CAPES physique chimie ( d'après concours interne 2002 ) Réalisation d'un générateur idéal de tension.
Diverses méthodes de mesure d'une résistance

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On relève les valeurs de U_PN et celle de I :

UPN(V)	4,52	4,45	4,39	4,32	4,26	4,15	3,41	1,27
I(mA)	0,00	50,0	100	150	200	250	300	350

utilité du bouton poussoir :

Il permet de fermer le circuit pendant une durée très courte, suffisamment longue pour effectuer chaque lecture de la tension et de l'intensité ; entre deux mesures la pile de débite pas ; ainsi la pile ne se déchargera pas trop durant la durée de toutes les mesures.

Lorsque l'intensité délivrée par le générateur est inférieure àI=0,25 A, la pile peut être considérée comme un dipôle linéaire.

E=4,52 V et r = 1,5 W ; équation de sa caractéristique : U_PN=E-rI = 4,52 - 1,5 I.

La pile précédente est insérée dans le montage ci-après : ( l'A.O est supposé idéal )

Le montage avec l'A.O idéal est un montage suiveur : la tension d'entrée est égale à la tension de sortie U_PN=U_SM ;

or l'intensité des courants dans les entrées E⁺ et E^- de l'A.O sont pratiquement nulles ( impédance d'entrée très grande) : en conséquence U_PN=E=4,52 V =U_SM

Mesure de la résistance R d'un conducteur ohmique par une méthode électrocinétique :

Dans le circuit ci-dessous, C est un condensateur initialement déchargé de capacité C, K est un conducteur ohmique calibré de haute précision, de résistance K= 220 W. On branche aux bornes du condensateur un oscilloscope à mémoire qui déclenche l'aquisition des mesures à la fermeture de l'interrupteur, c'est à dire à la date t=0.

On obtient l'oscillogramme 1.

On ouvre ensuite le circuit, on décharge le condensateur, on remplace le conducteur ohmique K par le conducteur ohmique R, on ferme à nouveau l'interrupteur et on obtient l'oscillogramme 2.

Equation différentielle vérifiée par la tension u_c aux bornes du condensateur, que ce soit avec R ou avec K :

additivité des tensions : u_c + Ri = E

or i = dq/dt = q' et q=Cu_cd'où i= C u'_c

par suite : u_c + Ri = E s'écrit : u_c + RC u'_c = E ; on pose t = RC, constante de temps du dipôle RC.

u_c + t u'_c = E. (1)

Expression littérale de la fonction u_c(t) ; t=0 correspond à la date de fermeture de l'interrupteur :

solution particulière de (1) : u_c=E ( condensateur chargé)

solution générale de u_c + t u'_c = 0 : u_c(t) = A exp(-t/t).

solution générale de (1) : u_c(t) = A exp(-t/t) + E

On détermine la constante A à partir de la condition initiale : à t=0, le condensateur n'est pas chargé, soit u_c(t) =0.

u_c(0) =0= A exp(0) + E = A+E soit A=-E

u_c(t) = E(1- exp(-t/t) ).

Lecture de la valeur de t sur le graphique :

à t=t, u_c(t) = E(1- exp(-1) ) = 0,63 E = 0,63*4,52 = 2,85 V

Valeurs de C et de R : KC=0,015 ; 220 C=0,015 soit C= 6,8 10-5 F. RC=0,042 soit R= 42 K/15 = 42*220/15 = 616 W. ( la détermination des deux constantes de temps n'est pas très précise)

Mesure de la résistance R d'un conducteur ohmique par recherche du régime critique :

C'= 2,2 mF; L= 0,40 H ; r= 20 W.

Transferts d'énergie mis en jeu dans le circuit : ( régime apériodique)

échange permanent d'énergie entre bobine et condensateur ; au cours de ces échanges, une partie de l'énergie est dissipée par effet joule dans les conducteurs ohmiques.

Si la valeur de K est forte, on se trouve en régime apériodique. Il existe une valeur de la résistance K pour laquelle l'évolution de la tension aux bornes du condensateur est dite "critique", à la frontière des deux régimes évoqués précédemment. L'utilisation de l'outil informatique permet de mémoriser les courbes obtenues en faisant varier lentement K et de repèrer le passage au régime critique ( voir évolution des courbes ci-dessus)

Le régime critique est obtenu pour K= 189 W. L'étude théorique prévoit qu'il est obtenu lorsque la résistance totale du circuit vaut : R_totale = 2(L/C')^½.

Homogénéité de cette expression :

énergie stockée par une bobine inductive : E=½LI² soit L = 2E/I²

L'inductance est une énergie divisée par une intensité au carré : joule ampère ^-2.

énergie stockée par le condensateur : E=½C'U² soit C'= 2E/ U²

la capacité est une énergie divisée par une tension au carré : joule volt^-2.

par suite L/C' a la dimension de : volt² ampère ^-2 et (L/C')^½ a la dimension d'une résistance soit volt ampère ^-1

Calcul de la valeur de R :

R_totale = 2(L/C')^½ = 2(0,4 / 2,2 10^-6)^½ = 853 W.

R_totale =R+K+r ; R= R_totale -K-r = 853-186-20 = 644 W.

Détermination de la résistance R d'un conducteur ohmique par une méthode calorimétrique :

On dispose d'un calorimètre dont l'ensemble cuve et accessoires a une capacité thermique C_th=120 J K^-1. On verse dans le calorimètre un volume d'eau tiède de valeur V= 100,0 mL, et après quelques minutes, on mesure la température q_i=17,0°C. On pèse un bloc de glace ( m_g= 88,7 g) pris à la température q_g=-20,0°C et on le plonge dans l'eau contenue dans le calorimètre.

Données : c_eau = 4180 J kg^-1 K^-1 ; c_glace =2100 J kg^-1 K^-1 ; L_fusion = 335 10³ J kg^-1.

calorimètre :

vase adiabatique ( pratiquement pas d'échange avec le milieu extérieur)

paroi interne brillante (en verre) limitant le rayonnement

vide entre les doubles parois : pas de convection

parois externe isolante : pas de conduction

A l'équilibre thermique la température à l'intérieur du calorimètre vaut q_éq=0,0°C :

hypothèse : toute la glace glace fond à 0°C et la température finale est 0°C.

énergie gagnée par la glace pour se réchauffer de -20 °C à 0°C sans fondre :

Q₁ = m_g c_glace(0-q_g)= m_g c_glaceq_g=88,7 10^-3*2100*20 = 3725 J

énergie gagnée par la glace pour fondre à °C : Q₂ = m_gL_fusion =88,7*335 = 29714 J

Q₁ + Q₂ = 3725 + 29714 = 33439 J

Energie cédée par les corps chauds, eau ( 100 g = 0,1 kg) et calorimètre :

Q₃= (0,1c_eau + C_th)(0-q_i) = (0,1*4180+120)*(-17) = - 9146 J

Or |Q₃| < Q₁ + Q₂ donc toute la glace ne peut fondre ; cette hypothèse est fausse.

Le mélange final contient de l'eau et de la glace : sa température est 0°C.

hypothèse : une masse m_1g de glace fond à 0°C.

3725 J sont nécessaire pour réchauffer 88,7 g de glace de -20 à 0°C ; il reste donc : 9146-3725 = 5421 J pour faire fondre une masse m_1g de glace à 0°C

5421 = m_1g L_fusion ; m_1g = 5421 / 335 10³ = 16,2 g.

dans le calorimètre à l'équilibre thermique : masse d'eau m'= 100+16,2 = 116,2 g ; masse de glace m'_g = 88,7-16,2 = 72,5 g.

hypothèses faîtes pour le bilan énergétique : vase adiabatique, capacité thermique massique du métal constituant la résistance R, négligeable.

Energie nécessaire pour faire fondre une masse m'_g = 72,5 g de glace à 0 C : Q₄ = m'_gL_fusion =72,5*335 = 24287 J

Energie fournie par effet joule : Q= RI²t avec I= 0,294 A et t = 421 s.

Q₄ =Q soit R= m'_gL_fusion /(I²t) = 24287/(0,294²*431) = 652 W.

Cette dernière méthode est sans doute la plus précise.

Pour la première, les constantes de temps sont peu précises ; pour la seconde r et K sont peu précises.

Estimation numérique de l'incertitude relative sur la valeur de R :

log R= log m'_g + log L_fusion - 2 log I-log t

d'où DR/R= Dm'_g/m'_g + 2DI/I + Dt/t = 0,1/75,2 + 2/294 + 1/431 voisin de 10^-2 ( 1%)