Mathématiques, fonctions
Bac St2S 2014.

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Métropole. 
Au début d’un effort physique, la consommation de glucose étant supérieure à l’apport d’oxygène, l’organisme produit du lactate (aussi appelé acide lactique) responsable, entre autres, de crampes musculaires.
Dans l’annexe sont représentées les évolutions de la lactatémie, c’est-à-dire la concentration en lactate, en millimoles par litre (mmol.L−1), en fonction de la vitesse de course, exprimée en kilomètres par heure (km.h−1), pour deux individus.
Le premier individu, P1, peu entraîné, voit sa lactatémie augmenter rapidement tandis que celle du second individu, P2, coureur de demi-fond, augmente moins rapidement.
La tangente à la courbe de lactatémie de P2 au point A de coordonnées (9 ; 4) est représentée en vert. Cette droite passe par le point B de coordonnées (22 ; 8).

Partie A.
Dans cette partie, on s’intéresse à la courbe représentant la lactatémie du coureur P2.
On suppose que cette lactatémie est modélisée par une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 20].
1. En s’aidant du graphique, et en faisant apparaître les traits de construction utiles, déterminer
avec la précision que permet la lecture graphique :
a. la vitesse à partir de laquelle la lactatémie dépasse 8 millimoles par litre ; 18 km /h ;
b. la lactatémie du coureur P2, s’il court à une vitesse de 9 kilomètres par heure. 4 mmol / L
2. Déterminer, par un calcul, f ′(9), le nombre dérivé de la fonction f en 9.
f '(9) est le coefficient directeur de la tangente T passant par les points A et B.
f '(9) = (yB-yA) / (xB-xA) =(8-4) /(22-9) =4 / 13.
3. On admet que la fonction f est définie par :
f (x) = 2×1,08x pour tout nombre réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 20].
a. Déterminer une inéquation qui permet de répondre, par le calcul, à la question 1 a.
b. Résoudre cette inéquation dans l’intervalle [0 ; 20].
 2×1,08x > 8 ; 1,08x > 4 ; x log 1,08 > log 4 ; x > log 4 / log 1,08 ; x > 18 km /h.
Partie B.
On s’intéresse à la courbe représentant la lactatémie du coureur P1. On admet que cette courbe est la représentation graphique de la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 20] par g (x) = 0,05x2 +0,1x +2.
1. La fonction g ′ est la fonction dérivée de la fonction g . Déterminer g ′(x) pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 20].
g'(x) = 0,1 x+0,1.
2. Déterminer g ′(8) et construire la tangente à la courbe représentant la fonction g au point d’abscisse 8. Justifier la construction.
g'(8)=0,8+0,1 = 0,9 ; g(8) = 0,05 x64 +0,8+2 =6.
La tangente passe par le point  C( 8 ; 6).
Equation de la tangente y = 0,9 x +b ; 6 = 0,9 x8 +b ; b = -1,2.
La tangente passe également par le point D ( 20 ; 16,8).

QCM.
1. La fonction g est définie sur l’intervalle [0 ; 100] par : g (x) = 4×0,7x+1 . On a alors :
a. g (2) = 2,96 ; b. g (2) = 21,952 ; c. g (2) = 1,372 vrai ; d. g (2)= 8,84.
g(2) = 4 x0,73 = 1,372.
2. La fonction h est définie sur l’intervalle [0 ; 5] par : h(x) = x3 −6x2 −15x +3. La fonction h est dérivable sur l’intervalle [0 ; 5] et on note h′ sa fonction dérivée. On a :
a. h′(x) = (3x +3)(x −5) vrai ; b. h′(x) = 3x2 −6x +3 ; c. h′(x) = 3x2 −12x +3 ; d. h′(x) = −15x −15.
h'(x) = 3x2 -12x-15 =3 (x+1)( x-5).
3. La fonction m est définie sur [1 ; 9]. On suppose que m est dérivable sur l’intervalle [1 ; 9] et on note m′ sa fonction dérivée avec :
 m′(x) = −2x +6 . On en déduit que :
a. La fonction m est décroissante sur [1 ; 9]  ; b. La fonction m est croissante sur [1 ; 9]
c. La fonction m est décroissante sur [1 ; 3] ; d. La fonction m est croissante sur [1 ; 3], vrai.
m'(x) est positive sur [1 ;  3 [ : m(x) est strictement croissante sur cet intervalle.
m'(x) est négative sur ]3 ;  9 ] : m(x) est strictement décroissante sur cet intervalle.
m'(x) = 0 pour x = 3 ; m(x) présente un maximum pour x = 3.
4. On donne les représentations graphiques de 4 fonctions définies sur l’intervalle [0 ; 4] . On suppose que chacune de ces fonctions est dérivable sur l’intervalle [0 ; 4] . Laquelle admet la droite d’équation y = 2x +1 comme tangente en un point de sa courbe représentative ?




Métropole septembre
Partie A
On arrondira au dixième les valeurs calculées dans cette partie.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 12] par f (x) = 8×1,1x .
1. On admettra que la fonction f a le même sens de variation que la fonction g définie sur l’intervalle
[0 ; 12] par g (x) = 1,1x .
Déterminer, en justifiant, le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle [0 ; 12] puis donner le tableau de variation de la fonction f sur ce même intervalle.
Pour a positif, supérieur à 1, la fonction ax est croissante sur R. Donc g(x) = 1,1 x est croissante sur R.

2. Compléter le tableau de valeurs suivant :
3. Tracer la représentation graphique correspondante.

Partie B.
Durant l’année 2013, un particulier faisait 8 heures de sport chaque mois. À partir de janvier 2014, il décide d’augmenter de 10% chaque mois son temps de pratique sportive mensuel.
1. Calculer son nouveau temps de pratique sportive pour le mois de janvier 2014, exprimé en heures et en minutes.
8 x1,1 = 8,8 h ou 8 h 48 min.
2. On désigne par l’entier naturel n le rang dumois et par un le temps de pratique sportive, en heures, du mois de rang n.
Ainsi u0 est égal à 8 et u1 désigne le temps de pratique sportive pour le mois de janvier 2014.
Expliquer pourquoi un = 8×1,1n .
Chaque élément est obtenu en multipliant le précédent par 1,1. La suite  est géométrique de raison q = 1,1 et de premier terme u0=8.
3. Quel sera le temps de pratique sportive mensuel du particulier en décembre 2014 ? On arrondira le résultat à l’heure.
n = 12 ; u12 = 8 x1,112 ~25 h.
4. Après consultation de son médecin, il lui est conseillé de ne pas dépasser 16 heures mensuelles de pratique sportive. À partir de quel mois, dépassera-t-il cette limite ? Détailler la méthode utilisée.
8×1,1n <16 ; log 8 + n log 1,1 <log 16 ; 0,903 +0,0414 n < 1,204 ; 0,0414 n <0,301 ; n < 0,301 / 0,0414 ; n < 7,3.
 On retient n = 7 ( fin juillet 2014).










Antilles septembre.
Un laboratoire de recherches médicales observe « in vitro » la multiplication, par mitose accélérée, d’une cellule cancéreuse.
Les chercheurs veulent étudier l’effet du rayonnement d’ondes millimétriques sur les cellules cancéreuses.
Après une période de multiplication des cellules, on note t = 0, l’instant à partir duquel commence l’exposition au rayonnement d’ondes millimétriques. La courbe ci-dessous est la représentation graphique du nombre de cellules cancéreuses depuis le début du rayonnement.
Partie A : Étude graphique.

1. Déterminer le nombre de cellules cancéreuses au début du rayonnement. 69.
2. Déterminer la durée, approximative, d’exposition au rayonnement pour que le nombre de cellules cancéreuses redevienne celui qu’il était au début de l’exposition. 20 heures.
3. a. Après quelle durée d’exposition le nombre de cellules cancéreuses est-il maximum ? 10 h.
b. Quelle est alors la valeur de ce maximum ? 169.
4. Déterminer pendant quelle durée d’exposition le nombre de cellules cancéreuses est supérieur ou égal à 120.
Entre 3 h et 17 h soit durant 14 h.
5. Déterminer la durée d’exposition nécessaire pour détruire toutes les cellules cancéreuses 23 h.
Partie B. Étude théorique
Après observation, les chercheurs conviennent de modéliser l’évolution du nombre de cellules cancéreuses exposées
à ce rayonnement par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 23] par f (t ) = −t 2 +20t +69
où t est la durée d’exposition et f (t ) le nombre de cellules cancéreuses après t heures d’exposition à ce rayonnement.
1. Calculer f (15) et interpréter le résultat par une phrase dans le contexte de l’exercice.
f(15) = -152 + 20 x15 + 69 = 144.
Au bout de 15 h d'exposition, le nombre de cellules est égal à 144.
2. Calculer f '(t ) pour t appartenant à l’intervalle [0 ; 23], où f ' est la fonction dérivée de la fonction f .
f '(t) = -2t +20= 2(10-t).
3. Étudier le signe de f '(t ) sur l’intervalle [0 ; 23].
Si t appartient à [0 ; 10 [, f '(t) est positive et f(t) est strictement croissante.
Si t appartient à ]10 ; 23 ], f '(t) est négative et f(t) est strictement décroissante.
Si t = 10, f '(t)= 0, f présente un maximum.
4. Construire le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 23].

5. En utilisant la question précédente, retrouver les résultats des questions 3. a. et 3. b. de la partie A.
f(10) =-102+20x10+69=169.


Nlle Calédonie.
La scintigraphie est une technique d’exploration du corps humain qui permet de diagnostiquer des maladies. Lors d’une scintigraphie de la glande thyroïde, on injecte
une dose d’iode dans le corps d’un patient. Cette dose se fixe sur la glande thyroïde de ce patient puis se désintègre au cours du temps.
Le graphique donné  représente le nombre de noyaux d’iode, exprimé en milliards, restant fixés sur la glande thyroïde en fonction du temps.

1. En utilisant le graphique, indiquer :
a. Le nombre de noyaux injectés initialement. 400 milliards.
b. Le nombre minimal d’heures à attendre pour que la moitié des noyaux injectés ait été désintégrée. 14 heures.
On considère la fonction N définie sur l’intervalle [0 ; 100] par :N(t )= 400×0,95t .
La courbe donnée  est la représentation graphique de la fonction N dans un repère orthogonal.
Pour tout temps t , exprimé en heures, on admet que N(t ) représente le nombre de noyaux, exprimé en milliards, restant fixés sur la glande thyroïde au temps t .
2. On admet que la fonction N a le même sens de variation que la fonction f ,fonction exponentielle de base 0,95 définie sur [0 ; 100] par f (t ) = 0,95t .
Justifier que la fonction N est décroissante sur [0 ; 100].
Pour a positif,appartenant à l'intervalle ]0 ; 1 [, la fonction ax est décroissante sur R. Donc f(t) = 0,95 t est décroissante sur R.
3. a. Résoudre l’inéquation : N(t )< 40.
 400×0,95t< 40 ; 10 x 0,95 t <1 ;  log 10 + t log 0,95 < log 1 ;
1-0,0227 t <0 ; 0,0227 t > 1 ; t > 1 /0,0227 ; t > 44,9 heures.
Solutions de l'inéquation : ]44,9 ; 100 ]
b. On considère que le produit injecté a été éliminé de l’organisme lorsqu’il reste moins de 10% de la quantité injectée initialement.
Déterminer au bout de combien de temps on peut considérer que le produit a été éliminé de l’organisme. On exprimera cette quantité en jours et
en heures, arrondie à l’heure.
44,9 h = 24 +20,9 ~ 1 jour et 21  h.
4. Calculer le pourcentage de diminution du nombre de noyaux entre la première heure et la sixième heure. Arrondir à 0,1%.
N(1 )= 400×0,95=380 ; :N(6 )= 400×0,956 =294 ; (294-380) / 380 x100 = -22,6 %.


  

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