Aurélie oct 2001
petite spire dans un champ magnétique non uniforme

Capes 97 .

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Une petite spire carrée de coté a, mobile autour d'un axe D=Mz , est placée au voisinage d'un aimant droit fixe qui crée un champ magnétique non uniforme (figure 1) . Le coté a est suffisamment faible pour que l'on puisse admettre que :

- la force F qui s'exerce sur l'un des cotés peut être évaluée en considérant que le coté est est dans un champ magnétique uniforme .

- la spire est soumise à un couple dont le moment par rapport à l'axe D est : MD = -M B sin q avec M le moment magnétique de la spire.

- la spire posséde l'énergie potentielle Ep= -MB cosq.

Les échelles ne sont pas respectées (figures 1 et 2). Le champ magnétique crée par l'aimant en un point de coordonnées x, y, z a pour composantes Bx, By, Bz. Une représentation dans le plan (O, Ox, Oy) est donnée figure 2. On dispose des informations suivantes :

- En M (x, 0, 0): Bx= Bx(x, 0, 0); By = Bz=0 par raison de symétrie

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- par raison de symétrie , on écrit : Bx(P1) = Bx(P3) et Bx(P2) = Bx(P4)

- en (x, 0, 0)

  1. Quelle propriété importante du champ magnétique est traduite par la relation (1)? Quelle est le signe de dBx/dx. Justifier.
  2. Donner une justification simple de l'expression proposée Bz(P1).
  3. Quelle est la position de la normale n lorsque la spire est en position d'équilibre stable vis à vis de la rotation autour de l'axe D?
  4. Etablir les expressions des quatre forces et en déduire leur somme F en faisant apparaître M et dBx/dx..
  5. On peut utiliser une autre méthode qui ne détaille pas les expressions des 4 forces précédentes. On vient de démontrer ci dessus que pour des raisons de symétrie la force F est parallèle à Ox. En admettant ce fait et en utilisant l'énergie potentielle, retrouver l'expression de F.
  6. En partant de l'expression de F,prévoir si la spire de la figure 1 est repoussée ou attirée par l'aimant. Justifier l'observation expérimentale du programme de terminale S " un pôle d'aimant et une face de spire s'attirent ou se repoussent selon le sens du courant dans la spire"
  7. Une petite spire circulaire fermée, de rayon b, de résistance R, non alimentée par un générateur, centrée sur Ox, perpendiculaire à Ox est animée d'un mouvement de translation à la vitesse v (vitesse ayant la direction et le sens de Ox) dans une région où un aimant ou une bobine crée un champ magnétique. Au voisinage de l'axe Ox, en P ( de coordonnée x>0 sur Ox, à la distance r de ox) ce champ magnétique a pour coordonnées (figure3)
    - une coordonnée sur Ox : bx = A / x3 où A est une constante positive
    - une coordonnée radiale Br = 3A/2 r / x4 sur l'axe passant par P, perpendiculaire à Ox, et orienté de Ox vers P.

    - Quel moment magnétique peut-on attribuer à cette spire?
    - Exprimer la force F exercée sur elle par l'aimant quand elle est en m(x, 0, 0) en fonction de A, x, v, b R.
    - Quel est le sens de cette force?
    - Quel phénomène connu est mis en évidence?


La relation (1) traduit le fait suivant :

le champ décroît quand on s'éloigne de l'aimant.


expression de Bz(P1) :

faire un développement limité au voisinage de z=0


A la position d'équilibre stable le vecteur n normal à la spire est colinéaire et de même sens que le vecteur champ magnétique, soit orienté vers Ox.
expressions des 4 forces :

on effec tue la somme de ces quatre forces en teant compte de la relation (1) :

la somme des forces peut être déterminée à partir de l'énergie potentielle:


spire repoussée ou attirée ?

l'intensité I va de A1 vers A2 (figure 1), le moment magnétique de la spire est dirigé suivant Ox ,soit M>0

dBx / dx est négatif

la somme des forces est donc dirigée suivant -Ox: la spire est attirée par l'aimant.

si l'on change le sens du courant dans la spire, le moment magnétique change de sens et également la force: dans ce cas la spire et l'aimant se repoussent.


phénomène d'induction :

La spire se déplace dans une région où règne un champ magnétique variable:

elle est donc parcourue par un courant induit du fait de la variation du flux..

la f.e.m induite est donnée par e = - dF /dt.

choix d'un sens de parcours sur la spire:

expression du flux du champ magnétique à travers la spire ( Br étant ortoradial à n)

l'intensité du courant induit i sera alors:

moment magnétique de la spire :

vecteur force et vecteur vitesse de sens contraire

on met en évidence le freinage par courant induit ( sur les véhicules lourds)

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