Mathématiques, Brevet des collèges Amérique du nord 2014

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Exercice 1.  QCM
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Exercice 2. QCM
Pour amortir les chocs contre les autres embarcations ou le quai, les péniches sont équipées de « boudins » de protection. Calculer le volume exact en cm3 du «boudin»de protection ci-dessous, puis arrondir au centième.

Volume du cylindre  : pr2h = p 82 x50 =3200 p cm3.
Volume de la sphère : 4 / 3 pr3 =4 / 3 p 83 =2048 / 3 p cm3.
Total : (3200 x3 +2048) / 3 p=11648 / 3 p~12 197,76 cm3.




Exercice 3.
1. La longueur du Canal du Midi est de 240 km de Toulouse à l’étang de Thau et la vitesse des embarcations y est limitée à 8 km/h. Combien de temps, au moins, faut-il pour effectuer ce trajet en péniche sans faire de pause ?
240 / 8 = 30 heures.
2. On assimilera une écluse à un pavé droit de 8,4 m de large, de 30 m de long et de 3m de hauteur.
Calculer le volume de cette écluse.
8,4 x30 x3 =756 m3.
3. Le prix hebdomadaire de la location d’un bateau à moteur dépend de la période.
Il est de 882 € du 01/01/2014 au 28/04/2014.
Il augmente de 27% pour la période du 29/04/2014 au 12/05/2014.
Calculer le prix de la location pour cette période.
882 x1,27 =1120,14 €.
Exercice 4.
Durant un parcours sur le Canal du Midi partant de l’écluse de Renneville jusqu’à l’écluse de Gay, on a relevé les hauteurs de chaque écluse franchie depuis le départ dans une feuille de calcul.
Les hauteurs franchies de manière ascendante sont notées positivement, celles de manière descendante négativement.

A
 B
 C
 D
 E
 F
 G
 H
 I
 J
 K
 L
 M
1
 écluse
 Renneville
 Encasan
 Embrel
 Bord
 Méditeranée
 Roc
 Laurens
 Domergue
 Planque
 St Roch
 Gay
2












3
 hauteur (m)
 2,44
 4,85
 3,08
 2,62
 -2,58
 -5,58
 -6,78
 -2,24
 -2,63
 -9,42
 -5,23
1. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule M3 pour obtenir la valeur du dénivelé du parcours ?
=SOMME(B3:L3)
2. Quelle est la valeur du dénivelé du parcours ?
2,44 +4,85 +3,08 +2,62 -2,58 -5,58 -6,78 -2,24 -2,63 -9,42 -5,23= -21,47 m.
3. Le parcours est-il, globalement, ascendant ou descendant ?
De Renneville à Bord, le parcours est ascendant, puis descendant par la suite.
Le dénivellé étant négatif, le parcours est globalement descendant.


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Exercice 5.
Pour une bonne partie de pêche au bord du canal, il faut un siège pliant adapté ! Nicolas est de taille moyenne et pour être bien assis, il est nécessaire que la hauteur de l’assise du siège soit comprise entre 44 cm et 46 cm. La hauteur de ce siège lui est-elle adaptée ?

H2 = AE2 -AC2 = 562 -342 =1980  ; H = 44,5 cm, valeur comprise entre 44 et 46 cm. Le siège est bien  adapté.

Exercice 6.
Pendant le remplissage d’une écluse, Jules et Paul, à bord de leur péniche, patientent en jouant aux dés. Ces dès sont équilibrés.
1. Est-ce que, lors du jet d’un dé, la probabilité d’obtenir un « 1 » est la même que celle d’obtenir un « 5 » ? Expliquer.
Oui, la probabilité d'obtenir 1 est égale à celle d'obtenir 5, c'est à dire 1 /6, si le dé n'est pas truqué.
2. Jules lance en même temps un dé rouge et un dé jaune. Par exemple il peut obtenir 3 au dé rouge et 4 au dé jaune, c’est l’une des issues possibles. Expliquer pourquoi le nombre d’issues possibles quand il lance ses deux dés est de 36.
Chaque dé comporte 6 faces. Lors du lancer de deux dés, il y a 6 x6 = 36 issues possibles.
Jules propose à Paul de jouer avec ces deux dés (un jaune et un rouge), Il lui explique la règle :
- Le gagnant est le premier à remporter un total de 1000 points.
- Si, lors d’un lancer, un joueur fait deux « 1 », c’est-à-dire une paire* de « 1 », il remporte 1 000 points (et donc la partie).
- Si un joueur obtient une paire de 2, il obtient 100 fois la valeur du 2, soit 2×100 = 200 points.
- De même, si un joueur obtient une paire de 3 ou de 4 ou de 5 ou 6, il obtient 100 fois la valeur du dé soit 3×100 = 300, ou . . .
- Si un joueur obtient un résultat autre qu’une paire (exemple 3 sur le dé jaune et 5 sur le dé rouge), il obtient 50 points.
* On appelle une paire de 1 quand on obtient deux 1, une paire de 2 quand on obtient deux 2 . . .
3. Paul a déjà fait 2 lancers et a obtenu 650 points.
Quelle est la probabilité qu’il gagne la partie à son troisième lancer ?
Il doit marquer au moins 350 points.
Soit une paire de 1, une paire de  4, une paire de 5 ou une paire de 6.
Probabilité d'obtenir une paire de chiffres ; 1 / 36.
Probabilité de gagner : 1 /36 +1/36 +1/36 +1/36= 4 /36 = 1/9.


Exercice 7.
On étudie plus précisément le remplissage d’une écluse pour faire passer une péniche de l’amont vers l’aval.
Principe : Il s’agit de faire monter le niveau de l’eau dans l’écluse jusqu’au niveau du canal en amont afin que l’on puisse ensuite faire passer la péniche dans l’écluse.
Ensuite, l’écluse se vide et le niveau descend à celui du canal en aval. La péniche peut sortir de l’écluse et poursuivre dans le canal en aval.
h = 4,3 m ; x = 1,8 m.
La vitesse de l’eau s’écoulant par la vantelle (vanne) est donnée par la formule suivante v = racine carrée ( 2g(h-x)).

où g = 9,81 (accélération en mètre par seconde au carré noté m.s−2) et v est la vitesse (en mètre par seconde noté m.s−1)
1. Calculer l’arrondi à l’unité de la vitesse de l’eau s’écoulant par la vantelle à l’instant de son ouverture. (On considère l’ouverture comme étant instantanée).
v = raccine carré (2 x9,81 (4,3-1,8)) = 7,0 m s-1.
2. Pour quelle valeur de x, la vitesse d’écoulement de l’eau sera-t-elle nulle ? Qu’en déduit-on pour le niveau de l’eau dans l’écluse dans ce cas ?
Le niveau de l'eau dans l'écluse est égal  au niveau de l'eau en amont soit x = h = 4,3 m.
3. Le graphique donné représente la vitesse d’écoulement de l’eau par la vantelle en fonction du niveau x de l’eau dans l’écluse.
Déterminer, par lecture graphique, la vitesse d’écoulement lorsque la hauteur de l’eau dans l’écluse est de 3,4 m.

Exercice 8.
Le débit moyen q d’un fluide dépend de la vitesse moyenne v du fluide et de l’aire de la section d’écoulement d’aire S. Il est donné par la formule suivante :
q = S ×v
où q est exprimé en m3.s−1 ; S est exprimé en m2 ; v est exprimé en m.s−1.
Pour cette partie, on considérera que la vitesse moyenne d’écoulement de l’eau à travers la vantelle durant le remplissage est v = 2,8 m.s−1.
La vantelle a la forme d’un disque de rayon R = 30 cm.
1. Quelle est l’aire exacte, en m2, de la vantelle ?
S =pR2 = 0,32p = 0,09 p m2.
2. Déterminer le débit moyen arrondi au millième de cette vantelle durant le remplissage.
q = S v = 0,09 x3,141 x2,8 =0,792 m3 s-1.
3. Pendant combien de secondes, faudra-t-il patienter pour le remplissage d’une écluse de capacité 756 m3 ? Est-ce qu’on attendra plus de 15 minutes ?
756 /0,792 ~955 s ou 15 min 55 s, valeur supérieure à 15 min.

Exercice 9.
Certaines écluses ont des portes dites « busquées » qui forment un angle pointé vers l’amont de manière à résister à la pression de l’eau,
En vous appuyant sur le schéma ci-dessus, déterminer la longueur des portes au cm près.

sin 55 = AH / AP ; AP = AH / sin 55 = 2,9 / 0,81915 ~3,54 m.


  

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