Mathématiques, étude de fonctions
Bac Sti2d et Stl 2016.

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Polynésie  juin 2016. 
Partie A : Lecture graphique
On considère la courbe C associée à une fonction f représentée avec la droite T, tangente à la courbe C au point d’abscisse 0.
1. Résoudre graphiquement sur l’intervalle [−1 ; 1,5] et avec la précision permise par le dessin les deux inéquations suivantes :
a. f (x) supérieure ou égale à 1.
b. f ′(x) supérieure ou égale à 0.

f (x) est supérieure ou égale à 1 pour x appartenant à [-1 ;  -0,8 ] et pour x appartenant à [0 ; 1,5 ].
f ′(x) est supérieure ou égale à 0 pour x appartenant à l'intervalle [-0,5 ; 1,5 ] ( fonction croissante ).
2. a. Donner l’équation de la tangente T à la courbe C au point de coordonnées (0 ; 1) en sachant que cette tangente passe par le point de coordonnées (2 ; 7).
y = a x+b avec a et b des constantes.
1 = 0 x+b soit b = 1 et 7 = 2a +1 soit a = 3. y = 3x+1.
b. En déduire le nombre dérivé f ′(0).
f'(0) = 3, coeficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x=0.
Partie B : Étude de la fonction f
Soit f la fonction définie sur R par la relation f (x) = e−2x +5x.
1. Déterminer, en la justifiant, la limite de f en +oo.
Le terme en exponentielle tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini.
f(x) tend vers l'infini lorsque x tend vers l'infini.
On admet pour la suite que la limite de f en −oo est +oo.
2. Calculer f ′(x) et étudier son signe sur R.
f '(x) = -2 e-2x +5.
f '(x) =0 ; e-2x = 2,5 ; -2x = ln 2,5 ; x = -ln2,5 / 2 ~ -0,458.
3. En déduire le tableau des variations de la fonction f sur R.

4. a. Déterminer à partir du tableau des variations le nombre de solutions de l’équation f (x) = 2.
Cette équation admet deux solutions : une solution sur chaque intervalle où f(x) est monotone.
 b. Donner une valeur arrondie à 10−2 près de chaque solution.
e-2x+5x = 2.
Graphiquement on trouve -0,95 et 0,28.
A l'aide d'une calculatrice, on trouve : e+1,9 +5(-0,95) ~1,94.
e+1,92 +5(-0,96) ~2,02. On retient -0,96.
e-0,56 +5 x 0,28 ~1,97.
e-058 +5 x 0,29 ~2,001. On retient +0,29.
 
Partie C. : Calcul d’aire
On admet :
• que la courbe C de la partie A est la représentation de la fonction f définie dans la partie B;
• que la courbe C se situe « au-dessus » de la droite tangente T sur R.
L’objectif de cette partie est de déterminer par un calcul l’aire A comprise entre la courbe C, la droite T et les droites verticales d’équations x = 0 et x = 1,5.
1. Hachurer sur le dessin l’aire A que l’on veut déterminer.

2. a. Déterminer une primitive de la fonction g définie sur R par :
pour tout réel x, g (x)= e−2x+2x −1.
G(x) = -½e−2x+x2 −x.
La courbe C est au dessus de T, d'équation y = 3x+1.  f(x) -(3x+1) =e−2x +5x-3x-1 = e−2x +2x-1 = g(x).
c. En déduire la valeur exacte puis l’arrondi à 10−2 de A.




Métropole septembre 2016.
Dans une entreprise de fabrication de pièces métalliques, un ouvrier doit manipuler des plaques chaudes pendant une dizaine de secondes. À la sortie du four, les plaques sont à une température de 300 °C et disposées dans une pièce dont la température ambiante est maintenue à 26 °C par un système de ventilation. La commission de sécurité prescrit qu’avec les gants actuels, l’ouvrier doit attendre 10 minutes pour manipuler les plaques à leur sortie du four. Afin de réduire ce délai d’attente, le directeur s’interroge sur l’achat de nouveaux gants dont les caractéristiques techniques établies par la commission de sécurité sont les suivantes :
Sans couture. Très doux et confortables. Température maximale d’utilisation : 240 °C.
1. Dans cette question, on ne demande pas de justification.
a. Quelle est, à la sortie du four, la température des plaques ? 300°C.
b. Comment varie, à la sortie du four, la température des plaques au cours du temps ?
La température des plaques diminue au cours du temps de 300°C à 26°C.
c. Vers quelle valeur la température des plaques devrait-elle se stabiliser ?
A la température de la pièce où elles sont entreposées,soit 26°C.
2. La température d’une plaque depuis sa sortie du four, est modélisée en fonction du temps t , exprimé en minutes, par une fonction g .On admet que cette fonction g est définie sur l’intervalle [0 ; +oo[ par g (t ) = 274eat+26 où a est un nombre réel.
a. Calculer g (0). Ce résultat est-il conforme aux données ?
g(0) = 274 e0 +26 = 300°C, en accord avec les données.
b. D’après la question 1, quel doit être le signe du nombre réel a ?
a doit être négatif, car la temprature des plaques diminue.
c. On sait que 3 minutes après sa sortie du four la température de la plaque, arrondie à l’unité, est de 262 °C. Montrer que la valeur approchée à 10−2 près du coefficient a est −0,05.
g (3 ) = 274e3a+26 =262 ; 274e3a =262-26 =236 ;
 e3a =236 / 274 = 0,8613 ; 3a = ln 0,8613 ; a = -0,0497 ~-0,05.
3.  Dans cette question on considère que, pour tout nombre réel t de l’intervalle [0;+oo[ :
g (t )= 274e−0,05t+26.
a. Avec les gants actuellement utilisés, à quelle température l’ouvrier pourra t-il manipuler les plaques après leur sortie du four, en respectant les caractéristiques techniques de la commission de sécurité ?
g(10) = 274e−0,05*10+26 =274e−0,5+26  = 192°C.
b. Si le directeur décidait d’équiper les ouvriers avec les nouveaux gants, quel délai d’attente minimal serait requis avant que les ouvriers puissent manipuler les plaques ?
g(t) = 274 e−0,05t+26 = 240 ; 274 e−0,05t = 240-26 = 214 .
e−0,05t =214 / 274 = 0,781 : -0,05t = ln 0,781 = -0,2472 ; t = 0,2472 / 0,05 =4,94~5 minutes.
c. En déduire le gain de temps, en pourcentage, dû à l’utilisation de ces nouveaux gants.
(10-4,94) / 10 *100 =50,6 ~ 51%.










Métropole 06 / 2016.
Quand l’oreille humaine est soumise à une intensité acoustique, exprimée en watts par mètre carré (W/m2), le niveau sonore du bruit responsable de cette intensité acoustique est exprimé en décibels (dB).
1. D’après le tableau, lorsque l’intensité acoustique estmultipliée par 10, quelle semble être l’augmentation du niveau sonore ?
Quand l'intensité acoustique est multipliée par 10, le niveau sonore augmente de 10 dB.
Concert et discothèque I = 10-1 W m-2 ; niveau sonore 110 dB.
Baladeur à puissance maximum : I = 10-2 W m-2 ; niveau sonore 100 dB.
2. La relation liant l’intensité acoustique x où x appartient à l’intervalle [10−12;106] et le niveau sonore est donnée par :
f(x) = 4,34 ln x +120.
a. Vérifier la conjecture émise à la question 1.
Quand x est multiplié par 10 : ln10 ~  2,30 ; 4,34 ln 10 ~10,1 dB.
b. Quel serait le niveau sonore de deux motos ?
Pour une moto x = 10-5 W m-2. ; pour deux motos identiques 2x = 2 10-5 W m-2.
f(2x) = 4,34 ln (2 10-5) +120 ~73,0 dB.
3. Pour éviter tout risque sur la santé, le port d’un casque de protection acoustique est donc conseillé au delà de 85 dB. Déterminer l’intensité acoustique à partir de laquelle le port d’un tel casque est conseillé.
85 = 4,34 ln x + 120 ; 4,34 ln x = 85-120 = -35 ; lnx = -35 /4,34 = -8,0645 ; x =  3,15 10-4 W m-2.

Antilles Guyanne 2016.
Sur le graphique ci-dessous, C est la courbe représentative, dans le repère orthonormé (O, i, j) d’une fonction f définie sur R.

Partie A - Étude graphique.
La droite T est tangente à C au point A(2,5 ; 1,5) et d’ordonnée à l’origine 2,75.
L’axe des abscisses est asymptote horizontale à C au voisinage de +∞.
Déterminer graphiquement et indiquer sur votre copie :
1. f (1)  = 0.
2. f ′(2,5) = pente de la tangente à la courbe en A.
f '(2,5) = -(2,75 -0 / 5,5 = -0,5.
3. Une équation de la tangente T.
y = -0,5 x + 2,75.
4. La limite de f(x) quand x tend vers l'infini.
L'axe des abscisses est asymptote à la courbe. La limite de f(x) est égale à zéro quand x tend vers l'infini.
Partie B -Modélisation.
On admet qu’il existe deux réels a et b tels que : pour tout réel x, f (x) = (ax +b)exp(−x+2,5).
1. Calculer f ′(x) en fonction de a et b.
On pose u = ax+b et v = exp(−x+2,5).
u' = a et v' = -exp(−x+2,5).
Dérivée d'un produit : f '(x) = u'v +v'u = a exp(−x+2,5)-(ax+b) exp(−x+2,5).
f '(x) = (-ax+a-b)exp(−x+2,5).
2. Exprimer en fonction des réels a et b les nombres suivants :
f (1) = (a+b)exp(1,5) ; f ′(2,5) = (-1,5 a -b)e0 =-1,5 a - b.
3. Déduire des questions précédentes un système d’équations vérifiées par a et b.
(a+b)exp(1,5) = 0 soit a +b = 0.
-0,5 = -1,5 a - b.
4. Résoudre ce système et en déduire l’expression de f (x) en fonction de x.
a = -b ; -0,5 = 0,5 b ; b = -1 et a = 1 et f(x) = (x-1)exp(−x+2,5).


Partie C - Étude algébrique.
On admet que pour tout réel x, f (x) = (x −1)exp(−x+2,5).
1. Déterminer la limite de f en −∞.
Le terme en exponentielle tend  vers l'infini et que x-1 tend vers moins l'infini quand x tend vers moins  l'infini.. f(x) tend donc vers moins l'infini.
2. a. Montrer que pour tout réel x,
b. Déterminer la limite de f en +∞.

3. a. Calculer f ′(x) pour tout réel x.
On pose u = x-1 et v = exp(−x+2,5) ; u' = 1 et v' = -exp(−x+2,5).
Dérivée d'un produit : u'v +v'u = exp(−x+2,5)-(x-1)exp(−x+2,5).
f '(x) = (2-x)exp(−x+2,5).
b. Étudier le signe de f ′ et en déduire le tableau des variations de la fonction f en faisant figurer les limites trouvées précédemment.
exp(−x+2,5) est toujours positif ;le signe de f ' (x) est celui de 2-x ; positif pour x <2 ; nul pour x =2 et négatif pour x >2.

PartieD - Application.
On souhaite déterminer l’aire S en unité d’aire de la surface d’une des faces principales du boîtier plastique de l’appareil auditif schématisé.
Une modélisation mathématique a permis de représenter cette surface.
Dans le plan muni du repère orthonormé (O, i, j ), cette surface correspond à la partie du plan limitée par :
• l’axe des abscisses ;
• les droites d’équations x = 1 et x = 2,5 ;
• la courbe représentative C de la fonction f étudiée précédemment ;
• la courbe représentative Cg de la fonction g définie par : pour tout réel x, g (x) = −2x2+12x −16.
1. Hachurer la surface décrite précédemment.

Pour déterminer l’aire S de cette surface, on décompose le calcul en deux parties.
2. Calculer la valeur exacte de l’intégrale suivante :
 
3. On souhaite calculer la valeur exacte de l’intégrale suivante : 
a. Vérifier qu’une primitive F de la fonction f sur R est la fonction définie par, pour tout réel x, F(x) = −x exp(−x+2,5).
F '(x)=- exp(−x+2,5)+ x exp(−x+2,5)= (x-1)exp (−x+2,5).
b. En déduire la valeur exacte de l’intégrale J.

4. a. Déterminer la valeur exacte de l’aire S en unité d’aire.
b. En déduire la valeur arrondie à 10−2 de l’aire S en unité d’aire.
e1,5 -30 / 12 -5 / 12 =e1,5 -35 / 12 ~1,565 ~1,57.
 
Nlle Calédonie.
Le bassin d’une piscine municipale a une capacité de 600 000 litres d’eau. Afin de respecter les normes d’hygiène et de sécurité, 30 000 litres d’eau de la piscine sont renouvelés chaque heure et le taux de chlore maximum autorisé est de 0,25 mg/L.
Un soir après la fermeture de la piscine, alors que le taux de chlore est indétectable, 1 kg de chlore est déversé par erreur dans le bassin à 20 h. Le directeur de la piscine souhaiterait savoir quand il pourra ouvrir à nouveau la piscine au public.
On modélise la concentration massique du chlore présent dans la piscine par une fonction f . Lorsque t désigne le temps écoulé depuis l’accident, exprimé en heures, f (t ) représente la concentration massique du chlore présent dans la piscine en milligrammes par litre.
On admet que la fonction f est solution de l’équation différentielle (E) :
y′ +0,05y = 0 où y désigne une fonction de la variable t .
1. a. Résoudre l’équation différentielle (E).
b. Que vaut f (0) ? En déduire une expression de f (t ) sur [0 ; +∞[.
f(t) = A e-0,05t avec A une constante définie à partir des conditions initiales.
1 kg = 106 mg ; f(0) = 106 / 600 000 = 10 /6 = 5 / 3 ~1,67 mg / L.
f(t) = 5 / 3 e-0,05t .
2. On admet que f est définie sur [0 ; +∞[ par f (t ) =5 / 3 e-0,05t .
À quel moment la piscine pourra-t-elle ouvrir de nouveau au public ?
5 / 3 e-0,05t < 0,25 ; e-0,05t < 0,25 x3 / 5 ; e-0,05t < 0,15.
-0,05t <  ln(0,15) ; -0,05t < -1,897 ; t > 1,897 / 0,05 ; t >37,94.
La piscine peut ouvrir au bout de 38 heures.


  

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