Mathématiques, Brevet des collèges Polynésie 2016

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Exercice 1. 
Le Solitaire est un jeu de hasard de la Française des Jeux. Le joueur achète un ticket au prix de 2 €, gratte la case argentée et découvre le «montant du gain ». Un ticket est gagnant si le «montant du gain » est supérieur ou égal à 2 €.
Les tickets de Solitaire sont fabriqués par lots de 750 000 tickets. Le tableau ci-contre donne la composition d’un lot.

1. Si on prélève un ticket au hasard dans un lot,
a. quelle est la probabilité d’obtenir un ticket gagnant dont le «montant du gain » est 4 € ?
83 000 / 750 000 = 0,11.
b. quelle est la probabilité d’obtenir un ticket gagnant ?
(750 000-532173-100 000 ) / 750 000 = 0,157 ~0,16.
c. expliquer pourquoi on a moins de 2% de chance d’obtenir un ticket dont le «montant du gain » est supérieur ou égal à 10 €.
(5400 +8150+400+15+2) / 750000 = 0,0186 <0,02 ( moins de 2%).
2. Tom dit : « Si j’avais assez d’argent, je pourrais acheter un lot complet de tickets Solitaire. Je deviendrais encore plus riche. » Expliquer si Tom a raison.
Dépenses : 750 000 x 2 = 1 500 000 €.
Gain :100 000 x2 +83 000 x4 +20 860 x 6+5400 x12 +8150x20 +400 x 150 +15 000 +30 000 =989 960 € .
Tom n'a pas raison.
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Exercice 2.
 Voici un programme de calcul :
• Choisir un nombre entier positif
• Ajouter 1
• Calculer le carré du résultat obtenu
• Enlever le carré du nombre de départ.
1. On applique ce programme de calcul au nombre 3. Montrer qu’on obtient 7.
3+1 = 4 ; 42 = 16 ; 16-9 = 7.
2. Voici deux affirmations :
Affirmation n° 1 : « Le chiffre des unités du résultat obtenu est 7 ».
Affirmation n° 2 : « Chaque résultat peut s’obtenir en ajoutant le nombre entier de départ et le nombre entier qui le suit ».
a. Vérifier que ces deux affirmations sont vraies pour les nombres 8 et 13.
8+1 = 9 ; 92 = 81 ; 81-82 = 81-64 =17 soit 8+9 = 17.
 13+1 = 14 ; 142 = 196 ; 196-132 = 193-169 =27soit 13+14 = 27.
b. Pour chacune de ces deux affirmations, expliquer si elle est vraie ou fausse quel que soit le nombre choisi au départ.
Le nombre choisi au départ est noté x : (x+1)2-x2 = (x+1-x)(x+1+x) = x+x+1.
L'affirmation 2 est vrai, quel que soit le nombre choisi au départ.
Si x = 4, on obtient 9. L'affirmation 1 est fausse.
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Exercice 3.
Dans la figure ci-dessous :
• ABE est un triangle ;  AB = 6 cm, AE = 8 cm et BE = 10 cm ;
• I et J sont les milieux respectifs des côtés [AB] et [AE] ;
• le cercle (C) passe par les points I, J et A.
1. Peut-on affirmer que les droites (IJ) et (BE) sont parallèles ?
2. Montrer que le triangle ABE est rectangle.
3. Quelle est la mesure de l’angle AEB ? On donnera une valeur approchée au degré près.

4. a. Justifier que le centre du cercle (C) est le milieu du segment [IJ].
Le triangle AIJ est rectangle en A et inscrit dans un cercle dont le diamètre est son hypothénuse IJ.
Le centre du cercle (C) est le milieu du segment [IJ].
b. Quelle est la mesure du rayon du cercle (C) ?
IJ = BE / 2 = 5 cm; rayon du cercle R = 2,5 cm.

Exercice 4.
Une association cycliste organise une journée de randonnée à vélo. Les participants ont le choix entre trois circuits de longueurs différentes : 42 km, 35 km et 27 km.
À l’arrivée, les organisateurs relèvent les temps de parcours des participants et calculent leurs vitesses moyennes. Ils regroupent les informations dans un tableau dont voici un extrait :

A B C D E F
1 Nom du sportif Alix David Gwenn Yassin Zoé
2 Distance parcourue (km) 35 42 27 35 42
3 Durée de la randonnée (h) 2 3 1,5 1,75 1,6
4 Vitesse moyenne ( km / h) 17,5



1. Quelle distance David a-t-il parcourue ? 42 km.
2. Calculer les vitesses moyennes de David et de Gwenn.
David : 42 / 3 = 14 km /h ; Gwenn : 27 /1,5 = 18 km/h.
3.a. Quel nombre doit-il saisir dans la cellule E3 pour renseigner le temps de Yassin ?
1 h 45 min soit 1 h +45 / 60 = 1 ,75 h.
b. Expliquer pourquoi il doit saisir 1,6 dans la cellule F3 pour renseigner le temps de Zoé.
1 h 36 min soit 1 h +36 / 60 = 1 ,6 h.
c. Quelle formule de tableur peut-il saisir dans la cellule B4 avant de l’étirer sur la ligne 4 ?
=B2/B3.
4. Les organisateurs ont oublié de noter la performance de Stefan.
Sa montre GPS indique qu’il a fait le circuit de 35 km à la vitesse moyenne de 25 km/h.
Combien de temps a-t-il mis pour faire sa randonnée ? On exprimera la durée de la randonnée en heures et minutes.
durée = distance (km) / vitesse ( km /h) =35 / 25 =1, 4 h soit 1 heure et 0,4 x60 =24 minutes  ( 1h24min).


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Exercice 5.
On découpe la pyramide FIJK dans le cube ABCDEFGH comme le montre le dessin ci-dessous.
Le segment [AB] mesure 6 cm. Les points I, J, et K sont les milieux respectifs des arêtes [FE], [FB] et [FG].
1. Tracer le triangle IFK en vraie grandeur.
2. Un des quatre schémas ci-dessous correspond au patron de la pyramide FIIK. Indiquer son numéro sur la copie.
Le patron est constitué de 3 triangles rectangles de même sommet F et d'un triangle équilatéral.

3. Calculer le volume de la pyramide FIJK.
Aire de la base KFJ( triangle rectanble isocèle) = A=3 x3 /2 = 4,5 cm2. Hauteur IF = 3 cm.
Volume de la pyramide : aire de base fois hauteur / 3 = 4,5 x3 / 3 = 4,5 cm3.

Exercice 6.
M. Durand doit changer de voiture. Il choisit un modèle PRIMA qui existe en deux versions : ESSENCE ou DIESEL.
 Il dispose des informations suivantes :
Modèle essence : consommation moyenne 6,2 L aux 100 km ; prix d'achat : 21 550 €. Prix d'un litre de carburant : 1,415 €
Modèle Diesel : consommation moyenne 5,2 L aux 100 km ; prix d'achat : 23 950 €. Prix d'un litre de carburant : 1,224 €
Durant les dernières années, M. Durand a parcouru en moyenne 22 300 kmpar an.
Pour choisir entre les deux modèles,il décide de réaliser le tableau comparatif ci-dessous, établi pour 22 300 kmparcourus en un an.
1. Recopier et compléter le tableau en écrivant les calculs effectués.

 Version essence Version Diesel
Consommation de carburant ( L) 1383 223 x5,2 =1159,6
Budget carburant (€) 1957 223 x1,224 x5,2 =1419,35 €
2. M. Durand choisit finalement la version DIESEL.
En considérant qu’il parcourt 22 300 km tous les ans et que le prix du carburant ne varie pas, dans combien d’années l’économie réalisée sur le carburant compensera-t-elle la différence de prix d’achat entre les deux versions ?
Différence des prix d'achat : 23950-21550=2400 €.
Diffréence annuelle  du carburant : 1957-1419,35 =537,65 €.
Nombre d'année : 2400 / 537,65 = 4,46 ( 5 ans ).


Exercice 7.
Les continents occupent 5 /17 de la superficie totale de la Terre.
1. L’océan Pacifique recouvre la moitié de la superficie restante. Quelle fraction de la superficie totale de la Terre occupe-t-il ?
Les océans occupent 12 / 17 de la surface de laterre.
L'océan Pacifique en occupe   6 /17 de lasurface de la terre.
2. Sachant que la superficie de l’océan Pacifique est de 180 000 000 km2, déterminer la superficie de la Terre.
180 000 000 x17 / 6 = 510 000 000 km2.



  

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