Autour de la planète Jupiter gravitent des satellites naturels. Les quatre plus gros sont Io, Europe, Ganymède et Callisto. Dans un référentiel centré sur Jupiter supposé galiléen, on considère que le centre de chacun des satellites est animé d'un mouvement circulaire uniforme autour du centre J de Jupiter. Sur la figure 1 (ci-dessous), on a représenté uniquement la trajectoire du centre d’inertie E d'Europe. Les trajectoires des autres satellites appartiennent sensiblement à ce même plan qui contient aussi le centre T de la Terre.

Une revue d'astronomie a publié les courbes donnant les variations, en fonction du temps, de l'ordonnée y de chacun des quatre satellites dans le repère orthonormé . (voit figure 1). Les courbes ou éphémérides obtenues entre le 21 avril 1997 à 00 h 00 et le 2 mai 1997 sont données en annexe 1 à rendre avec la copie.

Pendant la durée de l’observation, la Terre sera considérée comme immobile par rapport au référentiel choisi. La distance TJ est très grande devant le rayon des trajectoires des satellites. La figure n'est pas à l'échelle.

1. Sur la figure 1 ci-dessus, on a noté K, L, M et N les positions particulières d'Europe quand sa trajectoire coupe les axes Jx et Jy. Sur le document 1 fourni en annexe 1, on a placé un point K’ qui correspond à un passage du satellite Europe au point K de sa trajectoire. Placer sur le document 1, les points L’, M’ et N’ qui correspondent respectivement aux passages successifs du satellite Europe par les points L, M et N.
2. Sur cette courbe yE = f(t), quel couple de points permet de déterminer la demi-période de révolution du satellite Europe. Donner sa période de révolution en jours.
3. De même, quel couple de points permet de déterminer le diamètre de la trajectoire du satellite Europe. Donner ce diamètre en km.
4. Identifier le satellite le plus proche de Jupiter puis le satellite ayant la plus grande période de révolution.

On considère que chaque satellite de masse m n’est soumis qu’à la seule force gravitationnelle de la part de Jupiter de masse M et que les astres ont une répartition de masse à symétrie sphérique. On note r le rayon de la trajectoire circulaire décrite par les satellites autour de Jupiter. r représente la distance entre le centre de Jupiter et le centre du satellite étudié.

1. Donner l’expression vectorielle de la force de gravitation exercée par Jupiter sur un satellite. Représenter cette force sur un schéma.
2. Montrer qu’un satellite est animé d'un mouvement uniforme et exprimer sa vitesse .G représente la constante universelle de gravitation.
3. Choisir parmi les quatre propositions ci-dessous celle qui correspond au satellite le plus rapide. Justifier.
   -le plus proche de Jupiter
   -le plus loin de Jupiter
   -le plus léger
   -le plus lourd
4. À partir de l'expression de la vitesse, établir l’expression de la période de révolution T d’un satellite autour de Jupiter en fonction de r et des grandeurs de l’exercice.
5. Établir la troisième loi de Kepler
6. L’étude des mouvements des satellites de Jupiter, réalisée dans la partie 1, permet de déterminer la période et le rayon de l’orbite de chaque satellite. Sur le graphe ci-dessous, on a représenté pour chaque satellite, les valeurs des couples (r ³ , T ² ).

a. En observant ce graphe, pourquoi peut-on dire que la troisième loi de Kepler est vérifiée ?

b. L’équation de la meilleure droite passant par les points obtenus est :T ² = 3 × 10 ^-16 r ³ . En déduire l’ordre de grandeur de la masse de Jupiter.

On prend p ² = 10 et G = 1 ×10 ^-10 unité SI.