Aurélie mars 2001


nombres compexes en électricité

complexes , puissance, Thévenin, Fresnel

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1

modèle de Thevenin

puissances

On considère le montage suivant : V=10 V; R1=5W; 1/(Cw)=2W; R2=3W; Lw=5W; f=1 kHz.

  1. Déterminer les éléments du modèle équivalent de Thévenin du dipôle AB.
  2. On branche entre A et B un dipôle d'impédance complexe Z=R3+jX3. La puissance active reçue par ce dipôle doit être maximale. Déterminer R3 et X3. Préciser la nature de ce dipôle.
  3. Bilan de puissances : après avoir déterminé l'intensité, la tension UAB, calculer les puissances active, réactive, apparente reçue par la charge Z. application numérique R3= 1 W puis 3W.
  4. Tracer le diagramme de Fresnel représentant v, i et uAB.

corrigé


toutes les grandeurs, intensité, tension et impédances sont complexes

on peut leurs appliquer les lois du courant continu

modèle de Thévenin : calcul de Zth

supprimer la source de tension

impédance de la brance {R1 C} : Z1= R1-j /(Cw) = 5-2j

Z1 en dérivation avec R2 : impédance de l'ensemble Z2 = R2Z1/(R2+Z1)=3(5-2j) / (5-2j+3)

Z2 = (132-18j) /68 =1,941-0,265j

Z2 en série avec L : impédance Zth : Z2+jLw= 3(5-2j) / (8-2j) +5j

Zth =1,941+4,735j.

soit Z²th = (1,941²+4,753²) et Zth =5,11 W.

j1 = tan-1(4,753 / 1,941)= 67,8°.

calcul de ETh = UAB (circuit ouvert) = UDB.

pas de courant dans L en circuit ouvert.

UDB=R2i =V-Z1 i d'où i = V/(Z1+R2) 10/(8-2j)= 5/17(4+j)=1,176+0,294j.

E th = R2i = R2V /(Z1+R2)=3*(1,176+0,294j)

E th = 3,53 + 0,882j.

soit E²th = (3,53²+0,882²) et Eth =3,64 W.

j2 = tan-1(0,882 / 3,53)= 14°.


puissance active absorbée par Z :

la puissance absorbée par Z est maximale lorqu'il y a adaptation d'impédance

impédance Z = conjugué de l'impédance de la source

R3= 1,941 W et jX3 = -4,735j.

il s'agit d'un condensateur de capacité C associé à une résistance :

w=2*3,14*100=6280 rad/s

1(Cw)=4,735 d'où C = 33,6 mF.


intensité, tension aux bornes de la charge Z, puissances:

les impédances Z et Zth sont en série aux bornes de la source de f.e.m complexe Eth.

Z et Zth = (1,941+ R3) + j (4,735 + X3) = 1,941+ R3.

intensité dans Z : i = Eth / (Z+Zth)= Eth / (1,941+ R3) (1)

tension aux bornes de Z : u = Z i = Z Eth / (Z+Zth)= Z Eth / (1,941+ R3) (2)

u =(R3-4,735j)(3,53+0,882j) / (1,941+ R3)

puissance complexe dans Z : ½ u i*

puissance active = partie réelle de la puissance complexe

puissance réactive = partie imaginaire de la puissance complexe

application numérique : R3=1W.

i = Eth / 2,941 = 1,2 +0,3j

j3= tan-1(0,3 / 1,2)= 14° .

I² = 0,3²+1,2² d'où I = 1,24 A

u = 2,62 -5,38j

j4= tan-1(-5,28 / 2,62)= -63,6° .

U² = 2,62²+5,28² d'où U = 5,9 V

puissance complexe : 0,5(2,62 -5,38j)(1,2 +0,3j)

p = 2,36 -2,83j

puissance active consommée : P = 2,36W

puissance réactive stockée puis restituée : Q= - 2,83 VAR

puissance apparente: S²=P²+Q² d'où S = 3,68 VA


V origine des phases

(1) donne arg i = arg Eth= 14°  

Z = 1-4,735j donc arg Z= tan-1(-4,735 / 1 ) = -78°

(2) donne arg u = arg Eth + arg Z =14-78 = -64°.

 

 


2

impédance

puissance

Fresnel

 

On considère le montage suivant : Ueff = 220 V; R1=1W; 1/(Cw)=3W; R2=3W; L1w=1W; L2w=3W

  1. Exprimer l'impédance complexe de chaque branche, l'impédance complexe du circuit et calculer les éléments de l'impédance réelle.
  2. Calculer les puissances active et réactive absorbées par ce montage.
  3. Donner les expressions complexes des courants traversant chaque branche et de la tension u1.
  4. Représenter les vecteurs de Fresnel associés à u, i, i1, i2, u1. On prend u comme origine.
  5. En déduire le vecteur de Fresnel associé à u2, puis l'expression temporelle de u2.

corrigé


toutes les grandeurs sont complexes : impédances

branche {L1 R1}: R1+jL1w = 1+j

branche {R2 C} : R2-j/(Cw)=3-3j

branche {L2 }: jL2w = 3j

branche {R2 C} et branche {L2 }en dérivation :

dipole équivalent aux deux branches en dérivation , impédance Z1

Z1 = 3j(3-3j) / (3j+3-3j) = j(3-3j) = 3+3j =3(1+j)

Z1 en série avec branche {L1 R1}: d'où Z ensemble = 1+j +j(3-3j) = 4+4j

remarque : les impédances Z1 et Z en série ont le même argument.

impédance réelle : R=4W et dipole inductif Lw= 4W.

module de Z : rac carrée(4²+4²)= 5,65 W.

u =Z i ou arg u = arg Z+ arg i

si argu = 0, origine des phases alors arg Z= -arg i

arg Z= 4/4 = 1 d'où j = tan-1(1) = 45°

intensité fournie par l'alimentation en retard 45 ° sur la tension.


puissances :

I eff = 220 / 5,65 d'où Ieff = 38,9 A

puissance active : P = Ueff Ieff cos 45 = 220 *38,9*0,707 = 6 kW

puissance réactive : Q = Ueff Ieff sin 45 = 6 kVAR

autre méthode, à partir de la puissance complexe p =½ui*

i = u / Z = u / (4+4j) = u(4-4j) / 32 = u / 8 (1-j) = 220*1,414/8 (1-j) = 38,9 (1-j)

puissance complexe : 0,5 *220*,1414*38,9(1+j) = 6050(1+j)

puissance active = partie réelle de p : 6 kW

puissance réactive = partie imaginaire de p : 6 kVAR


intensité complexe dans chaque branche :

branche {L1 R1}: intensité fournie par l'alimentation

i = u / Z = u / (4+4j) = u(4-4j) / 32 = u / 8 (1-j) = 220*1,414/8 (1-j) = 38,9 (1-j)

branche {R2 C} : impédance 3-3j

intensité complexe i1 : u2 = (3-3j) i1 .

branche {L2 }: impédance 3j

intensité complexe i2 : u2 = 3j i2 .

d'où une relation entre i1 et i2 : j i2 =(1-j) i1 soit i2 = -(1+j) i1.

loi des noeuds : i = i1+ i2 = i1-(1+j) i1= -j i1soit i1 = j i et i2 =(1-j)i.


tension complexe u1 :

u1 = (1+j) i = (1+j) *27,5 *(1-j) = 27,5 (1-j²) =55.

u2(t) = (220-55)*1,414 cos(wt)

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