Aurelie 02/ 02
solide sur un plan incliné

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Un solide (S) de centre d'inertie G et de masse m peut se déplacer sur un plan incliné faisant un angle a avec l'horizontale. Un dispositif d'enregistrement relié à un ordinateur permet de repérer les positions du centre d'inertie G et de mesurer sa vitesse instantanée à chaque instant. Le solide est lâché sans vitesse initiale d'un point O du plan et son mouvement suit la ligne de plus grande pente dont la direction est notée Ox. La position du point G est repérée par son abscisse dans le repère (O ; i). L'action des forces de frottement peut être assimilée à celle d'une force constante f, de même direction mais de sens contraire au vecteur vitesse.

Le dispositif d'enregistrement est déclenché à l'instant t0=0 et donne les positions xA et xB de G et les vitesses vA et vB aux instants tA et tB.
temps (s)
position (m)
vitesse (m/s)
point A
0,3
0,18
0,57
point B
0,7
0,48
0,929

m =200g ; a=30°  

inventaire des forces s'appliquant au solide (S) :

Le solide est soumis à son poids, vertical vers le bas, à l'action du plan décomposée en une action normale au plan Rn et en une action parallèle au plan F , de sens contraire à la vitesse.

les vecteurs sont écrits en bleu et en gras.

Expression de l'intensité F de la force de frottement en fonction de m, g, a, xA, xB, vA, vB. Calcul de f.

thèorème de l'énergie cinétique :

travail du poids entre A et B ( descente: donc travail moteur )

W1 = mg(hA-hB) = mgABsin a =mg(xB-xA) sin a .

travail résistant des frottements :

W2 = -F AB = - F(xB-xA)

Rn perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas.

variation d'énergie cinétique : DEc = ½ mV²fin -½ mV²départ = ½ mV²B -½ mV²A

La variation d'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces.

½ mV²B -½ mV²A= mg(xB-xA) sin a- F(xB-xA)

F = m[gsin a - ½(V²B -V²A) / (xB-xA)]

F = 0,2[ 9,8 sin 30-½(0,929²-0,57²) / (0,48-0,18)] = 0,8 N.


travail mécanique effectué par la force de frottement entre les points A et B :

W2 = -F AB = - F(xB-xA) = -0,8(0,48-0,18) = -0,24 J.

le signe moins signifie : diminution de l'énergie mécanique du système {solide-terre}

cette énergie perdue se retrouve sous forme d'énergie thermique dans l'environnement.

accélération "a" du point G au cours du mouvement en fonction de m, g, a et F. Calcul de a.

la seconde loi de Newton s'écrit : P + F + Rn = m a

soit sur l'axe O,i : mg sina -F = ma

a = g sin a-F / m.

a = 9,8 sin 30 - 0,8 / 0,2 = 0,9 m/s².

équation horaire :

A l'instant t=0, la position du centre d'inertie est repérée par son abscisse x0 et sa vitesse a pour mesure v0.
Calcul des valeurs numériques de la position x0 et de la vitesse v0 du centre d'inertie G du solide au moment où l'enregistrement est déclenché.

vitesse : v = a t + v0 = 0,9 t + v0 .

0,57 = 0,9 *0,3 + v0 d'où v0 = 0,3 m/s.

abscisse : primitive de la vitesse

x = ½ at² + v0 t + x0 = 0,45 t² + 0,3 t + x0.

0,48 = 0,45*0,7² + 0,3*0,7 + x0 d'où x0 = 0,05 m.
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