Aurélie oct 2001

Mouvement d'un skieur

bac Amérique du Sud 12/00

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Cet exercice étudie un modèle très simplifié du mouvement du centre d'inertie G d'un skieur dans différentes phases de son parcours. Masse du skieur m= 80 kg.

Montée et plat:

L'ensemble des forces de frottement est assimilé à une force unique, de sens opposé au vecteur vitesse, de norme constante F=50N. Le skieur reste constamment en contact avec le sol.

  1. Afin de monter au sommet de la piste, le skieur se présente sur l'aire de départ horizontale. Initialement immobile, il s'accroche àune perche faisant un angle a=45°, constant avec l'horizontale. La perche exerce une force de traction dirigée suivant sa propre direction. Après un parcours de longueur 8m, la vitesse se stabilise à la valeur v0= 2 m/s.
    - Faire l'inventaire de toutes les forces s'exerçant sur le skieur pendant la phase de démarrage. Les représenter sur un schéma.
    - Calculer l'accélération du skieur durant la phase de démarrage.
    - Déterminer l'expression littérale puis numériquement de la force constante T exercée par la perche sur le skieur.
  2. Le skieur toujours tiré par la perche, monte à vitesse constante (2m/s) une pente rectiligne inclinée de b=40° par rapport à l'horizontale. La perche forme un angle d=30° avec le sol. Après avoir schématisé le skieur, déterminer littérallement puis numériquement l'intensité de la force T exercée par la perche sur le skieur.
  3. Le skieur arrive au sommet avec la vitesse précédente, sur une plate forme horizontale où il lâche la perche. Combien de temps mettra-t-il pour s'arrèter? Quelle distance aura t-il parcouru sur la plate forme ? 

descente:

  1. Le skieur participant à un concours de vitesse, s'élance, à partir du repos sur une piste rectiligne inclinée de b'= 28° par rapport à l'horizontale. En admettant l'existence de force de frottement de même valeur qu'à la montée, quelle vitesse atteindrait-il après 300 m de parcours ?
  2. La vitesse mesurée n'est en fait que de 107 km/h. En déduire l'intensité moyenne de la force de frottement supposée constante qui s'exerce sur le skieur au cours de la descente.
  3. La valeur de la force de frottement varie en fait avec la vitesse suivant la loi F=kv². On prendra k= 0,33 N s² m-2. Le coefficient k dépend en particulier de l'aérodynamisme du skieur. Quelle est la limite de la vitesse maximale que le skieur pourrait atteindre sur une piste suffisamment longue.
    Peut-il ainsi espérer battre le reccord du monde de vitesse ? (248 , 1 km/h)

 

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corrigé


démarrage :

système : lskieur et équipement; référentiel terrestre galiléen.

Ecrire la seconde loi de Newton, le skieur étant soumis à son poids, à l'action de la perche, à l'action du sol .

projeter cette relation vectorielle sur un axe horizontal à droite.

T= (ma +F)/ cosa.

calcul de l'accélération : v0² -v² init = 2a d avec v init = 0

a = v0² / (2d) = 2² / (2*8)= 0,25 m/s².

T= (80*0,25+50) / cos45 = 99N.

montée à vitesse constante :

D'après le principe d'inertie la somme des forces est nulle.

projection suivant un axe parallèle au plan vers le haut

T = (F+mgsinb) / cosd.

T=(50+80*9,8*sin40) / cos30 = 639 N.

plate forme horizontale :

théorème de l'énergie cinétique( seul fes frottements travaillent)

½ mv²fin- ½ mv²0 = -fd

fd=½ mv²0 d'où d = 0,5*80 * 2² / 50 = 3,2 m.

mouvement rectiligne uniformément freiné.

v²fin- v²0 ==0- v²0 2ad d'où a = - v²0 / (2d) = -4 / 6,4 = -0,625 m/s².

d = -½ at² + v0t ou mieux v = at + v0.

t =(v-v0) / a = (0-2) / (-0,625) =3,2 s.

plate forme horizontale :

projection de la somme des forces sur un axe parallèle au plan dirigé vers le bas :

mgsinb'-f = ma

a = gsinb'-f /m = 9,8 * sin28 -50/80 = 4,6 - 0,625 = 3,975 m/s².

v² -0 = 2ad

v² =2*3,975 *300 = 2385 et v = 48,8 m/s =175,8 km/h.

le poids et les forces de frottement travaillent

(mgsinb' -f) AB

variation d'énergie cinétique : ½mv² avec v = 107 /3,6 = 29,72 m/s

théorème de l'énergie cinétique : ½mv² = (mgsinb' -f) AB

mv² / (2AB) = mgsinb' -f

f = mgsinb' -mv² / (2AB)

f= 80[9,8*sin28 -29,72² / 600] = 250N.

lorsque la vitesse limite est atteinte la somme des forces appliquées au skieur est nulle.

Projection de cette somme sur un axe parallèle au plan dirigé vers le bas :

mgsinb'-f = 0 avec f = kv²

v² = mgsinb' / k = 80*9,8 sin28 / 0,33 = 1115

vitesse limite = 33,4 m/s = 33,4*3,6 = 120,28 km/h.

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