Mathématiques, Brevet des collèges Asie 2015

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Exercice 1. 
Cet exercice est un QCM(questionnaire à choix multiples). Pour chaque ligne du tableau, une seule affirmation est juste.
Sur votre copie, indiquer le numéro de la question et recopier l’affirmation juste. On ne demande pas de justifier.

Questions
 A
 B
 C
1
 L’écriture en notation scientifique
du nombre 587 000 000 est :
 5,87 x10-8 Faux
 587 x 106 Faux
 5,87 108 Vrai.
2
 Si on développe et réduit l’expression
 (x + 2)(3x − 1) on obtient :
 3x2+5x-2
 Vrai
 3x2+6x+2
Faux
 3x2-1 Faux
3
 Dans un parking il y a des motos et des voitures.
 On compte 28 véhicules et 80
roues. Il y a donc :
x voitures et y motos.
x+y = 28 ou 2x +2y = 56
4x +2y =80
Soustraire : 2x =24 ; x = 12
 20 voitures
Faux
 16 voitures Faux
 12 voitures
Vrai
4
 .Le produit de 18 facteurs
égaux à −8 s’écrit :
 -818 Faux
 (-8)18 Vrai
 18 x(-8)
Faux
5
 La section d’un cylindre de
révolution de diamètre 4 cm
et de hauteur 10 cm par
un plan parallèle à son axe
peut être :
 un rectangle
de
dimensions
3 cm et 10 cm
Vrai
 un rectangle
de
dimensions
5 cm et 10 cm
Faux 		un rectangle
de
dimensions
3 cm et 8 cm
Faux

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Exercice 2.
Julien est en retard pour aller rejoindre ses amis au terrain de basket.
Il décide alors de traverser imprudemment la route du point J au point F sans utiliser les passages piétons. Le passage piéton est supposé perpendiculaire au trottoir.

En moyenne, un piéton met 9 secondes pour parcourir 10 mètres.
Combien de temps Julien a-t-il gagné en traversant sans utiliser le passage piéton ?
JF2 = FK2 +JK2 = 82 +152 = 64 +225 = 289 ; JF = 17 m.
Durée du parcours JF : 17 x 9 /10 =15,3 s.
Durée du parcours JK + KF  : 23 / 10 x 9 =20,7 s ; gain : 20,7-15,3 =   5,4 s.
...




Exercice 3.
Un bus transporte des élèves pour une compétition multisports. Il y a là 10 joueurs de ping-pong, 12 coureurs de fond et 18 gymnastes. Lors d’un arrêt, ils sortent du bus en désordre.
1. Quelle est la probabilité que le premier sportif à sortir du bus soit un joueur de ping-pong ?
Nombre de cas favorables : 10 ; nombre total de joueur : 40.
Probabilité que le premier sortant joue au ping-pong : 10 / 40 = 0,25.
2. Quelle est la probabilité que le premier sportif à sortir du bus soit un coureur ou un gymnaste ?
Nombre de cas favorables : 30 ; nombre total de joueur : 40.
Probabilité que le premier sortantsoit un coureur ou un gymnaste : 30 / 40 = 0,75.
3. Après cet arrêt, ils remontent dans le bus et ils accueillent un groupe de nageurs.
Sachant que la probabilité que ce soit un nageur qui descende du bus en premier est de 1/5, déterminer le nombre de nageurs présents dans le bus.
Soit x le nombre de nageurs.
 Nombre total d'élèves : 40 +x ; nombre de cas favorables : x.
x / (40+x) = 1 / 5 = 0,2 ; x = 0,2 (40 +x) = 8 +0,2 x ; 0,8 x = 8 ; x = 10.

Exercice 4.
À la fin d’une fête de village, tous les enfants présents se partagent équitablement les 397 ballons de baudruche qui ont servi à la décoration. Il reste alors 37 ballons.
L’année suivante, les mêmes enfants se partagent les 598 ballons utilisés cette année là. Il en reste alors 13. Combien d’enfants, au maximum, étaient présents ?
Soit N le nombre d'enfants : 397-37 = 360 est un multiple entier de N.
598-13 = 585 est un multiple entier de N.
360 = 23x 32 x5.
585 = 32 x 5 x 13.
PGCD de 360 et 585 : 32 x 5 =45.


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Exercice 5.
Un bateau se trouve à une distance d de la plage.Supposons dans tout le problème que a= 45°,ß = 65° et que L =BC= 80m.
1. Conjecturons la distance d à l’aide d’une construction
Mise au point par Thalès (600 avant JC), la méthode dite de TRIANGULATION propose une solution pour estimer la distance d.
a. Faire un schéma à l’échelle 1/1 000 (1 cm pour 10 m).
b. Conjecturer en mesurant sur le schéma la distance d séparant le bateau de la côte.

2. Déterminons la distance d par le calcul.
a. Expliquer pourquoi la mesure de l’angle ACB est de 70°.
La somme des angles d'un triangle est égale à 180 ° : 180-45-65 = 70°.
b. Dans tout triangle ABC, on a la relation ci-dessus appelée « loi des sinus » :
En utilisant cette formule, calculer la longueur BC. Arrondir au cm près.
c. En déduire la longueur CH arrondie au cm près.
sin ß =CH / BC ; CH = BC sin ß = 60,2 x sin 65 = 54,56 m.

Exercice 6.
Soient les fonctions f , g et h définies par :
f (x) = 6x ;  g (x)= 3x2 −9x −7 et h(x) = 5x −7.
À l’aide d’un tableur, Pauline a construit un tableau de valeurs de ces fonctions.
Elle a étiré vers la droite les formules qu’elle avait saisies dans les cellules B2, B3 et B4.
B3
 =3*B1*B1-9*B1-7

A
 B
 C
 D
 E
 F
 G
 H
1
 x
 -3
 -2
 -1
 0
 1
 2
 3
2
 f(x)=6x
 -18
 -12
 -6
 0
 6
 12
 18
3
 g(x) =3x2-9x-7
 47
 23
 5
 -7
 -13

 -13
 -7
4
 h(x)=5x-7
 -22
 -17
 -12
 -7
 -2
 3
 8
1. Utiliser le tableur pour déterminer la valeur de h(−2).
h(-2) = -17.
2. Écrire les calculs montrant que : g (−3) = 47.
3*(-3)*(-3) -9*(-3)-7=3*9+27-7=47
3. Faire une phrase avec lemot « antécédent » ou le mot « image » pour traduire l’égalité g (−3) = 47.
L'image de (-3) par la fonction g est 47 ; l'antécédent de 47 par la fonction g est (-3).
4. Quelle formule Pauline a-t-elle saisie dans la cellule B4 ?
= 5 *B1 -7
5. a. Déduire du tableau ci-dessus une solution de l’équation : 3x2−9x −7 = 5x −7.
x=0.
b. Cette équation a-t-elle une autre solution que celle trouvée grâce au tableur ? Justifier la réponse.
3x2−9x −7 -( 5x −7)=0 ; 3x2−9x-5x=0 ; x(3x-14)=0 ; solution x = 0 et x = 14 / 3.


Exercice 7.
Un aquarium a la forme d’une sphère de 10 cm de rayon, coupée en sa partie haute : c’est une « calotte sphérique ».
La hauteur totale de l’aquarium est 18 cm.
1. Le volume d’une calotte sphérique est donné par la formule : V = p / 3  h2 (3r-h).
où r est le rayon de la sphère et h est la hauteur de la calotte sphérique.
a. Prouver que la valeur exacte du volume en cm3 de l’aquarium est 1296 p.
V = p / 3 x 182(3x10-18)=1296 p.
b. Donner la valeur approchée du volume de l’aquariumau litre près.
1296 x3,14 ~ 4071 cm3 ~ 4 L.
2. On remplit cet aquarium à ras bord, puis on verse la totalité de son contenu dans un autre aquarium parallélépipédique. La base du nouvel aquarium est un rectangle de 15 cm par 20 cm.
Déterminer la hauteur atteinte par l’eau (on arrondira au cm).
15 x 20 x h = 4071 ; h = 4071 /(15 x  20) = 13,57 ~14 cm.


  

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