Mathématiques, étude de fonctions
Bac Sti2d et Stl 2015.

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Nlle Calédonie. 
Pour estimer la quantité dematière nécessaire à la fabrication de la partie inférieure de l’aileron, l’entreprise souhaite connaître le mieux possible l’aire A du domaine hachuré.
Pour modéliser le profil latéral de la partie inférieure on se place dans un repère orthonormé avec une échelle de 1 carreau pour 10 cm et on se propose d’utiliser, pour des abscisses comprises entre 0,45 et 3, la courbeCf représentative de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par :
f (x) =a / x+b +4ln(x) où a et b sont des constantes réelles qui restent à déterminer.

1. Évaluer l’aire A en nombre entier de carreaux en expliquant votre démarche.
Aire du rectangle de côtés 2,55 x 2,7 - aire hachurée en rouge ~ 6,9 -4,5 ~2,4 carreaux .
2. Déterminer graphiquement les valeurs de f (1) et de f ′(1).
f(1) = 1 ; f '(1) = 0, tangente horizontale.
3. Vérifier que le choix de a = 4 et b = −3 répond au problème posé.
f(1) = 4 / 1 -3+4ln 1 = 4-3+0 = 1 ;
f '(x) = -4 / x2+4 / x ; f ' (1) = -4 / 1 +4 /1 =0.
4. Soit la fonction F définie sur ]0 ; +∞[ par F(x) = (4x +4) ln(x)−7x.
Montrer que F est une primitive de f .
Dériver F : on pose u = 4x+4) et v = ln (x) ; u' = 4 ; v' = 1 / x ;
dérivé d'un produit u'v + v'u = 4 ln (x)+(4x+4) / x = 4 ln (x) +4 +4 /x.
F ' (x) = 4 ln (x)+4 +4 / x-7 = 4 ln(x) -3 +4 / x = f(x).
5. Déterminer au cm2 près une valeur approchée de l’aire A.
A = 6,9 -[ F(3) -F(0,45) = 6,9 -(16 ln3-21) +5,8 ln 0,45 -3,15.
A = 6,9 -17,58+21 -4,63 -3,15 ~2,54 unités d'aire ou 254 cm2.

Métropole septembre.
Avec une centaine de décès en moyenne par an, le monoxyde de carbone (CO) est la première cause de mortalité accidentelle par intoxication en France.
La société COalerte fabrique un modèle de détecteurs qui enregistre en temps réel la concentration de monoxyde de carbone en parties par million (ppm).
Un tel détecteur produit un signal d’alarme respectant les modalités fixées par la norme européenne EN 50 291 ci-dessous. Il déclenche un signal d’alarme :
• si la concentration est supérieure à 30 ppm pendant au moins 120 minutes ;;
• si la concentration est supérieure à 50 ppm pendant au moins 60 minutes ;
• si la concentration est supérieure à 100 ppm pendant au moins la minute ;
• si la concentration est supérieure à 300 ppm pendant au moins 3 minutes.
Un laboratoire d’essais procède à des tests sur un détecteur produit par la société COalerte en simulant un accident qui provoque une concentration anormale de monoxyde de carbone dans une pièce.




Partie A.
Le laboratoire relève la concentration de monoxyde de carbone en fonction du temps, exprimé en heures. Les enregistrements effectués sur une période de 8 heures se traduisent par la représentation graphique ci-dessous.

 1. Estimer au bout de combien de temps devrait retentir un signal d’alarme.
Au bout de 10 minutes, la concentration en monoxyde de carbone atteint 30 ppm.
Au bout de 20 minutes, la concentration en monoxyde de carbone atteint 50 ppm et reste supérrieure à cette valeur pendant plus de 60 min. Un signal d'alarme va retentir au bout de 60 +20 = 80 minutes.
2. Une personne présente dans la pièce depuis le début d’un tel accident risquerait elle de présenter des symptômes ? Si oui, lesquels ?
La concentration maximale en monoxyde de carbone vaut 75 ppm : céphalée et nausée chez les enfants ; troubles du rythme cardiaque pour les personnes atteintes de coronaropathie.
Partie B.
Dans cette partie, tous les résultats seront arrondis à 10−2 près.
La concentration de monoxyde de carbone exprimée en ppm dans la pièce en fonction du temps, exprimé en heures, est modélisée par la fonction f définie sur [0 ; 8] par
f (t )= 2,2+200t e−t .
1. Calculer la concentration de monoxyde de carbone en ppm dans la pièce :
a. au moment de l’accident ; f(t=0) = 2,2  ppm.
b. 30 minutes après. f(t= 0,5) = 2,2 +200*0,5 e-0,5 = 62,85 ppm.
2. À l’aide du graphique de la partie A, conjecturer les variations de la concentration de monoxyde de carbone dans la pièce en fonction du temps.
La concentration en monxyde de carbone croït pendant une heure, atteint un maximum, puis décroît plus lentement.
3. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 8].
a. Montrer que pour tout réel t de l’intervalle [0 ; 8], f ′(t ) = 200(1−t )e−t .
On pose u = 200 t ; v  = e-t ; u' = 200 ; v' = -e-t.
Dérivée d'un produit : u'v +v'u = 200 e-t -200t e-t ; f '(t) = 200 (1-t)e-t.
b. Étudier le signe de f ′(t ) sur l’intervalle [0 ; 8].
f '(t) s'annule pour t = 1 ; le terme en exponentiel est positif ; f '(t) est positive sur [0 ; 1[ et négative sur ]1 ; 8].
c. Valider ou invalider la conjecture émise à la question 2.
La conjecture est validée : fonction croissante si f '(t) positive et décroissante si f '(t) négative.
4. On note F la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 8] par F(t )= 2,2t −200(t +1)e−t .
On admet que F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 8].
Calculer la valeur moyenne de la concentration de monoxyde de carbone lors des 8 heures qui ont suivi l’accident.
Cmoyen = 1 / 8 { [ F(t)]08 =1 / 8 [2,2 x 8 −200(8 +1)e−8 ]-[2,2 x 0 -200(0+1)e-0] }
Cmoyen =1 / 8 [17,6 −1800 x 3,35 10-4 ]+200 } =27,12 ppm.
b. Pour des raisons de sécurité, le ministère du travail fixe un seuil pour la concentration moyenne de monoxyde de carbone. Ce seuil est de 50 ppm pour une période de 8 heures.
La sécurité des personnes présentes dans la pièce aurait-elle été remise en cause lors de l’accident simulé ?
27,12 ppm est inférieure au seuil de 50 ppm : la sécurité des personnes présentes dans la pièce, n'est pas remise en cause.










Antilles Guyanne.
Partie A.
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par : f (x) = ax +b ln(x)+1 où a et b sont deux nombres réels.
Cf est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé.
Les points A et E sont deux points de la courbe Cf . Le point A a pour coordonnées (1 ; 2) et le point E a pour abscisse 4.
La tangente à Cf au point E est horizontale.

1. Déterminer f (1) et f ′(4) où f ′ désigne la fonction dérivée de f .
f(1) = 2 ( lecture graphe ) ; f '(4) = 0, tangente horizontale).
2. Calculer f ′(x) puis exprimer f ′(4) en fonction de a et b.
f '(x) = a + b / x ; f '(4) = a +0,25 b = 0.
3. Déterminer les valeurs de a et b.
f(1) = 2 = a+1 soit a = 1 ; par suite b = -4.
Partie B .
Soit la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par : f (x) = x −4ln(x)+1
1. Déterminer la limite de f(x) quand  x tend vers zéro. Donner une interprétation graphique du résultat.
 x tend vers zéro ; ln (x) tend vers - l'infini ; -4 ln(x) tend vers plus l'infini.
La droite d'équation x=0 est asymptote à la courbe.
2. Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers l'infini.  (on pourra factoriser l’expression de f (x) par x).
f(x) = x [1-4ln(x) / x +1 /x].
1 / x tend vers zéro ; ln(x) / x tend vers zéro ; f(x) tend donc vers l'infini.
3. Calculer la dérivée f ′ de f . En déduire le tableau des variations de f .
f '(x) = 1-4 / x.

Partie C.
Une entreprise fabrique des pièces de carrosserie de voiture. La forme d’une pièce correspond à la zone hachurée sur le graphique 
On souhaite déterminer la mesure de l’aire de la pièce en unité d’aire.
Le point D est le point de la courbe Cf d’abscisse 2. Les points B et C ont pour coordonnées respectives (1 ; 0) et (2 ; 0).
Soit la fonction G définie sur ]0 ; +∞[ par : G(x) = x ln(x)−x.
1. Calculer la dérivée G′ de G.
On pose u = x et v = ln(x) ; u'=1 et v' = 1/x ; dérivée d'un produit u'v +v'u = ln(x) +1 ; G' = ln(x).
2. En déduire une primitive F de la fonction f donnée dans la partie B sur ]0 ; +∞[.
F = ½x2 -4( x ln(x)−x) +x = ½x2-4 x ln(x) +5x.
3. Déterminer la valeur exacte de l’aire de la pièce en unité d’aire ; puis en donner une valeur arrondie à 10−2.
F(2)-F(1) = 0,5 x 4 -4x2ln(2)+10 -(0,5 -0+5) = 12- 8ln(2)-5,5 = 6,5 -8 ln2 ~0,95 unités d'aire.

On étudie la charge d’un condensateur et l’on dispose pour cela du circuit électrique ci-contre composé de :
• une source de tension continue E de 10 V. • une résistance R de 105 ohms ­. • un condensateur de capacité C de 10−6 F.
On note u la tension exprimée en volt aux bornes du condensateur. Cette tension u est une fonction du temps t exprimé en seconde.
La fonction u est définie et dérivable sur [0 ; +∞[ ; elle vérifie l’équation différentielle suivante :
RCu′ +u = E où u′ est la fonction dérivée de u.
1. Justifier que l’équation différentielle est équivalente à : u′ +10u = 100 (E).
RC = 105 x 10-6 = 0,1.
0,1 u' + u = 10 ; u' +10 u = 100.
2. a. Déterminer la forme générale u(t ) des solutions de cette équation différentielle.
Solution générale de  u'+10 u =0 : u = A zxp(-10t) avec A une constante.
Solution particulière de (E) u = 10.
Solution générale de (E) : u = A exp(-10 t) +10.
b. On considère qu’à l’instant t = 0, le condensateur est déchargé. Parmi les solutions, déterminer l’unique fonction u tel que u(0) = 0.
u(0) = 0 = A+10 ; A = -10 ; u(t) = 10 ( 1-exp(-10t)).
c. Déterminer en justifiant la réponse, la limite en +∞de la fonction u ainsi obtenue. En donner une interprétation.
Le terme en exponentielle tend vers zéro si le temps devient très long.
u(t) tend vers 10 : le condensateur est chargé complètement.
3. On donne ci-contre la représentation graphique de la fonction u qui vient d’être obtenue à la question 2. b. avec les unités suivantes : 1 unité
pour 1 seconde sur l’axe des abscisses et 1 unité pour 1 volt sur l’axe des ordonnées.
On appelle T le temps de charge en seconde pour que u(T ) soit égal à 95% de E.
a. Déterminer graphiquement le temps de charge T .

b. Retrouver, par le calcul, le résultat précédent.
9,5 = 10 ( 1-exp(-10T)) ; 0,95 = 1-exp(-10T) ; exp(-10T) = 0,05 ; -10T = ln(0,05) ; T ~0,3 s.
4. Sans modifier les valeurs respectives de E et de C, déterminer la valeur de R afin que le temps de charge T soit multiplié par 2.
exp(-2T/(RC)) = 0,05 ;-2T / (RC) = ln 0,05 ; RC = -2T / ln (0,05) =-0,6 / ln(0,05) ~0,20  ; R = 0,2 / 10-6 = 2 105 ohms.


Métropole.
Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d’être un conducteur de la lumière et sert dans la transmission d’un signal véhiculant des données.
La puissance du signal, exprimée en milliwatts (mW), s’atténue au cours de la propagation. On note PE et PS les puissances respectives du signal à l’entrée et à la sortie d’une
fibre. Pour une fibre de longueur L exprimée en kilomètres (km), la relation liant PE , PS et L est donnée par : PS = PE x e−aL
où a est le coefficient d’atténuation linéaire dépendant de la fibre.
Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d’atténuation différents.
Dans tout l’exercice :
- la puissance du signal à l’entrée de la fibre est 7mW ;
- à la sortie, un signal est détectable si sa puissance est d’aumoins 0,08 mW ;
- pour rester détectable, un signal doit être amplifié dès que sa puissance devient strictement inférieure à 0,08 mW.
Partie A.
Le premier type de fibre de longueur 100 km utilisé par l’entreprise a un coefficient d’atténuation linéaire a = 0,046.
Pour ce type de fibre, sera-t-il nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie ?
 PS = 7 x exp(-0,046 x 100) =0,070 mW, valeur inférieure à 0,08 mW : le signal doit être amplifié.
 Partie B.
La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction g de la variable x, où x étant la distance en kilomètres parcourue par le signal depuis l’entrée de la fibre.On admet que cette fonction g est définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ et qu’elle est solution sur cet intervalle de l’équation différentielle y′ +0,035y = 0.
1. Résoudre l’équation différentielle y′ +0,035y = 0.
g(x) = A exp(-0,035 x) avec A une constante.
2. a. Sachant que g (0) = 7, vérifier que la fonction g est définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par g (x) = 7exp(−0,035x).
g(0) = A exp(0) = 7 ; A = 7 et g(x) = 7 exp(-0,035 x).
b. En déduire le coefficient d’atténuation de cette fibre. 0,035.
3. a. Étudier le sens de variation de la fonction g .
g'(x) = 7 x(-0,035) exp(−0,035x) = -0,245 exp(−0,035x) ; la dérivée est négative sur l'intervalle d'étude, g(x) est strictement décroissante.
b. Déterminer la limite de la fonction g en +∞.
Le terme en exponentielle tend vers zéro ; g(x) tend vers zéro.
4. a. Le signal sera-t-il encore détecté au bout de 100 km de propagation ?
g (100) = 7exp(−0,035 x 100)= 7 exp ( -3,5) = 0,211 mW, valeur supérieure à 0,08 mW : le signal est détecté.
b. Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification.
g(x) >=0,08 ; 7exp(−0,035x) >= 0,08 ; exp(−0,035x) >=0,011482 ; -0,035 x >= ln 0,01142857 ; -0,035 x >= -4,4716 ; x < 127,76 km.

Polynésie.
Un pont à une seule arche d’une longueur de 16 m enjambe une route à double circulation. La figure ci-dessous donne une vue de l’une des deux façades de ce pont (1 unité
représente 1 mètre). La partie supérieure du pont est à une hauteur de 5m au-dessus de la route. La partie de l’axe des abscisses comprise entre -8 et 8 représente la chaussée sur
laquelle sont délimitées les zones de circulation des piétons, des cyclistes et des véhicules motorisés.

A– Étude de la fonction représentée par la courbe(C )
Soit la fonction f définie, pour tout réel x de l’intervalle [−8 ; 8], par f (x) = k −0,5[e0,2x +e−0,2x ] où k désigne un entier naturel fixé.
On note (C ) sa courbe représentative, donnée ci-dessus dans le repère orthonormé (O, A, B).
1. Déterminer graphiquement f (0). En déduire que pour tout réel x de l’intervalle [−8 ; 8] : f (x) = 5−0,5[e0,2x +e−0,2x ].
f(0) = 4 = k-0,5 [e0 +e-0] =k-0,5(1+1) = k-1 ; k = 5.
2. En tenant compte du fait que l’on doit laisser une hauteur de sécurité de 50 cm, quelle doit être la hauteur maximale exprimée en mètre d’un véhicule motorisé pour qu’il puisse passer sous le pont ? On arrondira le résultat à 10−1.
f(4) = 5-0,5[e0,8 +e-0,8] =5-0,5 [ 2,226 +0,4493] =3,66 m ; retirer 0,5 m d'où :  3,2 m.
3. Montrer que la fonction f ′ dérivée de la fonction f est définie, pour tout réel x de l’intervalle [−8 ; 8], par f ′(x) = 0,1e−0,2x (1−e0,4x ).
f '(x) = 0-0,5(0,2 e0,2x -0,2e−0,2x ) = -0,1 (e0,2x -e−0,2x) = 0,1 (e-0,2x -e+0,2x) = 0,1e−0,2x (1−e0,4x ).
4. Étudier le signe de f ′(x) sur [−8 ; 8]. En déduire le tableau de variation de f sur [−8 ; 8].
 0,1e−0,2x est positif ; 1-e−0,4x s'annule pour x = 0 ; 1-e−0,4x est positif pour x appartenant à ]-8 ; 0[ et négatif pour x appartenant à [0 ; 8[.

B– Calculs d’aires
La façade du pont est la partie grisée représentée sur la figure précédente.
1. Calculer la valeur exacte de l’intégrale I .

2. Vérifier que l’aire de la façade exprimée en m2 vaut 5(e1,6 −e−1,6).
16 x 5 - J = 5(e1,6 −e−1,6).
3. On veut peindre les deux façades du pont. En déduire l’aire S exprimée en m2 de la surface totale à peindre ; en donner une valeur en m2 approchée à 10−2 près.
2 x 5 (4,953 -0,2019) = 47,51 m2.
4. La peinture utilisée pour peindre les façades du pont est vendue par bidon de 5 litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 3 m2 par litre, combien de bidons sont nécessaires pour recouvrir les deux faces de cette construction ?
47,51 / (3 x 5) =3,17 soit 4 bidons.


  

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