Mathématiques,
bac
Sti2d Stl Nlle Calédonie 2017.
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Exercice 1 4 points.
1. Une primitive de
f définie pour x > 0 par f (x) = 3x +2 / x est la fonction F telle
que :
a. F(x) = 3x2
+ln (x2).
b. F(x) = 1,5 x2
+2 ln(x). Vrai, en dérivant on
trouve 3x +2 / x = f(x).
c. F(x) = 3 -2 /x2.
d. F(x) = 6x-2
ln(x).
2.
ln(128) est égal à :
a. ln2 + ln7.
b. 7 ln 2. Vrai, 128 = 27; ln 27
= 7 ln2.
4 cellules sont connectées en série.
c. 2 ln 14.
d. ln 120 + ln 8.
3. On considère le
nombre complexe z = 2ei p/3
où i est le nombre complexe de module 1 et d’argument
½p. Le cube de z
est égal à :
a. 6i.
b. -8. Vrai. z3 = 23 eip
=8(cosp+isinp)=-8.
c. 8.
d. -8i
4. L’équation e2x
= 3 admet comme solution dans R :
a. 1,5.
b. 0,5 ln 3. Vrai. 2x = ln 3 ; x = 0,5 ln 3.
c. 1,5 e.
d. ln 9.
Exercice 2. 6
points.
Un kiosque numérique propose des magazines consultables sur tablette.
Il avait 4 000 abonnés lors de son lancement.
Une étude commerciale montre que chaque année le taux de réabonnement
est voisin de 70% et que le nombre de nouveaux abonnés est d’environ 6
000.
1. Déterminer le
nombre d’abonnés une année après le lancement.
4000 x0,7 + 6000 = 8800.
2. Déterminer
demême le nombre d’abonnés deux années après le lancement.
8800 x0,7 + 6000 = 12160.
3. On considère
l’algorithme suivant :
Variables : n est un entier naturel.
u est un réel.
Initialisation : Affecter à u la valeur 4 000
Affecter à n la valeur 0
Traitement : Tant que n < 2
u prend la valeur 0,7 u+6000
n prend la valeur n +1
Sortie : Afficher u.
Quel est le résultat affiché par cet algorithme ? 12160.
4. Modifier
l’algorithme pour afficher le nombre d’années à partir duquel il y aura
plus de 15 000 abonnés.
Variables : n est un entier naturel.
u est un réel.
Initialisation : Affecter à u la valeur 4 000
Affecter à n la valeur 0
Traitement : Tant que u < 15000
u prend la valeur 0,7 u+6000
n prend la valeur n +1
Sortie : Afficher n.
5. Soit la suite (an)
définie par : a0 = 4 et pour tout n > 0, an+1
=0,7 an +6.
Quel lien peut-on établir entre cette suite et le nombre d’abonnés au
kiosque numérique ?
an = un /1000 ( nombre d'abonnés divisé par 1000).
6. Soit (bn)
la suite définie pour tout entier n par : bn = 20−an.
On admet que la suite (bn) est une suite géométrique de
raison 0,7
Exprimer an en fonction de n.
b0=20-a0=20-4=16.
bn =16 x0,7n ; an = 20-bn =20- 16 x0,7n .
7.
D’après ce modèle peut-on envisager de dépasser les 30 000 abonnés ?
Expliquer la démarche suivie.
-1 < 0,7 <1 ; 0,7n tend vers zéro si n tend vers
l'infini.
Par conséquent an tend vers 20 quand n tend vers l'infini.
an ne peut pas dépasser 30 ; le nombre d'abonnés ne peut
dépasser 30 000 avec ce modèle.
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Exercice
3. 5 points
Marie a invité quelques amis pour le thé. Elle souhaite leur proposer
ses macarons maison.
Elle les sort de son congélateur à −18 °C et les place dans une pièce à
20 °C.
Au bout de 15 minutes, la température des macarons est de 1 °C.
Premier modèle.
On suppose que la vitesse de décongélation est constante : chaque
minute la hausse de température des macarons est la même.
Estimer dans ce cadre la température au bout de 30 minutes, puis au
bout de 45 minutes.
Cette modélisation est-elle pertinente?
Au bout de 15 minutes la température des macarons a augmenté de 19°C.
Au bout de 30 minutes cette température a augmenté de 38°C et atteint
la valeur -18 +38 = 20°C.
Ensuite la température des macarons reste égale à celle de la pièce.
Ce modèle n'est pas pertinent.
Deuxième modèle.
On suppose maintenant que la vitesse de décongélation est
proportionnelle à la différence de température entre les macarons et
l’air ambiant (il s’agit de la loi de Newton).
On désigne par q
la température des macarons à l’instant t , et par q′ la vitesse de
décongélation.
L’unité de temps est la minute et l’unité de température le degré
Celsius.
On négligera la diminution de température de la pièce et on admettra
donc qu’il existe un nombre réel a tel que, pour t positif :
q′(t
)= a[q(t )−20] (E)
1. Vérifier que
l’équation (E) s’écrit également :q′−aq = −20a.
Donner alors, en fonction de a, l’ensemble des solutions de (E).
q′(t
)- a[q(t )−20]=0 ;
q′(t )- a[q(t ) = -20 a.
Solution générale de l'équation sans second membre : q = A eat,
avec A une constante.
Solution particulière de (E) : q
= 20.
Solution générale de (E) : q = A eat
+20.
A t=0, q = -18
; -18 = A +20 ; A = -38.
q = -38eat+20.
On
rappelle que la température des macarons à l’instant t = 0 est égale à
−18°C et que, au bout de
15 min, elle est de 1°C.
2. Montrer que
pour t positif : q(t
) = 20−38e− t ln2 /15.
A t = 15
min, q = 1°C : 1
= -38 e15a +20 ; 38e15a = 19 ; e15a =
0,5 ; a =ln(0,5)/15 = -ln2./15
q = -38e-t ln2 /15+20.
3.
La température idéale de dégustation des macarons étant de 15 °C, Marie
estime que celle-ci sera atteinte au bout de 30 min. A-t-elle raison?
Justifier la réponse. Sinon, combien de temps faudra-t-il attendre?
15 = 20 -38e-tln2 /15 ; 5 = 38e-tln2
/15 ; 5 / 38 = e-tln2 /15 ;
ln(5 / 38) = -t ln2 / 15 ; t = -15 ln(5/38) / ln2 ~43,9 min.
Marie a tord.
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Exercice
4. 5 points
Dans un élevage de poulets fermiers, les volailles sont commercialisées
après 90 jours d’élevage.
Un poulet de 90 jours sera dit conforme si sa masse est comprise entre
2,8 kg et 3,2 kg.
1. L’avicultrice a
constaté que la masse M, exprimée en kg, de ses poulets de 90 jours
suit une loi normale de moyenne 3 et d’écart type 0,1.
a. Déterminer au
centième près la probabilité qu’un poulet de 90 jours prélevé au hasard
soit conforme.
P(M <2,8) =0,02275
; P(M
<3,2)
=0,97725 ; P(2,8 <
M < 3,2) =
0,97725-0,02275 ~0,95.
b. Déterminer au millième près la
probabilité que la masse d’un poulet de 90 jours prélevé au hasard soit
supérieure à 3,3 kg.
P(M >3,3) = 1-P(M <
3,3) = 1-0,99865 ~0,00135 ~0,001.
2. On admet dans
cette question que 95% des poulets de 90 jours sont conformes.
Un rôtisseur achète tous les samedis 100 de ces poulets. On admet que
le nombre de poulets de l’élevage est suffisamment important pour que
cet achat puisse être assimilé à un prélèvement avec remise.
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de poulets non
conformes, c’est-à-dire dont la masse n’est pas dans l’intervalle [2,8
; 3,2].
a. Justifier que X
suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
Les
prélevements sont indépendants et leur nombre est fixé à n = 100. La
probabilité qu'un poulet soit conforme est constante p = 0,05. La
probabilité qu'un poulet soit non conforme est q = 0,95.
X
suit la loi binomiale de paramètre n = 100 et p = 0,05.
b. Calculer
l’espérance mathématique de X. Que représente ce nombre ?
np = 100 x0,05 = 5.
En moyenne, 5 % des poulets sont non conformes.
3. Lors de son
dernier achat, le rôtisseur a compté 9 poulets non conformes. Il se
plaint auprès de l’éleveur.
Avec un tableur, on a calculé les probabilités P < a) pour a allant de 0
à 11.
a
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
p(X
<a)
|
0,0059
|
0,0371
|
0,1183
|
0,2578
|
0,4360
|
0,6160
|
0,7660
|
0,8720
|
0,9369
|
0,9718
|
0,9885
|
0,9957
|
a. Déterminer
l’intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence de poulets non
conformes.
1,96
x(px(1-p) / n )½ =
1,96 x(0,95 x0,05 / 100)½~0,043.
Intervalle
de fluctuation [0,05-0,043 ; 0,05 +0,043] soit [0,007
; 0,093].
b. Le rôtisseur
a-t-il eu raison de se plaindre ?
9/100 = 0,09.
Cette valeur appartient à l'intervalle de fluctuation. Le rôtisseur n'
a pas raison de se plaindre.
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