Les lampes halogènes basse tension sont de plus en plus utilisées pour des raisons de sécurité (tension admise même dans les pièces d'eau) mais aussi pour la lumière chaleureuse qu'elles procurent. Le dispositif étudié agrémente encore leur utilisation en produisant un allumage et une extension progressive ainsi qu'un réglage de l'intensité lumineuse en fonction de l'éclairage ambiant. Le synoptique présente globalement les fonctions intervenant dans ce système.

Indications : tous les composants sont considérés comme parfaits :

- Notation des valeurs instantanées des grandeurs variables au cours du temps : v pour v(t), i pour i(t), ...

- Les circuits intégrés ont une impédance d'entrée infinie et une impédance de sortie nulle

- Les amplificateurs opérationnels ont leurs tensions de saturation confondues avec les tensions d'alimentation

- Les tensions d'alimentation sont les suivantes :

Pour les amplificateurs opérationnels :± V_CC = ± 15 V; pour le circuit logique :V_CC = 15 V ; pour le hacheur : V_DD = 12 V.

La lampe halogène LH soumise à une tension continue U, traversée par un courant d'intensité I, absorbe une puissance P et produit un flux lumineux . Le constructeur indique les caractéristiques nominales suivantes: U=12 V; P= 36 W; F= 3000 lm. Une étude expérimentale de la lampe alimentée sous tension variable a permis d'obtenir la courbe U(I) :

Par ailleurs, une mesure qualitative du flux lumineux montre que celui-ci croît avec la tension appliquée à la lampe.

1. A partir des données constructeur, calculer l'intensité du courant I pour une tension continue U de 12 V.
2. D'après la caractéristique U(I)
   -Peut-on considérer la lampe comme un dipôle linéaire ? Justifier.
   -Que peut-on alors dire de sa résistance ?
3. Compléter le tableau en relevant les valeurs de l'intensité du courant I et en calculant la puissance P correspondante.

   puissance (W)	flux lumineux (lm)	tension U (V)	intensité I(A)
   36	Fmax= 3000	12
   	F1	6
   	F2	4
   	F3	3

4. Ordonner les flux lumineux F_max, F₁ , F₂ , F₃ du tableau par valeurs croissantes.

étage de puissance : la lampe est alimentée par un hacheur dont le schéma est donné :

Le transistor T fonctionne en commutation et se comporte comme un interrupteur à savoir :

- si v₁ > 3 V, v_T = 0 V (interrupteur fermé) ; - si v₁ = 0 V, i_T = 0 A (interrupteur ouvert).

La bobine d'inductance L maintient le courant i_LH toujours strictement positif. La diode D, supposée parfaite, se comporte comme un interrupteur ouvert ou fermé.

1. Ecrire la relation entre les tensions v_D, v_LH, et v_B. Notation : <v> désigne la valeur moyenne de la tension v.
2. Sachant que <v_B> = 0, montrer que les valeurs moyennes des tensions v_D et v_LH sont égales.
3. La tension de commande v₁ est représentée ci-dessous :

   - Compléter les chronogrammes en traçant les tensions v_T et v_D.

4. Montrer que <v_D> est proportionnelle au rapport cyclique de la tension v₁.
5. Application : dans les conditions du document réponse 1
   - déterminer la valeur du rapport cyclique ,
   - en déduire la valeur de <v_D>,
   - à l'aide du tableau du document réponse 1, indiquer la valeur que prend le flux lumineux

la commande du hacheur :

La tension v₁ de commande du hacheur est délivrée par le dispositif représenté :

1. Ce dispositif comporte un comparateur dont la caractéristique v₁ = f(v_e). Le comparateur est-il inverseur ou non inverseur ? Justifier.
2. Exprimer la tension v_e en fonction des tensions v₂ et v₃.
3. Les tensions v₂ et v₃ sont représentées ci-dessous :

   Tracer les tensions v_e puis v₁ en graduant les axes.

4. Dans l'intervalle [0 ; T], la tension v₂ s'écrit v₂ = at + b. Calculer les valeurs numériques de a et b en précisant leurs unités.
5. L'instant t₁ est défini par v₂(t₁) = v₃. Exprimer littéralement t₁ en fonction de a et v₃.
6. En déduire l'expression du rapport cyclique de la tension v₁ et montrer qu'il est proportionnel à la tension v₃.
7. Calculer la valeur numérique de a.
8. Que vaut le rapport cyclique a si la valeur de v₃ dépasse 12 V ?

élaboration de la tension v₃ :

Le dispositif délivrant la tension v₃ est représenté ci-dessous :

1. Etude de la tension v₄ : la table de vérité d'une bascule JK est rappelée ci-dessous.

   J	K	Qn
   0	0	Qn-1
   0	1	0
   1	0	1
   1	1

   Le signal appliqué à l'entrée c_lk est actif sur front montant. BP désigne le bouton poussoir actionné par l'utilisateur de l'éclairage halogène. Un cycle d'états de ce bouton (lâché ou appuyé) est indiqué
   
   a) Représenter la tension v_clk .
   b) La tension v₄ est initialement nulle. A l'aide de la table de vérité de la bascule _JK, compléter le chronogramme de la tension v₄.
2. Etude de la tension v₆
   a) Quel est le mode de fonctionnement du circuit AO₁ ? Justifier.
   b) Quelle est la fonction du circuit AO₁ ?
   c) Calculer numériquement la tension v₅.
   d) Tracer la tension v₆.
3. Etude de la charge du condensateur
   Le condensateur est chargé à courant constant I₀ par une source commandée par la tension v₆, telle que I₀ = K v₆ avec K= 50 10^-6 W^-1. Dans un premier temps, on admet que le limiteur de tension ne joue aucun rôle. Par conséquent, la totalité du courant constant I₀ circule à travers le condensateur.
   a) Rappeler la relation différentielle qui lie l'intensité I₀ et la tension v₃.
   b) En déduire la relation :
   c) On donne . Pour v₆ = 15 V, calculer le terme (K/C₁)v₆ en précisant son unité. Quelle est l'allure de la tension v₃ au cours du temps ? Que représente le terme (K/C₁)v₆ pour la tension v₃ ?
   d) Le limiteur de tension est maintenant actif. Il empêche la tension v₃ de dépasser la tension V_max indiquée sur le document réponse 3. Dans l'intervalle [0 ; 1 s] la tension v₃ est nulle. Compléter le tracé de la tension v₃ dans l'intervalle de temps [1 s ; 6 s].
   e) Reprendre la question c) pour v₆ = -15 V.
   f) Le limiteur de tension empêche aussi la tension v₃ de devenir négative. A l'instant t = 6 s, on a v₃ = V_max. Tracer la tension v₃ pour t > 6 s.
4. Etude de la source de courant commandée : la source de courant utilisée pour charger le condensateur est réalisée selon le schéma ci-dessous :

   On se propose d'exprimer le courant I₀ lorsque l'amplificateur fonctionne en régime linéaire. La capacité C₁ du condensateur et la tension v₃ à ses bornes n'interviennent pas dans ce calcul.
   a) Exprimer l'intensité I₀ en fonction de i₁ et i₂.
   b) Exprimer l'intensité i₁ en fonction des tensions v₆ et v-.
   c) Justifier que les tensions v et v' sont égales. En déduire la relation entre les intensités i₂ et i'₂.
   d) Exprimer i'₂ en fonction de v- et R₃.
   e) Montrer alors la relation I₀ = v₆/R₃.
   f) Calculer la valeur à donner à R₃ pour avoir I₀ = 50 10^-6v₆.
   g) On rappelle que la tension v₆ est produite par le dispositif Figure 6. Pour quelle raison peut-on dire que v₆ est issue d'une source idéale de tension ?

---

---

tension v₄ : BP lâché : v_clk = 0 V ; BP appuyé : v_clk = v_cc

v₄ est initialement nulle.

Sur front montant de v_clk, v₄ = v_cc.

v₄ est maintenant égale à v_cc

Sur front montant de v_clk, v₄ = 0 car Q_n =

Etude de la tension v₆ :

a) AO₁ fonctionne en saturation car il n'y a pas de rebouclage de la sortie sur l'entrée inverseuse.

b) Le circuit AO₁ est un comparteur simple.

L'impédance d'entrée du circuit intégré est infinie donc i^- = 0

On reconnait un diviseur de tension : v₅ = R₂ / (R₂+R₂ ) v_cc = v_cc/2 soit v₅ = 7,5 V

d) si v₄ > v₅ alors v₆ = +v_cc = 15 V

si v₄ < v₅ alors v₆ = -v_cc = -15 V

 

Etude de la charge du condensateur :

a) I₀ = C dv₃ /dt

b) I₀ = Kv₆= C dv₃ /dt d'où : dv₃ /dt =Kv₆/ C

c) Kv₆/ C = 50 10^-6*15 / 250 10^-6 = 3 V W^-1 F^-1.

La tension v₃ croît linéairement au cours du temps car sa dérivée est une constante. La représentation de v₃(t) est une droite.

Le terme Kv₆/ C est le coefficient directeur de la droite.

e)Kv₆/ C = 50 10^-6*(-15) / 250 10^-6 = -3 V W^-1 F^-1.

Etude de la source de courant commandée :

a) I₀ = i₁ + i₂ car i⁺ = 0

b) AO₂ fonctionne en régime linéaire donc v⁺ = v^- : i₁ = (v₆-v^-) / R₃.

c) v' = v₅ - v^- ; v = v₅ - v⁺ ; v^- = v⁺

donc v' = v et i'₂ = i₂

d) i'₂ = v^- / R₃ car i- = 0

e) I₀ = i₁ + i₂

I₀ =( v₆-v^-) / R₃+ v^- / R₃= v₆ / R₃.

f) R₃ = 20 kW.

g) v₆ est la tension de sortie de AO₁ qui a une impédance de sortie nulle.

---

élaboration de la tension V_max : le circuit qui délivre la tension V_max est représenté ci-dessous

La tension V_max dépend de la consigne de l'utilisateur d'une part et de l'intensité lumineuse ambiante d'autre part. Une photorésistance PH sert de capteur d'éclairement mesuré en lux. Sa résistance R_PH varie en fonction de l'éclairement. Le constructeur indique les caractéristiques suivantes :

Eclairement	RPH
obscurité	1 MW
10 lux	9 kW
1 000 lux	400 W

1. Etude de la conversion éclairement - tension
   La photorésistance est insérée dans un pont diviseur de tension. On suppose le courant i_R6 négligeable devant i_ph.
   - Calculer la valeur de la résistance R₅ pour qu'un éclairement de 1 000 lux produise une tension V_lum de 12 V.
2. Le circuit construit autour de AO₃ est un soustracteur.
   - D'après le schéma donner la relation entre les tensions V_max, V_lum et V_consigne.
   -Calculer la tension V_max pour un éclairement de 1 000 lux et une tension de consigne V_consigne = 15 V.

On se propose d'examiner la situation suivante :

En plein jour (éclairement de 1000 lux), un utilisateur donne un ordre de mise en marche de la lampe par une action sur le bouton poussoir BP. La tension de consigne est préréglée à V_consigne = 15 V.

1. En exploitant les résultats trouvés précédemment, décrire comment évolue le flux lumineux produit par la lampe.
2. Combien de temps faut-il au flux lumineux pour se stabiliser ?
3. Compléter le tableau :
   

   Eclairement : 1000 lux ; Vconsigne = 15 V
   Vlum(V)	Vmax(V)	Après stabilisation
   		Rapport cyclique a	Tension moyenne aux bornes de la lampe <VLH> (V)	Flux lumineux

4. Progressivement la lumière ambiante baisse jusqu'à l'obscurité complète.
   -Compléter le tableau :
   

   obscurité ; Vconsigne = 15 V
   Vlum(V)	Vmax(V)	Après stabilisation
   		Rapport cyclique a	Tension moyenne aux bornes de la lampe <VLH> (V)	Flux lumineux

   
   - Décrire brièvement comment réagit le système.