Aurélie oct 2001

devoirs en terminale S

poussière sur une lunette Pondichéry 04/97

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On sait que les lentilles ou les miroirs utilisés pour la confection des instruments d'observation astronomique sont usinés avec trés grand soin pour éviter au maximum les défauts de forme ou de surface .On se pose ici la question de savoir dans quelle mesure la propreté de ces instruments ,une fois fabriqués, est un facteur à prendre en compte pour la qualité des observations.

Plus précisément : imaginons qu'une poussière (un cheveu,par exemple) se dépose sur l'objectif d'une lunette astronomique, au cours de l'observation d'une étoile brillante située à très grande distance de la Terre.Cette poussière peut elle être de nature à perturber l'observation de l'étoile ; ou,en d'autres termes, est-il possible que l'astronome observe simultanément dans l'oculaire une image nette de l'étoile et de la poussière ?

formule de conjuguaison d'une lentille mince:

les conventions sont celles utilisées habituellement.0 étant le centre de la lentille ,l'axe optique Ox est orienté de telle sorte que le demi-espace objet correspondande à x pluspetit que 0 et le demi-espace image à x plus grand que 0

A étant un point objet de l'axe des x , A' son image et F' le foyer image ,la formule de conjugaison s'écrit :

p : mesure algébrique de OA et q mesure algébrique de OA'

On appelle diamètre apparent a d'un objet l'angle sous lequel on observe

si a est petit et si on l'exprime en radians :

On utilisera cette relation pour tous les angles rencontrés dans l'exercice

questions :

La lunette astronomique est constituée de deux lentilles convergentes considérées comme minces et de même axe:

- l'objectif (L1), de centre optique 01, placé du côté de l'étoile, de distance focale f'1, et de diamètre D1.

- l'oculaire (L2), de centre optique 02, de distance focale f'2 et de diamètre D2 .

La lunette est réglée pour être afocale, c'est-à-dire que le foyer image de l'objectif est confondu avec le foyer objet de l'oculaire

l'étoile :

On oriente vers le centre de l'étoile l'axe optique de la lunette .Soit AB un diamètre de l'étoile perpendiculaire à cet axe .Compte tenu des distances mises en jeu, on peut admettre que les rayons issus de A forment un faisceau de lumière parallèle et qu'il en est de même des rayons issus de B .Sur le schéma de la figure ci-après, l'angle a été exagéré par commodité.

  1. On donne pour la lunette les dimensions suivantes qui sont peu réalistes mais donnent un dessin exploitable
    f'1 = 10cm; f'2 = 3 cm donc O1O2 = 13 cm
    D1 = 10cm ; D2 = 4 cm et ½ a = 0,1 radian
    - Construire l'image A'B' de l'étoile à travers l'objectif
    - Où cette image se trouve-t-elle ? Est-elle réelle ou virtuelle?
    - Quelle est sa taille ?Montrer que A'B' = f'1     a.
    - Que deviennent les rayons lumineux issus de B' après traversée de l'oculaire?
    - Où se forme l'image définitive de l'astre à travers la lunette ?
    -Montrer que , si     a ' est le diamètre apparent de l'image définitive , A'B' = f'2 .a'
  2. On appelle grossissement de la lunette G = a' /a . Exprimer G en fonction de f'1 et f'2 .Calculer sa valeur numerique .
  3. De façon plus réaliste ,on prend :f'1 = 10 m ; f'2 = 1 cm ; D1 =1,2 m ; D2 = 2 cm
    - quelle est la valeur du grossissement ?
    - l'astronome ,regardant dans la lunette qui est afocale , a l'impression de voir un disque lumineux de 2 mètres de diamètre situé à la distance 10 mètres .Quelles sont les valeurs de     a' et a ,diamètres apparents respectifs de l'image à travers l'instrument et de l'astre lui-même observé à l'oeil nu ?
    - On suppose que l'astre observé est à dix mille milliards de km de la Terre.Calculer son diamètre et le comparer à celui du soleil qui vaut 1,4 millions de km

la poussière :

f'1 = 10m; f'2 =1 cm ; D1 =1,2 m ; D2 = 2 cm

et on suppose que la poussière, de 2 cm de long, s'est déposée sur l'objectif, à l'extérieur de la lunette, à 10 cm de 01.

  1. Un objectif donne de la poussière une image intermédiaire . En appliquant la relation de conjugaison des lentilles et celle du grandissement ,calculer la position et la taille de cette image intermédiaire. Celle-ci est-elle réelle ou virtuelle ?
  2. Un oculaire donne l'image finale A"B".Calculer sa position et sa taille. Est-elle réelle ou virtuelle ? On rappelle que la lunette est afocale.
  3. Conclusion : l'astronome peut-il observer simultanément la poussière et l'étoile ?
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corrigé


L'objet étant situé à l'infini, l'image A'B' se trouve dans le plan focal image de L1.

Cette image est réelle et a le sens contraire de l'objet.

A' se trouve au foyer principal objet de L2.

En conséquence l'image définitive A"B" est à l'infini.

Dans le triangle O1F'1B': tan a = A'B' / O1F'1 d'où A'B' = a f'1.

Dans le triangle O2F2B': tan a' = A'B' / O2F2 d'où A'B' = a' f'2.

G = a' / a = f'1/f'2 = 10 /3 = 3,33.

de façon plus réaliste...:

G = 10 / 0,01 = 1000.

diamètre apparent de l'image a' = d /D = 2/10 = 0,2 rad

d'où a, calculé à partir du grossissement : a= 0,2 /1000 = 2 10-4 rad.

diamètre réel de l'astre :

dix milliards de km = 10 * 109 =1010 km

2 10-4 * 1010 = 2 106 km = 2 millions de km

valeur assez proche du diamètre du soleil

la poussière:

p= -0,1 m; f'1 = 10 m

formule de conjugaison : 0,1 = 1/q - 1/ (-0,1) =

d'où 1/q = 0,1-10 = -9,9 et q = -0,101 m = - 10,1 cm

image virtuelle, de même sens que l'objet .

grandissement : q / p = -0,101 / (-0,1)= 1,01.

cette image A'B' sert d'objet pour l'oculaire

p = mesure algébrique de O2A' = -0,101 - 10,01 = -10,111 m

|q |>> f'2, objet considéré à l'infini, donc l'image A"B" est en F'2.

f'2 = 0,01

formule de conjugaison : 100 = 1/q - 1 /(-10,111 )

d'où q = 0,01m = 1 cm

L'observateur ne peut à la fois observer l'image de l'étoile, image située à l 'infini et l'image de la poussière, image située dans le plan focale image de l'oculaire.

à suivre ...
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