durée3 h
|
|
|
|
|
|
balle
de golf
les vecteurs sont écrits en bleu et en gras.
Soit une balle de golf : m= 45,9g ; D= 42,7 mm ; 384 alvéoles. Les alvéoles empêchent les couches d'air de se décoller de la surface de la balle lorsque la vitesse de celle-ci est importante. La balle est moins freinée que si elle était lisse.
Comme il est plus aisé de mesurer les vitesses pour des mouvements rectilignes, il envisagent d'étudier, dans un premier temps, la chute libre d'une balle de golf dans le champ de pesanteur g supposé uniforme ( g=9,8 m/s²).
La balle est lâchée sans vitesse initiale en O, point pris comme origine de l'axe z orienté vers le bas,( vecteur unitaire n) donc de même sens que le champ de pesanteur g.
La résistance qu'oppose l'air au mouvement de la balle est supposée opposée au vecteur vitesse du centre de la balle et d'intensité proportionnelle au carré de la vitesse. La constante de proportionnalité est constante et notée k.
La poussée d'Archimède est négligeable.
- Dans cette question on néglige la résistance de l'air afin de pouvoir procéder à une comparaison. La balle est soumise à son seul poids. Montrer que le mouvement du centre de la balle est rectiligne et trouver l'équation horaire z(t) du mouvement du centre de la balle. Quelle est la valeur de z pour v= 35 m/s ?
- Dans la suite du problème, la
résistance de l'air n'est pas
négligée. On admet que le mouvement reste
rectiligne, vertical du haut en bas. La seule composante
non nul de la résistance de l'air est
F= -
kv²n avec v =
dz/dt.
- Montrer que le principe fondamental de la dynamique donne : dv/dt+k/mv²=g (1). On écrira cette relation sous la forme dv/dt=g(1-a²v²) (2). Quelle est l'unité de 1/a ?
- Les mathématiciens nous donnent une solution de l'équation (2) ainsi que l'expression correspondante de z(t) :
v(t) = a -1 (e2agt-1) / (e2agt+1) ; z(t) = a -2 g-1 ln[½(e2agt+e-2agt)
Vérifier que v(t) est bien solution de (2) et que les conditions initiales du mouvement sont satisfaites. - Expérimentalement on détermine la
vitesse limite de chute vlim. Au dela le
mouvement de la balle est rectiligne uniforme. Montrer en
utilisant l'expression de v(t) que quand t tend vers
l'infini, v(t) tend vers une limite . Exprimer cette
limite en fonction de g, m et k.
- Vérifier qu'un mouvement rectiligne uniforme est solution de l'équation (2). En déduire la signification physique de 1/a.
- On mesure la vitesse limite vlim = 35 m/s. Que vaut k ?
- L''expérience montre qu'à t=10 s, la vitesse limite est atteinte. En utilisant l'expression de z(t), trouver la distance que doit parcourir verticalement la balle pour atteindre la vitesse limite. Comparer la distance précédente à celle calculée en 1.
corrigé
La balle est soumise uniquement à son poids ; la seconde loi de Newton s'écrit mg=ma.
La vitesse initiale est de plus nulle, en conséquence le mouvement est vertical vers le bas.
v(t) primitive de l'accélération : v(t) = gt
position, primitive de la vitesse : z(t) = ½gt².
éliminer le temps entre ces deux relations : v² = 2gz ou z = v² / (2g) = 35²/19,6 = 62,5 m.
La balle est soumise à son poids , vertical vers le bas et la résistance de l'air, verticale vers le haut ; la seconde loi de Newton s'écrit en projection sur l'axe z : mg- kv² =ma = mdv/dt
g= k/m v²+dv/dt
dv/dt = g( 1-k/(mg) v²) avec a² = k/(mg).
a² v² est sans dimension donc a est l'inverse d'une vitesse ou bien 1/a a la dimension d'une vitesse ms-1.
dériver v(t) par rapport au temps : u= (e2agt-1) ; w = (e2ag+1) ; u' = 2age2agt ; w'= 2age2agt ;
dv/dt = v' =a -1 [2age2agt(e2agt+1) - 2age2agt (e2agt-1)]/(e2agt+1) ² = 4ge2agt/(e2agt+1) ²
repport dans (2) : 4ge2agt/(e2agt+1) ² = g(1-a²a -2(e2agt-1)²/(e2agt+1) ² )
réduire au même dénominateur : (e2agt+1) ²
4ge2agt/(e2ag+1) ² = g(((e2agt+1) ²-(e2agt-1)²)/(e2agt+1) ² )
différence de deux carrés a²-b²=(a+b)(a-b)
4ge2agt/(e2agt+1) ² = g(4e2agt)/(e2agt+1) ² ) égalité vraie, donc v(t) solution de (2).
v(t=0) = 0 et z(t=0 ) =0, les conditions initiales sont vérifiées.
mettre au numérateur et au dénominateur e2agt en facteur commun puis simplifier :
v(t) = a -1(1- e-2agt)/ (1+ e-2agt) tend vers a -1 si t tend vers l'infini
vlim = 1/a = [mg/k]½.
remplacer v par vlim avec dvlim/dt = 0 dans l'équation (2) :
0 = g(1-a² v²lim) = g(1-a² a -2) = g(1-1) est vérifiée danc vlim solution particulière de (2).
calcul de k : k= mg/v²lim = 0,0459*9,8 / 35² = 3,67 10-4 S.I.
calcul de z(t=10) : agt = 2*9,8*10/35 = 2,8 ; eagt = 16,44;e-agt =0,06
z(t=10) = 35²/9,8 ln((16,44+0,06)/2) = 263,4 m. valeur bien supérieure à 62,5 m calculée en 1.
oscillateur
mécaniqueUn ressort à spires non jointives de constante de raideur k, de masse négligeable, est suspendu à un support vertical par l'une de ses extrémités. Un solide S de masse m, est accroché à l'autre extrémité. Le ressort s'alloge alors de x0 et une position d'équilibre est atteinte. ( phase statique).
A partir de sa position d'équilibre on étire le ressort en faisant descendre le solide verticalement, puis on le lâche (phase dynamique). On constate que s effectue des oscillations de part et d'autre de sa position d'équilibre d'amplitude a et de période T0. On mesure la durée de 20 périodes.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Pourquoi mesure-t-on la durée de 20 oscillations plutôt que d'une seule ?
- En fait l'amplitude du mouvement ne reste pas constante au cours du temps. Pourquoi ?
- A partir de l'étude statique, établir une relation entre m, g, k et x0.
- On établit théoriquement
T0=2p(m/k)½.
Exposer sans le justifier, une méthode graphique
qui, à partir des résultats
expérimentaux, permette de déterminer la
valeur de k
- Exprimer T0 en fonction de g et x0.
- Calculer T0² dans chaque situation et présenter les calculs sons forme d'un tableau.
- Tracer la courbe x0 en fonction de T0².Déduire de la courbe la valeur du champ de pesanteur g sur le lieu de l'expérience.
corrigé
On mesure la durée de 20 oscillations plutôt qu'une seule afin de connaître la période avec une plus grande précision.
au cours du temps, l'amplitude diminue à cause des frottements : amortissement.
A l'équilibre, l'extrémité inférieure du ressort est soumise au poids du solide S et à la tension du ressort : ces deux forces sont opposées et ont la même norme : mg = kx0.
En traçant la courbe d'équation mg = f(x0), on obtient une droite dont le coefficient directeur est k.
T0² = 4p²m/k avec m/ k= x0/g d'où T0² = 4p² / g x0 ou bien x0 = g /(4p² )T0² .
la courbe x0 = f(T0²) est une droite de coefficient directeur g /(4p² )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d'où g = 0,2484*4*3,14² = 9,796 m/s².
électricité
: dipôle LCOn dispose en série une bobine d'inductance L, de résistance négligeable et un condensateur de capacité C. On appelle uc la tension aux bornes du condensateur et i l'intensité du courant circulant dans le circuit. Un dispositif électrique permet d'avoir à t=0 : uc=0 ; i=I0.
- Que vaut la charge du condensateur à t=0 ?
- Etablir l'équation différentielle régissant l'évolution de uc en fonction du temps.
- La solution de cette équation est de la forme
: uc(t) = A cos (at+B)
- exprimer B à partir des conditions initiales.
- Déterminer l'expression de a.
- Exprimer A en fonction de I0, L et C.
- En déduire l'expression de la charge q(t) du condensateur puis celle de l'intensité i(t) du courant.
corrigé
q(coulomb) = C uc avec C en farad et uc en volt.
à t=0, uc = 0 entraîne q(t=0)=0.
équation différentielle : tension aux bornes du condensateur + tension aux bornes de la bobine =0
uc+Ldi/dt =0 avec q=Cuc et i = dq/dt = q' = Cduc/dt = Cu'c ; di/dt = Cd²uc/dt² = Cu"c.
uc+LC d²uc/dt² = 0 ; on pose a²=1/(LC) d'où : d²uc/dt² +a²uc=0.
calcul de B : uc = A cos(at+B)
uc(t=0 )=0 = A cos B ; A n'est pas nulle donc cos B =0 soit B= ½p ou bien -½p.
q(t) = Cuc = CA cos(at+B)
i(t) = dq/dt = CAa(-1) sin(at+B)
i(t=0)=I0 = CAa(-1) sinB avec I0 positif donc B= -½p.
calcul de A :i (t=0)=I0 = CAa = CA(LC)-½ d'où A= I0 L½ C-½.
q(t) = I0 L½ C½cos ((LC)-½ t-½p)= I0 L½ C½sin ((LC)-½ t)
i(t) = q' = I0cos ((LC)-½ t)