Aurélie déc 2001
série de Fourier
fonction 1/4 ( et + e-t)
fonction en dents de scies

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Toute fonction réelle f(x) de période a, peut se mettre sous la forme :

où a0, an, bn sont des nombres réels appelés coefficients de Fourier réels de f(x).

ces coefficients s'obtiennent de la manière suivante :


sur [-p ; p]

la fonction est symétrique par rapport à l'axe vertical ; f(x) est paire donc bn = 0

calcul de a0 :

calcul de an :

intégration par partie en posant u' = et+e-t ; primitive u = et-e-t ;

v = cos(nt) ; dériver v' = -n sin(nt) .

calcul de I :

intégration par partie en posant u' = et-e-t ; primitive u = et+e-t ;

v = sin(nt) ; dériver v' = n cos(nt) .

J est le résultat du premier calcul d'où :

J = 2(ep -e-p) cos(np) -n² J

par suite J = 2(ep -e-p) cos(np) / (1+n²)

et en multipliant J par 1/ (4p) on trouve an.

an = (ep -e-p) cos(np) / ((1+n²)2p).

a1 = -(ep -e-p) / (4p) ; a2 = (ep -e-p) / (10p) ; a3 = -(ep -e-p) / (20p) ;

f(t) = (ep -e-p) / (4p) [ 0,5- cos( t) + 1 / 2,5 cos(2t) - 1 / 5 cos(3t) + ......

sur [ -½a ; ½a]

la fonction est symétrique par rapport à lorigine ; f(t) = - f(-t) est impaire donc an = 0

calcul de a0 :

calcul de bn :

intégration par partie en posant u = ht /a ; dériver u' = h/ a ;

v' = cos(2pnt / a) ; primitive v = a / 2pn (cos(2pnt / a) .

d'où :

quelques valeurs : b1 = h/p ; b2 = -h/(2p) ; b3 = h/(3p)

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