombre de sacs : 270 / 140 = 1,93 soit 2 sacs.
Coût : 2 x13,90 = 27,8 €.
2. Calculer l’aire du « skatepark »
Aire du triangle PRC rectangle en R : PR * RC / 2 = 40 x24 / 2 = 480 m2.
Aire du skatepark : 480 - 270 = 210 m2.

Exercice 6.
Avec des ficelles de 20 cm, on construit des polygones comme ci-dessous :

Partie 1 :
Dans cette partie, on découpe à l’étape 1 une ficelle pour que le «morceau n° 1 » mesure 8 cm.
1. Dessiner en grandeur réelle les deux polygones obtenus.
2. Calculer l’aire du carré obtenu.
Côté du carré : 8 / 4= 2 cm ; aire du carré : 2 x2 = 4 cm2.
3. Estimer l’aire du triangle équilatéral obtenu en mesurant sur le dessin.
Côté du triangle équilatéral : (20-8) / 3 = 4 cm.
Hauteur mesurée de ce triangle ~3,5 cm.
Aire du triangle : 4 x 3,5 / 2 = 7 cm2.
Partie 2 :
Dans cette partie, on cherche maintenant à étudier l’aire des deux polygones obtenus à l’étape 3 en fonction de la longueur du «morceau n° 1 ».
1. Proposer une formule qui permet de calculer l’aire du carré en fonction de la longueur du «morceau n° 1 ».
On note x la longueur du morceau n° 1. Côté du carré : x / 4 ; aire du carré : x2 / 16.
2. Sur le graphique ci-dessous :
• la courbe A représente la fonction qui donne l’aire du carré en fonction de la longueur du «morceau n° 1 » ;
• la courbe B représente la fonction qui donne l’aire du triangle équilatéral en fonction de la longueur du «morceau n° 1 ».
En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Aucune justification n’est attendue.
a. Quelle est la longueur du «morceau n°1 » qui permet d’obtenir un triangle équilatéral d’aire 14 cm2 ?
b. Quelle est la longueur du «morceau n° 1 » qui permet d’obtenir deux polygones d’aires égales ?


Exercice 7.
Antoine crée des objets de décoration avec des vases, des billes et de l’eau colorée.
Pour sa nouvelle création, il décide d’utiliser le vase et les billes ayant les caractéristiques suivantes :

Il met 150 billes dans le vase. Peut-il ajouter un litre d’eau colorée sans risquer le débordement ?
Dimensions intérieures du vase : 9-0,2-0,2 = 8,6 cm ; 21,7 -1,7 = 20 cm.
Volume du vase : aire du carré de base fois hauteur V = 8,6 x 8,6 x 20 =1479,2 cm3.
Volume d'une bille 4 / 3 p r3 = 4 /3 x 3,14 x 0,93 =3,054 cm3.
Volume de 150 billes : 150 x 3,054 = 458,04 cm3.
1479,2 -458,04 ~1021 cm3 ou 1,021 L.
En ajoutant 1 L d'eau colorée, il n'y a pas de débordement.



  

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