Mathématiques, QCM, pourcentages, suites numériques
Bac St2S 2014.

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Polynésie. 
On présente dans un tableau, extrait d’une feuille de calcul, le nombre de cartes SIM(carte électronique permettant d’utiliser un réseau de téléphonie mobile avec un téléphone mobile) en service en France métropolitaine.

A
 B
 C D
 E
 F
 G
 H
1
Juin 2010
 Décembre 2010
 Juin 2011
 Décembre 2011
 Juin 2012
 Décembre 2012
 Juin 2013
2
 Nombre de cartes SIM ( en millions )
 62,1
 65
 66
 68,6
73,1
 74,8
3
 Taux d'évolution semestriel
4,7 %
3,9 %
 4,8%

Source : ARCEP
1. a. Calculer le nombre de cartes SIM, arrondi au dixième de million, en service en France métropolitaine en juin 2012.
Soit x ce nombre : ( x-68,6) /68,6 = 0,048 ; x=68,6 = 68,6 x0,048 = 3,2928 ; x = 68,6 +3,2928 ~71,9.
b. Calculer le taux d’évolution, du nombre de cartes SIM en service en France métropolitaine entre décembre 2012 et juin 2013.
(74,8-73,1) / 73,1 x100 ~2,3 %.
c. Les cellules de C3 à H3 sont au format pourcentage avec une seule décimale. Donner une formule qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie les taux d’évolution semestriels dans la plage de cellules C3 : H3.
=(C2-B2) / B2
2. On suppose qu’à partir de juin 2013 le nombre de cartes SIM en service en France métropolitaine augmente chaque semestre de 3%.
On note un le nombre de cartes SIM en service en France métropolitaine, exprimé en millions, à la fin du n-ième semestre après juin 2013. On définit ainsi la suite (un) avec u0 = 74,8 et u1 est le nombre de cartes SIMen service en France métropolitaine en décembre 2013.
a. Montrer que la suite (un) est géométrique et déterminer sa raison.
L'élément  de rang n+1 est obtenu en multipliant l'élément de rang n par le nombre 1,03.
Chaque élément est obtenu en multipliant le précédent par 1,03. La suite  est géométrique de raison q = 1,03.
b. Exprimer un en fonction de n.
un = u0 x 1,03n= 74,8 x1,03n.
c. Calculer u4 . Donner son arrondi au dixième de million et interpréter le résultat.
u4 = 74,8 x1,034 = 84,2.
En juin 2015, le nombre de carte SIM en service en France  est égal à 84,2 millions.
d. Résoudre l’inéquation : 74,8×1,03n >100. Interpréter le résultat.
log 74,8 + n log 1,03 > log 100 ; n log 1,03 > log100 -log 74,8 ; n > 0,126 / log 1,03 ; n >9,8.
En juin 2018, le nombre de carte SIM en service en France  est supérieur à 100 millions.

QCM.
1. La fonction g est définie sur l’intervalle [0 ; 100] par : g (x) = 4×0,7x+1 . On a alors :
a. g (2) = 2,96 ; b. g (2) = 21,952 ; c. g (2) = 1,372 vrai ; d. g (2)= 8,84.
g(2) = 4 x0,73 = 1,372.
2. La fonction h est définie sur l’intervalle [0 ; 5] par : h(x) = x3 −6x2 −15x +3. La fonction h est dérivable sur l’intervalle [0 ; 5] et on note h′ sa fonction dérivée. On a :
a. h′(x) = (3x +3)(x −5) vrai ; b. h′(x) = 3x2 −6x +3 ; c. h′(x) = 3x2 −12x +3 ; d. h′(x) = −15x −15.
h'(x) = 3x2 -12x-15 =3 (x+1)( x-5).
3. La fonction m est définie sur [1 ; 9]. On suppose que m est dérivable sur l’intervalle [1 ; 9] et on note m′ sa fonction dérivée avec :
 m′(x) = −2x +6 . On en déduit que :
a. La fonction m est décroissante sur [1 ; 9]  ; b. La fonction m est croissante sur [1 ; 9]
c. La fonction m est décroissante sur [1 ; 3] ; d. La fonction m est croissante sur [1 ; 3], vrai.
m'(x) est positive sur [1 ;  3 [ : m(x) est strictement croissante sur cet intervalle.
m'(x) est négative sur ]3 ;  9 ] : m(x) est strictement décroissante sur cet intervalle.
m'(x) = 0 pour x = 3 ; m(x) présente un maximum pour x = 3.
4. On donne les représentations graphiques de 4 fonctions définies sur l’intervalle [0 ; 4] . On suppose que chacune de ces fonctions est dérivable sur l’intervalle [0 ; 4] . Laquelle admet la droite d’équation y = 2x +1 comme tangente en un point de sa courbe représentative ?




Métropole
On mesure la fréquence cardiaque d’un athlète courant sur un tapis roulant dont la vitesse peut être modifiée. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.
Vitesse de course xi ( km / h)
12
 13
 14
 15
 16
 17
 18
Fréquence cardiaque yi ( battements par minute)
 128
 134
 139
 145
 150
 156
 163

1. a. Représenter le nuage de points de coordonnées (xi ; yi ).
b. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et le placer. Que remarque-t-on ?
xG=(12 +13 +14 +15 +16 +17 +18) / 7=15
yG=(128 +134 +139 +145 +150 +156 +163) / 7 =145.
G est confondu avec l'un des points du nuage.
c. Pour estimer la fréquence cardiaque de l’athlète à des vitesses de course plus élevées, on utilise un ajustement affine de ce nuage de points.
On admet que la droite (D) d’équation : y = 5,7x +59,5 réalise un tel ajustement. Tracer la droite (D).

2. La fréquence cardiaque maximale est le nombre maximal de battements que le coeur est en mesure d’effectuer en une minute. Pour un individu d’âge N, cette fréquence, habituellement notée Fcmax, est donnée par : Fcmax = 220−N.
Dans les questions suivantes, les résultats seront arrondis à l’unité.
En utilisant l’ajustement affine précédent :
a. calculer la fréquence cardiaque de l’athlète pour une vitesse de course de 20 km.h−1 ;
f = 5,7 x20 +59,5 = 173,5 ~174.
b. déterminer jusqu’à quelle vitesse pourra aller l’athlète, sachant qu’il a 35 ans ; justifier la réponse.
fcmax = 220-35 =185.
185 = 5,7 x +59,5 ; 5,7 x = 185-59,5 = 125,5 ; x = 125,5 / 5,7 = 22 km/h.

  QCM
1. La suite (un) est une suite arithmétique telle que : u1 = −10 et u6 = 8. Sa raison est égale à :
A. 3 ; B. −3  ; C. 3,6, vrai ; D. −3,6.
u6 = u1 +5 r ; 5r = 8-(-10) = 18 ; r = 18 /5 = 3,6.
2. La suite (un) est une suite arithmétique de raison −15 et telle que u1 = 1000.
Le premier entier naturel n tel que un inférieur ou égal à 250 est :
A. 49 ;  B. 50 ; C. 51, vrai  ; D. 52.
un = u1 + (n-1) r ; n-1= (un-u1) / r  ; n =1+ (un-u1) / r = 1 +(250-1000)/(-15).
n=51. A partir du terme de rang 51, un est inférieur ou égal à 250.
3. On sait que la population d’une ville était de 235 000 habitants le 1er janvier 2013 et que cette population augmente de 1,5% par an. Le 1er janvier 2020, une estimation de la population de cette ville, arrondie à l’unité, sera de :
A. 260814, vrai  ; B. 264726 ; C. 625105;  D. 4015195.
Suite géométrique de raison q = 1,015 et de premier terme u0 = 235000.
u7 = u0 q7 = 235000 x1,0157 = 260814.
4. Dans le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de calcul automatisé, se trouve le premier terme u1 d’une suite géométrique (un) de raison 0,8. On a u1 = 150.

A
 B
 C
 D
 E
 F
1
 1
 2
 3
 4
 5
 6
2
 150




La formule à entrer dans la cellule B2, destinée à être recopiée vers la droite jusqu’à la cellule F2 et qui permet d’afficher les termes suivants de cette suite, est :
A. =$ A2*0,8 ; B. =A2*0,8  vrai ; C. =150*$A1 ; D. =A2*0,8^A1.
5. Le tableau ci-dessous résume une partie des informations concernant les pratiques artistiques et sportives de 400 élèves d’un lycée.
Nombre d'élèves...
 pratiquant une activité artistique
 ne pratiquant pas d'activité artistique
 Total
pratiquant un sport
 90
 150
 240
ne pratiquant pas de sport
 90
 70
 160
Total
 180
 220
 400
On choisit un élève de ce lycée au hasard.
a. La probabilité que l’élève choisi pratique un sport et une activité artistique est :
A. 90 ; B. 0,175 ; C. 0,225, vrai  ; D. 0,825.
90 / 400 = 0,225.
b. Sachant qu’un élève pratique un sport, la probabilité qu’il pratique une activité artistique est :
A. 0,375, vrai ; B. 0,45 ; C. 0,225 ; D. 0,825.
90 / 240=0,375
c. La probabilité qu’un élève de ce lycée choisi au hasard pratique un sport ou une activité artistique est :
A. 0,375 ; B. 0,175 ; C. 0,325 ; D. 0,825, vrai.
(240 +180 -90 ) /400 =0,825










Antilles.
Le tableau ci-dessous donne le nombre de maladies professionnelles ayant entrainé un arrêt de travail de 2003 à 2010 :

 A
 B
 C
 D
 E
 F
 G
 H
 I
1
 Année
 2003
 2004
 2005
 2006
 2007
 2008
 2009
 2010
2
Rang de l'année xi 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
3
 Nombre de maladies professionnelles yi
 34600
 36900
 41300
 42300
 43800
 45400
 49300
 50700
Source : Caisse Nationale d’assuranceMaladie des Travailleurs Salariés
1. Représenter le nuage de points de coordonnées (xi, yi).
2. a. Déterminer les coordonnées exactes du point moyen G de ce nuage de points.
b. Placer le point G sur le graphique précédent.
xi=(1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 ) / 8 =4,5.
yi=(32600 +36900 +41300 +42300 +43800 +45400 +49300 +50700) /8=43037,5.
3. On considère que la droite (D) d’équation y = 2244x +32939,5, réalise un ajustement du nuage de points.
a. Vérifier par le calcul que le point G appartient à la droite (D).
b. Tracer la droite (D) sur le graphique précédent.
2244 x4,5 +32939,5=43037,5 =yG.
Les coordonnées de G vérifient l'équation de la droite (D). G appartient à cette droite.

4. Déterminer par le calcul le nombre de maladies professionnelles ayant entrainé un arrêt de travail prévu par l’ajustement de la question 3. en 2014 ? ( On donnera le résultat arrondi à la centaine).
Rang de l'année 2014 : x=12 ; y = 2244 x12 + 32939,5=59867,5 ~59900.
5. a. En utilisant le graphique, déterminer l’année, à partir de laquelle l’ajustement de la question 3. prévoit que l’on dépassera 62 000 maladies professionnelles ayant entrainé un arrêt de travail.
b. Retrouver par un calcul, le résultat de la question 5.a.
2244x +32939,5 >62000 ; 2244 x > 62000-32939,5 ; 2244 x > 29060,5 ; x >29060,5 / 2244 ; x >12,95.
( x >13). en 2015 on dépassera 62000 maladies professionnelles ayant  entraînées un arrêt de travail.

Le tableau ci-dessous, extrait d’une feuille de tableur, donne l’évolution du nombre de mariages en France de 2007 à 2011.

 A
 B
 C
 D
 E
 F
1
 Année
 2007
 2008
 2009
 2010
 2011
2
 Nombre de mariages
 273669
 265404
 251478
 251654
 236826
3
 taux d'évolution par rapport à l'année précédente
-3,02%
 -5,25%
 0,07 %
 -5,89 %
Source : INSEE, estimations de population-statistiques de l’état civil
  On précise que les cellules C3 à F3 ont au format pourcentage avec deux décimales.
1. Une formule a été saisie dans la cellule C3 puis recopiée vers la droite jusqu’à la cellule F3 pour calculer le tauxd’évolution du nombre demariages en France entre deux années consécutives de 2007 à 2011.
Parmi les formules ci-dessous, une et une seule est exacte.
a. =(C2-B2)/C2  ; b. =C2/B2 ; c. =(C2-$ B2)/$ B2 ; d. =(C2-B2)/B2 . Vrai.
Recopier la réponse choisie sur la copie.
2. Montrer que le nombre de mariages en France a baissé d’environ 13,46% entre 2007 et 2011.
(236826 - 273669) / 273669 x100 = -13,46 %.
3. On considère qu’à partir de 2011, le nombre de mariages continue à baisser chaque année de 3,55%. Pour tout entier n positif ou nul, on note un le nombre de mariages en France pour l’année (2011+n). Ainsi u0 = 236826.
a. À l’aide de ce modèle, estimer le nombre de mariages en France en 2012.
u1=u0 x(1-0,0355)=0,9645 u0=0,9645 x 236826=228419.
b. Justifier pour tout entier n l’égalité : un+1 = 0,9645×un.
c. En déduire la nature de la suite (un) et préciser sa raison.
d. Pour tout entier n, exprimer un en fonction de n.
Chaque élément est obtenu en multipliant le précédent par 0,9645. La suite  est géométrique de raison q = 0,9645
un = 0,9645n u0.
e. Selon ce modèle, à partir de quelle année le nombre de mariages en France deviendrait-il inférieur à 200 000 ?
0,9645n u0 < 200000 ; n log 0,9645 + log u0 < log 200000 ;
-0,0157 n + 5,374 < 5,301 ; -0,0157 n < -0,073 ; n >0,073 / 0,0157 ; n > 4,6 ; on retient x = 5 ( année 2016 ).


Antilles septembre.
L’indice de masse corporelle d’une personne (IMC) se calcule grâce à la formule suivante : IMC = Masse / (Taille)2 dans laquelle lamasse est exprimée en kilogramme et la taille en mètre.
On précise qu’une personne est en surpoids si son IMC est supérieur ou égal à 25.
On a demandé à un groupe de 10 élèves de donner leur masse et leur taille. Les données ont ensuite été consignées dans une feuille automatisée de calcul reproduite ci-dessous :

A
 B
 C
 D
 E
 F
 G
 H
 I
 J
 K
1
 Elève n°
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
 10
2
 Masse ( kg)
 54
 65
 64
 70
 72
 61
 64
 76
 45
 78
3
 Taille (m)
 1,73
 1,84
 1,65
 1,62
 1,70
 1,74
 1,86
 1,57
 1,60
 1,71
4
 IMC
 18,0
 19,2
 23,5
 26,7
 24,9
 20,1
 18,5
 30,8
 17,6
 26,7
La ligne 4 est au format nombre avec une décimale.
1. Quelle formule a été saisie dans la cellule B4 puis recopiée vers la droite jusqu’à la cellule K4 pour calculer l’IMC des 10 élèves ?
=B2/(B3*B3)
2. Quelle est la proportion d’élèves en surpoids dans ce groupe ? On exprimera le résultat en pourcentage.
3 élèves sur 10 sont en surpoids soit 3 *100 / 10 = 30 %.
 En 2012, en France, on comptait une proportion d’hommes d’environ 47,5%.
Environ 42% des femmes et 54% des hommes étaient en surpoids. (source : rapport OBEPI 2012)
On choisit une personne au hasard dans la population française, chaque personne ayant la même probabilité d’être choisie.
On désigne par les lettres F, H et S les évènements suivants :
F : « la personne choisie est une femme »
H : « la personne choisie est un homme »
S : « la personne choisie est en surpoids »
1. a. Donner la probabilité que la personne choisie soit une femme. On note P(F) cette probabilité.
p(F) = 1-0,475 = 0,525.
b. Donner la probabilité que la personne choisie soit en surpoids sachant que c’est un homme.On note PH (S) cette probabilité.
PH (S)=0,54.
2. Compléter l’arbre des probabilités donné dans l’annexe, à rendre avec la copie.

a. Décrire par une phrase l’événement suivant H ∩S. et calculer sa probabilité.
La personne est un homme en surpoids.P(H ∩S) = 0,2565 ~0,26.
3. Montrer que : P(S)= 0,477.
4. Les évènements S et H sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
P(H) x P(S) = 0,475 x 0,477 = 0,2266, valeur différente de P(H ∩S). Les évenements S et H ne sont pas indépendants.
 5. Calculer la probabilité de choisir un homme sachant que la personne choisie est en surpoids. On donnera le résultat arrondi à 0,001 près.
PS(H) = P(H ∩S) / P(S) =0,2565 / 0,477 ~0,538.

Le tableau ci-dessous donne la population française, hors Mayotte, de l’année 2004 à l’année 2013.
Année
 Rang de l'année ( xi)
 Population ( yi) en milliers
2004
 1
 62251
2005
 2
 62731
2006
 3
 63186
2007
 4
 63601
2008
 5
 63962
2009
 6
 64305
2010
 7
 64613
2011
 8
 64949
2012
 9
 65281
2013
 10
 65586
Source : INSEE (en 2011, 2012 et 2013, les données sont provisoires)
On donne, en annexe, le nuage de points Mi (xi ; yi ).

1. a. Montrer que les coordonnées du point moyen G du nuage de points  sont (5,5 ; 64 046,5), puis placer G sur le graphique.
xi =(1+2+3+4 +5+6+7 +8+9+10) /10=5,5.
yi = (62251 +62731 +63186 +63601 +63962 +64305 +64613 +64949 +65281 +65586) / 10 =64046,5.
b. On admet que la droite D de coefficient directeur 364 passant par le point G constitue un ajustement du nuage de point .
Montrer que l’équation réduite de la droite D est : y = 364x +62044,5.
La droite d'équation y = 364 x+b passe par G( 5,5 ; 64046,5) : 64046,5 = 364 x5,5 +b, d'où b =62044,5.
c. Tracer la droite D sur le graphique.
2. En utilisant l’ajustement précédent, déterminer par le calcul, une estimation de la population française hors Mayotte, en 2015.
x = 12 ; y = 364 x12 +62044,5 = 66412,6 en milliers d'habitants.
 En quelle année, selon l’ajustement de la question 1. b., la population française, hors Mayotte, dépasserait-elle 67 000 milliers d’habitants ?
364x +62044,5 > 67000 ; 364 x > 67000-62044,5 ; 364 x >4955,5 ; x > 4955,5 / 364 ; x >13,6. x = 14, année 2017.

Nlle Calédonie.
Le tableau suivant donne l’évolution du nombre d’interruptions volontaires de grossesse (I.V.G.)médicamenteuses dans les villes des départements d’outre-mer de 2005 à 2011.
Année
 2005
 2006
 2007
 2008
 2009
 2010
 2011
Rang (xi)
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
Nombre d'IVG médicamenteuse (yi)
 543
 952
 1338
 1642
 1967
 2467
 2511
Source : DREES,Ministère des affaires sociales et de la santé
1. Calculer le taux d’évolution du nombre d’I.V.G.médicamenteuses entre 2010 et 2011. Arrondir le résultat à 0,1%.
(2511-2467) / 2467 x100 =1,78 ~1,8 %.
2. Représenter sur une feuille de papiermillimétré le nuage de points.
3. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. On arrondira l’ordonnée de G à l’entier.
xi =(1 +2 +3 +4 +5 +6 +7) / 7 =4.
yi=(543 +952 +1338 +1642 +1967 +2467 +2511) / 7 ~1631.
Dans toute la suite de l’exercice, on prendra pour coordonnées de G(4 ; 1 631).

4. Soit le point A(0 ; 265).
a. Tracer la droite (AG) sur le graphique du nuage de points
b. Montrer que la droite (AG) a pour équation : y = 341,5x +265.
La droite d'équation y = ax+b passe en A ; 265= 0 +b.
La droite passe en G : 1631 = 4a +265 d'où a = (1631-265) / 4 = 341,5.
5. On admet que la droite (AG) est un ajustement affine pertinent du nuage de points qui permet d’effectuer des estimations au-delà de 2011. En utilisant cet ajustement affine, calculer :
a. le nombre d’I.V.G.médicamenteuses dans les villes des départements d’outremer en 2014 ;
x = 10 ; y = 3415+265 = 3680.
b. l’année à partir de laquelle le nombre d’I.V.G. médicamenteuses dans les villes des départements d’outre-mer dépassera 4 500.
341,5x +265 > 4500 ; 341,5 x > 4235 ; x > 4235 / 341,5 ; x >12,4 ; x = 13, année 2017.

Chaque année on déplore des accidents de la route mortels (c’est-à-dire ayant entraîné un décès au moins).
Le tableau ci-dessous indique le nombre de conducteurs de voiture de tourisme impliqués dans un accident mortel en 2011, en fonction de leur alcoolémie et du port
de la ceinture de sécurité.

Test d'alcoolémie positif
 Test d'alcoolémie négatif
 Total
Nombe de conducteurs ceinturés
 383
 2185
 2568
Nombre de conducteurs non ceinturés
 167
 92
 259
Total
 550
 2277
 2827
Source : ONISR, Fichier des accidents
Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale et arrondis au millième.
On prélève au hasard le dossier d’un conducteur parmi les 2 827 conducteurs impliqués dans des accidents mortels.
On considère les évènements suivants :
A : « Le test d’alcoolémie du conducteur était positif au moment de l’accident » ;
C : « Le conducteur était ceinturé au moment de l’accident ».
1. Calculer la probabilité que le test d’alcoolémie du conducteur ait été positif au moment de l’accident.
P(A) =550 / 2827 ~0,195.
2. Calculer la probabilité que le conducteur n’ait pas été ceinturé au moment de l’accident.
259 / 2827 ~ 0,092.
3. a. Décrire par une phrase l’évènement suivant.et montrer que sa probabilité  est environ égale à 0,227.
Le conducteur n'était pas ceinturé ou bien le  test d'alcoolémie était positif.

4. a. Quelle est la probabilité que le conducteur n’ait pas été ceinturé, sachant que son test d’alcoolémie était négatif ?

b. Calculer la probabilité suivante.

c. Comparer ces deux derniers résultats et commenter par une phrase.
En buvant, on oublie de mettre la ceinture.


  

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